高志鋒 張靜 張永

【摘要】本文結合當前高校開設數(shù)學建模和數(shù)學實驗課程的現(xiàn)實，從發(fā)展歷史、現(xiàn)狀以及教材建設等方面，分析它們的區(qū)別與聯(lián)系，結合各自的特點，找到它們各自的優(yōu)勢和不足，提出了將兩門課進行融合的想法并給出了理由和建議。

【關鍵詞】數(shù)學建模 ?數(shù)學實驗 ?學以致用 ?發(fā)現(xiàn)問題 ?解決問題

【基金項目】河南大學第15批教改重點項目：數(shù)學建模與數(shù)學實驗兩課程協(xié)同培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的研究與實踐;安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持項目gxyq2017105。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）41-0138-02

1.前言

數(shù)學建模課程進入我國的大學是在上世紀80年代，此時數(shù)學建模課程以及數(shù)學建模的思想已經在發(fā)達國家趨于普遍。我國對于該課程的設置大致是屬于引進式的課程革新。隨之而來的全國大學數(shù)學建模競賽給數(shù)學建模課在全國高校的蔓延帶來了強大的助推力。2000年前后，數(shù)學實驗課開始興起了，全國很多高校的數(shù)學系開始開設數(shù)學實驗課，如今的大學數(shù)學課程體系中，大部分都有《數(shù)學建?！泛汀稊?shù)學實驗》這兩門課。它們的內容乍一看比較接近，再加上近年來有不少學校在進行兩門課的合并，所以很多人會認為它們是重復的存在。本文主旨就在于講清楚數(shù)學建模和數(shù)學實驗的區(qū)別與聯(lián)系。

2.綜述數(shù)學建模

2.1 數(shù)學建模課程的形成歷史

要想說清楚數(shù)學建模這門課，必須先從數(shù)學模型說起。人類社會發(fā)展到今天，無論是工業(yè)生產，還是經濟運行，甚至日常生活，都可以靠數(shù)學來揭示其中的規(guī)律。數(shù)學在上述各個領域中的呈現(xiàn)形式不再是一種純粹的數(shù)學形式，而是應用數(shù)學語言對各類事物的本質規(guī)律進行的表述，即數(shù)學模型。

隨著科學研究領域的飛速發(fā)展，數(shù)學在各個領域中展現(xiàn)出越來越重要的作用，人們發(fā)現(xiàn)將現(xiàn)實問題數(shù)學化的意識和能力對于一個科研工作者來說是至關重要的，尤其是對于年輕人。于是在上世紀五六十年代，歐美國家的大學開始開設數(shù)學建模這門課程。八十年代，我國的高校開始陸續(xù)在各自的數(shù)學系開設數(shù)學建模課，逐漸發(fā)展成為許多學校的數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學等數(shù)學類專業(yè)將它列為必修課或專業(yè)限選課，而且一些工科、經濟管理、師范等院校也將它列為選修課。緊隨而來的全國大學數(shù)學建模競賽對數(shù)學建模課的繼續(xù)發(fā)展也起到了巨大的推動作用[1]。

隨著大學師生對數(shù)學建模的越來越多的重視，關于數(shù)學建模的教學研討也雨后春筍般的多了起來。配合全國大學生數(shù)學建模競賽的指導工作，數(shù)學建模的師資隊伍也在不斷的壯大。各類教材和參考書層出不窮，雖然良莠不齊，但是生機勃勃的局面對于數(shù)學建模的發(fā)展也是大有益處。經過近二三十年的發(fā)展，現(xiàn)在數(shù)學建模課程設置以及相關配套已經基本上趨于成熟和完善。

2.2 現(xiàn)階段對于數(shù)學建模的認識

在應試教育的驅動下，學生學什么怎么學都是在老師的引導下被動進行，思維主動性的缺失導致一直到考大學，學生們對于為什么要考大學，到大學里學什么專業(yè)這些重要的問題都沒有深入的思考，至少是沒有獨立的思考。于是學以致用的“用”就成了一直被忽視的問題，一方面所學應該“用”在什么地方，反之就是為了這個“用”，大學應該選擇學什么。這個問題是學生個人應該根據自己的知識和興趣來自己解決的問題。

數(shù)學建模恰恰就是在研究怎么用數(shù)學。做好建模需要學生有“用數(shù)學”的能力，也就是需要從實際需要出發(fā)來思考數(shù)學知識對解決現(xiàn)實問題的參與。學生們對于“用”的理解和能力上的長期的缺失導致了對于數(shù)學建模這門課的重要意義認識不夠，學習數(shù)學建模的動機不是加速知識向現(xiàn)實生產生活的轉化，而更多是為了參加數(shù)學建模競賽并獲獎，這是在動機上的偏差，這個偏差是本質上的，甚至連一些教師也有同樣的認識問題。

2.3 數(shù)學建模的教材分析

目前在用的數(shù)學建模教材有不少，其中用的較為普遍是高等教育出版社的國家“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材《數(shù)學模型》，目前已經更新至第四版。自第一版到第四版，在內容結構的安排上，都是以建模所使用的數(shù)學方法作為劃分章節(jié)的依據。這樣結構清晰，邏輯合理，教師教學和學生學習都很合適。自第三版開始加入了Matlab的實驗內容，將計算機的工具引入的建模教材，豐富了建模過程中關于模型求解的部分。有些教師對于這本教材的內容設置提了一些建議，其中一種說法是，這本書對于建模過程中更加務實的搞清機理、搜集數(shù)據以及模型檢驗與修改等環(huán)節(jié)講述較少，重點呈現(xiàn)的是建模的“成品”。這種說法不無道理，但是應該考慮它作為一本教材的實際情況，它的目的是教會學生怎么建模，可具體建模過程的操作又因實際問題而各不相同，很難整理出關于具體實施方法的系統(tǒng)表述，而目前教材通過精心選取經典案例和優(yōu)秀的解決方案作為主要內容是合適的。這就對教師的教學方法提出了更高的要求，如何通過組織學生討論和模擬建模來切實提高他們的建模能力，以達到課程的培養(yǎng)目標。

3.數(shù)學實驗課程綜述

3.1 數(shù)學實驗這門課的形成

數(shù)學實驗的提法是伴隨著計算機技術和數(shù)學軟件的發(fā)展應運而生的。在傳統(tǒng)的數(shù)學教學與科研中，數(shù)學只需要有紙和筆就可以了，在紙上呈現(xiàn)出復雜的數(shù)學推導和計算過程。對于那些計算思路成熟、步驟清晰、邏輯困難已經被攻克但是卻極端復雜的數(shù)學問題，人們開始考慮讓日益興起的計算機來幫忙解決。人們認為只要將正確計算的步驟轉化為計算機程序語言，讓它代替人們去做復雜的計算工作，就能夠高效且準確的得到人們想要的結果。隨著計算機的強大計算能力越來越廣泛的展現(xiàn)出來，人們開始更加重視計算數(shù)學這個方向。圍繞著設計計算機能夠高效率高精度的處理人們所遇到的大量的數(shù)學問題進行研究，逐漸出現(xiàn)了很多成熟的算法以處理日常所能遇到的大量的數(shù)學問題。

在上述背景之下，上世紀90年代，北京大學、清華大學等高等院校的一些教授提出了開設數(shù)學實驗課的構想，立即在教育界引起反響，在教育部立項的面向21世紀高校非數(shù)學專業(yè)數(shù)學教學體系和內容改革的總體構想中，把“數(shù)學實驗”列為數(shù)學基礎課之一。1998年清華大學、北京大學、北京師范大學共同組織了一個課題組，在蕭樹鐵教授的指導下，三校各抽一個班，開出了兩期數(shù)學實驗課，并在此基礎上逐漸形成了數(shù)學實驗教材[2]。2000年之后，全國各大高校開始紛紛開設這門課，并在長期的教學實踐中逐漸豐富和完善著這門課的教學內容和教學方法。

之所以叫數(shù)學實驗，或許是因為把數(shù)學交給計算機這樣的外部設備，得到計算結果的過程，很像物理化學那樣在實驗室里做實驗的過程。應當強調的是，數(shù)學實驗所處理的問題并非純數(shù)學問題，而是現(xiàn)實問題，也正因為此，稱之為數(shù)學實驗才更為貼切。實驗目的是解決現(xiàn)實問題，實驗材料需要從現(xiàn)實搜集，實驗工具是計算機和計算軟件，實驗結果是現(xiàn)實問題的答案。面對一個現(xiàn)實問題，數(shù)學實驗的首要任務應該是關于實驗步驟的設計，其實質是將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題，以及設計數(shù)學問題的數(shù)值算法，由此看到，數(shù)學實驗和數(shù)學建模有密不可分的關系。

3.2 現(xiàn)階段對數(shù)學實驗的認識

由于數(shù)學建模課的存在，數(shù)學實驗教材中的關于建模部分的重要性顯得不那么突出了。如今一種習慣的看法認為數(shù)學實驗主要就是學一種計算軟件，通過計算機完成那些困難的繁瑣的數(shù)學計算。

事實上這種認識是片面的。因為如果這樣，我們只需要學好《計算方法》并掌握一種編程語言就好了，數(shù)學實驗這門課就沒有存在的意義了。翻看一下《數(shù)學實驗》教材的前言就會發(fā)現(xiàn)，開始這門課的初衷還是要提高學生用數(shù)學的能力。從開設《數(shù)學實驗》這門課的出發(fā)點來看，它和《數(shù)學模型》有著大致相同的目標，從形式和側重點來看，又更偏重于為數(shù)學建模準備具體的方法和工具。

3.3 數(shù)學實驗的教材分析以及其之于數(shù)學建模

目前國內的《數(shù)學實驗》教材也很豐富，并且大同小異。在實踐當中，它們也都大多是充當一門計算語言的輔助教材甚至最終作為工具書。這是因為《數(shù)學模型》課的開展早于《數(shù)學實驗》，因此開設后者的高校必定已經存在了《數(shù)學模型》，這樣拋開兩者中的重疊部分[3]，《數(shù)學實驗》也就自然的落到了這樣一個尷尬的境地。

4.結合數(shù)學建模競賽來談數(shù)學建模與數(shù)學實驗

對于與數(shù)學建模和數(shù)學實驗這兩門課密不可分的數(shù)學建模競賽，我們有必要著重談一談。目前建模競賽影響力最大的有兩個，一個是全國大學生數(shù)學建模競賽，一個美國大學生數(shù)學建模競賽。

美國大學生數(shù)學建模競賽（MCM/ICM），它分為數(shù)學建模競賽（MCM）和交叉學科建模競賽（ICM），它們分別創(chuàng)始于1985年和2000年，是由美國數(shù)學及其應用聯(lián)合會主辦，目前全球唯一的國際性數(shù)學建模競賽，也是世界范圍內最具影響力的數(shù)學建模競賽。賽題內容涉及經濟、管理、環(huán)境、資源、生態(tài)、醫(yī)學、安全、未來科技等眾多領域。截至2015年，共有來自美國、中國、加拿大、芬蘭、英國、澳大利亞等19個國家和地區(qū)共9773支隊伍參賽，其中不乏來自哈佛大學、普林斯頓大學、麻省理工學院、清華大學、北京大學、浙江大學等國際或國內知名的高校派出的參賽隊。

我國的全國大學生數(shù)學建模競賽創(chuàng)辦于1992年，形式類似于美國大學生數(shù)學建模競賽，分為?？平M和本科組（后來有了專門的研究生數(shù)學建模競賽）。試題也是涉及眾多領域，具有很強的應用性和時效性。每年一屆，經常涉及到當年的重大社會事件或重大科學發(fā)現(xiàn)。學生在三天的時間內完成模型建立、求解、驗證及論文撰寫，比美賽的時間還少一天，對學生的挑戰(zhàn)更大。

目前該項賽事已經成為全國高校規(guī)模最大的基礎性學科競賽。僅2016年，來自全國33個省市自治區(qū)（包括香港和澳門）以及新加坡的1367所院校、31199個隊近93000名大學生報名參加此項競賽。

參加數(shù)學建模競賽對參賽選手是一個很大的考驗。要想在競賽中取得佳績，參賽隊的成員必須具備以下能力：第一個就是建立模型的能力，也就是能夠將現(xiàn)實問題“數(shù)學化”的能力，這正是數(shù)學建模這門課設立的初衷。第二個就求解模型的能力，這個部分將極大的借助于計算機，這正是數(shù)學實驗的主要功能。最后還要有良好的團隊合作能力以及論文撰寫能力。因此我們可以說數(shù)學建模競賽是檢驗學生對于數(shù)學建模和數(shù)學實驗兩門課學得好不好的試金石。

5.正確認識和處理數(shù)學建模與數(shù)學實驗的關系

正如前文所說，數(shù)學建模與數(shù)學實驗兩個概念與前后獨立產生的兩門課，《數(shù)學模型》與《數(shù)學實驗》密切相關。兩門課的課程設置各有各的出發(fā)點和教學目的，在內容和培養(yǎng)目標上確實存在重合的部分，但又各有各的側重點。前者注重建模思想的形成和建模意識的培養(yǎng)，后者側重建模的實際操作能力。兩者的共同的培養(yǎng)目的體現(xiàn)在“用數(shù)學”的“用”上，通過兩門課的學習，可以提高學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。發(fā)現(xiàn)問題是為數(shù)學找到用武之地，解決的問題是將數(shù)學轉化為實際?？梢妰砷T課相輔相成，缺一不可。

自從兩門課產生發(fā)展至今，各自都經歷的作為一門新興學科從不太完善到逐漸趨于成熟的過程。就各自目前的發(fā)展來看，都是正常的。近年來有不少學校的數(shù)學系在課程安排上把兩門課先后排在一起上，也有的直接把它們合并成一門課叫作數(shù)學建模與實驗。

我們認為兩門課的合并應該是有必要的，但一定不是簡單地加法。有很多相應的問題需要考慮。

首先是課時的分配問題。把兩門課原有課時量簡單相加肯定是不合適的，一方面是因為兩個課原本就有重復，另一方面會造成課時太多，給師生帶來一定的負擔。因此需要在綜合考慮兩門課的有機融合的前提下，給出一個合理的課時量。

其次是教學環(huán)境和設備的調配問題。兩門課對上課的條件都有特殊的要求，數(shù)學建模課需要設計討論環(huán)節(jié)，普通的教室往往不方便討論;數(shù)學實驗課最好是安排在機房，這樣方便講解和演示，也方便學生們隨時上手編程實踐。如果有條件建設一個在功能上能夠同時滿足上述要求的實驗室當然是最好，如果條件有限而不得不在不同的教室上課，那么前述的課時分配問題就再次凸顯出來。

第三是教材的融合問題。如果兩門課合并成一門，顯然就急需一本涵蓋原來兩門課的教學內容的教材。新教材的形成是一個嚴謹而復雜的過程，需要團隊合作。經過教研討論形成初稿，再通過一兩個學期的適用來逐漸修改和完善。

最重要的還是師資的配備，由于兩門課各有側重，原本上兩門課往往不是同一位教師。然而從學生角度來看，合并后的一門課由兩個老師分別穿插授課顯然是不太合適的。所以需要原來的授課老師充實自己的知識儲備，盡快適應新加內容的教學，并且盡快對新舊兩部分內容進行融合，使之成為一體，才能使內容在講授的過程中沒有割裂感，這對教師是一個新的挑戰(zhàn)。

通過以上的論述，我們認為數(shù)學建模和數(shù)學實驗應該很好地融合在一起，這樣不僅可以避免重復，提高教學效率，而且在培養(yǎng)學生學習的主動性，貫徹學以致用的主旨，鍛煉發(fā)現(xiàn)和解決問題能力等方面，將起到更加促進的作用。

參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學模型（第四版）[M].高等教育出版社，2011.

[2]蕭樹鐵.數(shù)學實驗（第二版）[M].高等教育出版社，2006

[3]譚永基.對數(shù)學建模和數(shù)學實驗課程的幾點看法[J].大學數(shù)學，2010.

作者簡介：

高志鋒（1977.10-），男，河南鄭州人，碩士，講師，研究方向為偏微分方程與數(shù)學物理。

張靜（1982.01-），女，河南三門峽人，碩士，講師，研究方向為偏微分方程。

張永（1980.09-），男，河南新鄉(xiāng)人，博士，副教授，研究方向微分方程和數(shù)學模型。