朱成蓮

0 引言

1951年,統(tǒng)計(jì)學(xué)家Kullback和Leibler提出了相對熵的概念，用來度量兩個(gè)分布之間的差異程度，也稱為Kullback-Leibler距離。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)重要方面就是從已知樣本去估計(jì)母體的分布,或者推斷分布的特征,對于同樣的母體分布，當(dāng)用幾種不同的統(tǒng)計(jì)方法獲得了母體的不同估計(jì)分布后,人們往往要對所求得的分布進(jìn)行比較，為此，統(tǒng)計(jì)學(xué)上引入了許多度量兩個(gè)分布差異的方法，如相對熵，Pearson-χ2距離和全變差距離等，相對熵應(yīng)用于許多領(lǐng)域，從相對熵的定義看出，它已經(jīng)不滿足傳統(tǒng)的距離中對稱性、三角不等式性等條款。盡管如此，由于它確實(shí)能夠在某種程度上刻畫兩個(gè)密度函數(shù)的差異程度，近年來，概率密度函數(shù)的相對熵在學(xué)術(shù)界備受關(guān)注，人們在討論極值分布的大樣本問題、分布函數(shù)估計(jì)的收斂性、用不同算法借補(bǔ)有缺失數(shù)據(jù)的分布估計(jì)的收斂速度等問題時(shí)，都使用相對熵[1-5]。本文將相對熵定義進(jìn)行了推廣，定義了最小相對熵。從定義形式上看，并不難理解，最小相對熵是將兩個(gè)概率密度函數(shù)間的相對熵求較小值，但它的意義在于克服了相對熵沒有對稱性的缺陷。本文計(jì)算了兩個(gè)廣義伽瑪分布之間相對熵及最小相對熵。作為廣義伽瑪分布的特例，推導(dǎo)出兩個(gè)伽瑪分布、Weibull分布、Rayleigh分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布之間的相對熵及最小相對熵。

1 相關(guān)定義及其性質(zhì)

則稱隨機(jī)變量X服從廣義伽瑪分布,記為GΓ()α，β，λ。

由定義1可知，當(dāng)α，β取一些特殊值時(shí)，得到以下一些特例：

定義1[6]：如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

一般記為Γ(α，λ)。伽瑪分布中，若α為整數(shù)就是Erlang分布；伽瑪分布中，α=n（1）當(dāng)β=1時(shí)，得到伽瑪分布,密度函數(shù)為：2，λ=2就是 χ2分布。（2）當(dāng)α=1時(shí)，得到Weibull分布,密度函數(shù)為：

一般記為W(β，λ)。

（3）當(dāng) α=1，β=2，λ=2σ 時(shí)，得到 Rayleigh分布,密度函數(shù)為：

一般記為 R(σ)。

（4）當(dāng)α=1，β=1時(shí)，得到指數(shù)分布，密度函數(shù)為：

一般記為 E(λ)。

一般記為 N(0，σ2)。

定義 2[7]：設(shè) f(x),g(x)是兩個(gè)密度函數(shù),Sf和Sg分f(x) dx＜+∞時(shí),則稱這個(gè)值是g(x)到f(x)的相對熵，又稱為Kullback-Leibler距離,記為d( f ，g )。

當(dāng)f(x)，g(x)都是離散型隨機(jī)變量分布時(shí)，定義2中的積分需換成相應(yīng)的求和記號。

定義3：設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量 X1，X2的概率密度函數(shù)分別為 f(x)、g(x)，并且 f(x)＞0，g(x)＞0，若 d( f ，g ) 和d(g，f)都存在，記 dmin(f，g)=min{d(f，g)，d(g，f)} ，則稱dmin(f，g)為 f(x)，g(x)兩個(gè)密度函數(shù)之間的最小相對熵。

由定義2和定義3易得以下有關(guān)相對熵的性質(zhì)。

性質(zhì)1：設(shè) f(x)＞0，g(x)＞0是兩個(gè)概率密度函數(shù)，則：

（1）非負(fù)性 d(f，g)≥0

（3）d(f，g)=0?E(lnf(x))=E(lng(x))?f(x)=g(x)=0

（4）d(f，g1)-d(f，g2)=

從性質(zhì)1的（1）、（3）知相對熵確實(shí)能刻畫兩個(gè)分布g(x)與Sf之間的差異程度，但是相對熵對稱性,三角形不等式未必成立。

性質(zhì)2：設(shè) f(x)＞0，g(x)＞0是兩個(gè)概率密度函數(shù)，

則：

從性質(zhì)2可以看出,最小相對熵與相對熵相比較,最小相對熵除了具有相對熵的性質(zhì)外,還具有對稱性、三角不等式性質(zhì)。

引理1：如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

則：

證明：計(jì)算積分

由式（1）可得隨機(jī)變量X的K階矩為：

當(dāng)式（1）中 s=0時(shí)，得到：

對式（2）兩邊關(guān)于α求導(dǎo)得：

因此：

2 兩個(gè)廣義伽瑪分布之間的相對熵

定理 1：設(shè) f(x)、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α，β，λ1) 、GΓ(α，β，λ2)的密度函數(shù),則：

證明：根據(jù)定義2可得：

所以：

從上式可看出，當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0

定理 2：設(shè)f(x ) 、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α，β，λ1) 、GΓ(α，β，λ2)的密度函數(shù)，則：

定理 3：設(shè)f(x ) 、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α，β，λ1) 、GΓ(α，β，λ2)的密度函數(shù)，則：

證明：由定理1和定理2可知：

構(gòu)造函數(shù)：

可得：

易知 f(t)為(0，+∞ )單調(diào)遞增函數(shù)。且當(dāng)t=1時(shí)：

故：

因此：

且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0 。

定理4：設(shè) f(x)、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α1，β，λ)、GΓ(α2，β，λ)的密度函數(shù)，則：′

證明：根據(jù)相對熵的定義得：

根據(jù)引理1結(jié)論可得：

所以：

由上式可知，d( f ，g )與λ、β無關(guān)，兩個(gè)密度函數(shù)的相近程度由參數(shù)α決定，當(dāng)α1→α2時(shí)，d( f ，g )→0。

定理 5：設(shè) f(x)、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α1，β，λ)、GΓ(α2，β，λ)的密度函數(shù)，當(dāng) β ，λ確定時(shí)，

且當(dāng)α1→α2時(shí)，d( f ，g )→0。

定理 6：設(shè) f(x)、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α，β1，λ)、GΓ(α，β2，λ)的密度函數(shù)，當(dāng) α ，λ確定時(shí)，

證明：根據(jù)相對熵的定義可得：

分別計(jì)算上式三個(gè)積分，根據(jù)引理1結(jié)論可得：

所以：

從上式可看出，d( f ，g ) 與 λ無關(guān)，當(dāng) β1→β2時(shí)，d(f，g)→0 。

定理 7：設(shè)f(x ) 、g(x)分別是廣義伽瑪分布GΓ(α，β1，λ)、GΓ(α，β2，λ)的密度函數(shù),當(dāng) α ,λ確定時(shí),則：

且當(dāng) β1→β2時(shí)，d(f，g)→0 。

由以上定理可得以下推論：

推論1：設(shè) f(x)、g(x) 分別是伽瑪 Γ(α，λ1) Γ(α，λ2)的密度函數(shù)，則：

且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0

推論2:設(shè) f(x)、g(x) 分別是伽瑪 Γ(α，λ1) Γ(α，λ2)的密度函數(shù),則：

且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0

推論3：設(shè) f(x)、g(x )分別是Weibull分布W(β，λ1)、W(β，λ2)的密度函數(shù)，則：

且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0。

推論4：設(shè) f(x)、g(x )分別是Weibull分布W(β，λ1)、W(β，λ2)的密度函數(shù)，則：

且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0 。

推論5：設(shè) f(x)、g(x) 分別是 Rayleigh分布 R(σ1)、R(σ2)的密度函數(shù)，則：

且當(dāng)σ1→σ2時(shí)，d(f，g)→0。

推論6：設(shè) f(x)、g(x) 分別是 Rayleigh分布 R(σ1)、R(σ2)的密度函數(shù)，則：

且當(dāng)σ1→σ2時(shí)，d(f，g)→0。

且當(dāng)σ1→σ2時(shí)，d(f，g)→0。

且當(dāng)σ1→σ2時(shí)，d(f，g)→0。

推論9：設(shè) f(x)、g(x) 分別是指數(shù)分布 E(λ1)、E(λ2)的密度函數(shù)，則：

且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0 。

推論10：設(shè) f(x)、g(x) 分別是指數(shù)分布 E(λ1)、E(λ2)的密度函數(shù)，則：且當(dāng) λ1→λ2時(shí)，d(f，g)→0 。

3 幾個(gè)距離間的關(guān)系

定義4［7］：設(shè) f(x)，g(x)是兩個(gè)密度函數(shù)，Sf和Sg分離，記為 d2(f，g)。

定義 5［7］：設(shè) f(x)，g(x)是兩個(gè)密度函數(shù)，稱V2(f，g)=suAp|F(A)-G(A)|是f(x)到g(x)的全變差距離，其中

定理8［7］：以下討論的距離都存在，則：

（1）當(dāng) f(x)≥g(x)時(shí)，d(f，g)≤d2(g，f)。

（2）V2(f，g)≤ d2(f，g)。

有 d(f，g)，d(g，f)及 min{d(f，g)，d(g，f)} 的定義易得如下定理。

定理9：若以下討論的距離都存在，則：

（1）min{d(f，g)，d(g，f)} ≤d(f，g)≤ max{d(f，g)，d(g，f)} ；

（2）當(dāng) f(x)≥g(x)時(shí) d(f，g)≥d(g，f)，且 d(f，g)≥(d(f，g)+d(g，f))≥d(g，f) ；當(dāng)f(x)≤g(x) 時(shí) d(f，g)≤d(g，f)，且 d(f，g)≤(d(f，g)+d(g，f))≤d(g，f)。

從定理 9中的式（1）還可以看出，當(dāng) min{d(f，g)，d(g，f)}充分小時(shí)，必有d(f，g)充分小。用最小Kullback-Leibler距離min{d(f，g)，d(g，f)} 來比較兩個(gè)密度函數(shù)比用d(f，g)刻畫要合理。

4 結(jié)束語

相對熵用來度量兩個(gè)分布之間的差異程度，相對熵越小，表示兩個(gè)分布之間越接近，反之，相差越大，當(dāng)兩個(gè)分布相同時(shí)，相對熵為零。本文計(jì)算了兩個(gè)廣義伽瑪分布之間的相對熵，得到了公式。根據(jù)參數(shù)的大小，非常容易度量兩個(gè)廣義伽瑪分布之間接近程度，或根據(jù)兩個(gè)廣義伽瑪分布之間接近程度的要求，由公式快捷選擇參數(shù)。從相對熵的定義看出，它不滿足傳統(tǒng)的距離中對稱性、三角不等式性等條款。本文定義了最小相對熵。從定義形式上看，并不難理解，最小相對熵是將兩個(gè)概率密度函數(shù)間的相對熵求較小值，但它的意義在于克服了相對熵沒有對稱性的缺陷。并且最小相對熵充分小時(shí)，必有相對熵充分小。用最小相對熵來度量兩個(gè)密度函數(shù)比用相對熵刻畫更為合理。本文還推導(dǎo)出兩個(gè)伽瑪分布、Weibull分布、Rayleigh分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布之間的相對熵及最小相對熵。為實(shí)際應(yīng)用，提供許多方便。

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