李茂林，向永源 ，金振宇，劉 忠

(1. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明 650011；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

大氣湍流將地基大望遠(yuǎn)鏡的成像分辨率限制在1″左右，實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)光學(xué)技術(shù)和高分辨圖像處理方法能夠克服大氣湍流的影響，實(shí)現(xiàn)地基望遠(yuǎn)鏡衍射極限成像[1]。一些已經(jīng)應(yīng)用于太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡的高分辨圖像處理方法主要有斑點(diǎn)重構(gòu)法、相位差法、太陽(yáng)多幀盲反卷積法。對(duì)于斑點(diǎn)重構(gòu)法，比如斑點(diǎn)干涉術(shù)(Speckle Interferometry)、KNOX-THOMPSON算法和斑點(diǎn)掩模法(Speckle Masking)，只在等暈區(qū)內(nèi)有效。等暈區(qū)內(nèi)部近似是一個(gè)線(xiàn)性空不變系統(tǒng)，可認(rèn)為具有相同的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)(Point Spread Function, PSF)。天文上一般一個(gè)等暈區(qū)大小不超過(guò)5″。通常，大視場(chǎng)目標(biāo)的高分辨圖像重建，圖像需要分塊重建，分塊的原則是子塊大小和等暈區(qū)大小匹配[2]。當(dāng)重建區(qū)域大于等暈區(qū)時(shí)，不再滿(mǎn)足線(xiàn)性空不變條件，大氣的非等暈效應(yīng)使斑點(diǎn)重構(gòu)算法失效。

撫仙湖1 m新真空太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡(New Vacuum Solar Telescope, NVST)是國(guó)內(nèi)口徑最大的地基真空太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡，主要用于太陽(yáng)光球和色球的高分辨率成像觀(guān)測(cè)和太陽(yáng)光譜觀(guān)測(cè)[3-4]。1 m太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡目前采用斑點(diǎn)干涉術(shù)和斑點(diǎn)掩模法的圖像統(tǒng)計(jì)重建技術(shù)對(duì)觀(guān)測(cè)圖像進(jìn)行高分辨率重建[5]，重建子塊大小為4.5″，是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值確定的。真實(shí)的等暈區(qū)大小與大氣狀況有關(guān)，在觀(guān)測(cè)過(guò)程中，很難精確知道等暈區(qū)的大小，這就導(dǎo)致在圖像重建過(guò)程中子塊大小不夠精確。顯然，以固定的經(jīng)驗(yàn)值分塊重建存在算法失效造成重建精度降低的可能性，比如會(huì)導(dǎo)致光球磁亮點(diǎn)與米粒間對(duì)比度降低，磁亮點(diǎn)分辨率下降。

已經(jīng)有研究人員做過(guò)很多關(guān)于大氣非等暈效應(yīng)的研究，比如，文[6]使用數(shù)值模擬的方法分析非等暈性對(duì)斑點(diǎn)圖功率譜的影響；文[2]通過(guò)雙星的斑點(diǎn)圖和斑點(diǎn)干涉術(shù)方法研究大氣的非等暈性；文[7]使用斑點(diǎn)全息術(shù)(Speckle Holography)測(cè)量等暈區(qū)的大??；文[8]研究非等暈效應(yīng)對(duì)KNOX-THOMPSON算法的影響。本文基于1 m太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用斑點(diǎn)重構(gòu)方法，展開(kāi)對(duì)望遠(yuǎn)鏡不同重建子塊大小情況下非等暈效應(yīng)的影響分析。

1 理論分析

斑點(diǎn)重構(gòu)方法完整的重建目標(biāo)，需要分別重建目標(biāo)的傅里葉模(斑點(diǎn)干涉術(shù))和傅里葉相位(斑點(diǎn)掩模法或KNOX-THOMPSON算法)。大視場(chǎng)目標(biāo)圖像分塊重建時(shí)，如果分塊大小超過(guò)真實(shí)的等暈區(qū)大小，重建結(jié)果的模和相位均可能存在因算法失效引起的誤差。下面以?xún)蓚€(gè)點(diǎn)源目標(biāo)為例，理論上推導(dǎo)大氣非等暈性對(duì)模和相位重建算法的影響。

1.1 等暈區(qū)

觀(guān)測(cè)時(shí)，因目標(biāo)各部分的光傳輸路徑不同，各部分的瞬時(shí)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)也不一樣，但是一定視場(chǎng)范圍內(nèi)，各個(gè)小區(qū)域基本滿(mǎn)足線(xiàn)性空不變假設(shè)，有相同的點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)，這個(gè)區(qū)域稱(chēng)為等暈區(qū)。如圖1，來(lái)自不同方向上的目標(biāo)O1和O2的光束經(jīng)歷了不同的大氣擾動(dòng)，當(dāng)兩個(gè)目標(biāo)靠得比較近時(shí)(比如1″、 2″)，可以認(rèn)為這兩個(gè)目標(biāo)經(jīng)歷了相同的大氣擾動(dòng)，也可以認(rèn)為在同一個(gè)等暈區(qū)內(nèi)。圖中虛線(xiàn)矩形框內(nèi)為兩個(gè)目標(biāo)經(jīng)歷的相同的大氣擾動(dòng)，可以看出兩個(gè)目標(biāo)越靠近，經(jīng)歷的大氣擾動(dòng)相關(guān)性越大。根據(jù)文[9]的研究，對(duì)于Kolmogorov湍流，大氣等暈角可表示為

(1)

圖1 等暈區(qū)示意圖
Fig.1 The diagram of isoplanatic region

1.2 非等暈效應(yīng)對(duì)斑點(diǎn)干涉術(shù)的影響

斑點(diǎn)干涉術(shù)由文[10]提出，是通過(guò)統(tǒng)計(jì)斑點(diǎn)圖的平均能譜復(fù)原目標(biāo)傅里葉振幅。在滿(mǎn)足等暈性假設(shè)的條件下，每幀短曝光圖像i(x,y)可以看作是目標(biāo)o(x,y)和系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x,y)的卷積：

i(x,y)=o(x,y)?h(x,y) .

(2)

對(duì)斑點(diǎn)圖進(jìn)行能譜統(tǒng)計(jì)并引入遍歷性假設(shè)后，目標(biāo)功率譜可寫(xiě)為

(3)

其中，〈〉表示算術(shù)平均；I(u,v)，O(u,v)，H(u,v)為(2)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的傅里葉變換；分母叫做斑點(diǎn)干涉術(shù)傳遞函數(shù)(Speckle Transfer Function, STF)。

假設(shè)兩個(gè)角距離為θ的點(diǎn)源分別為m1δ1(x,y)，m2δ2(x,y,θ)，其中m1，m2為點(diǎn)源強(qiáng)度，通過(guò)大氣不同部分成像時(shí)瞬時(shí)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)分別為h1(x,y)，h2(x,y,θ)，則斑點(diǎn)圖強(qiáng)度為

ix,y=m1δ1x,y?h1x,y+m2δ2x,y,θ?h2x,y,θ，

(4)

在滿(mǎn)足遍歷條件下，斑點(diǎn)圖平均功率譜為

〈I(u,v)2〉=m12〈H1u,v2〉+m22〈H2u,v,θ2〉+

(5)

從(5)式可以看出，當(dāng)θ足夠小，兩個(gè)目標(biāo)在等暈區(qū)內(nèi)，即H1(u,v)=H2(u,v,θ)時(shí)，(5)式簡(jiǎn)化為

〈I(u,v)2〉=m1+m22〈H1u,v2〉，

(6)

對(duì)(6)式退卷積可得目標(biāo)的強(qiáng)度；當(dāng)H1(u,v)≠H2(u,v,θ)時(shí)，不論使用哪個(gè)點(diǎn)源目標(biāo)的斑點(diǎn)干涉術(shù)傳遞函數(shù)都無(wú)法準(zhǔn)確得到兩個(gè)目標(biāo)的強(qiáng)度。因此，重建區(qū)域超過(guò)等暈區(qū)大小時(shí)，大氣的非等暈效應(yīng)導(dǎo)致斑點(diǎn)干涉術(shù)算法失效，算法失效使得目標(biāo)的傅里葉模重建不準(zhǔn)確。

1.3 非等暈效應(yīng)對(duì)斑點(diǎn)掩模法重建相位的影響

斑點(diǎn)掩模法由文[11]提出，又稱(chēng)為三重相關(guān)法或重譜法，是對(duì)目標(biāo)斑點(diǎn)圖的三重相關(guān)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均。使用重譜法可以從統(tǒng)計(jì)結(jié)果中遞推出重建目標(biāo)的相位。函數(shù)i(x,y)的重譜表達(dá)式為

I(3)(u,v,Δu,Δv)=I(u,v)I(Δu,Δv)I*(u+Δu,v+Δv)，

(7)

為了簡(jiǎn)化，將(7)式寫(xiě)成如下形式：

(8)

在滿(mǎn)足等暈條件和遍歷假設(shè)的前提下，斑點(diǎn)圖的重譜統(tǒng)計(jì)為

(9)

(10)

按照湍流大氣理論，波相位的漲落服從高斯分布，根據(jù)對(duì)于任何實(shí)值高斯隨機(jī)變量z和任何復(fù)常數(shù)a都成立的關(guān)系：

(11)

則：

(12)

(12)式所得結(jié)果為實(shí)數(shù)，可以說(shuō)明(9)式中和傳遞函數(shù)相關(guān)的部分為實(shí)數(shù)，對(duì)重譜的相位沒(méi)有貢獻(xiàn)。

根據(jù)(9)式重譜相位和目標(biāo)的相位關(guān)系可以寫(xiě)為

(13)

其中，ΦB為重譜對(duì)應(yīng)的相位；φ為目標(biāo)對(duì)應(yīng)頻率的傅里葉相位。根據(jù)(13)式可以從低頻到高頻遞推目標(biāo)的全部相位。

1.2節(jié)兩個(gè)點(diǎn)源目標(biāo)斑點(diǎn)圖的重譜統(tǒng)計(jì)為

根據(jù)(11)式可證明(14)式中和傳遞函數(shù)相關(guān)的部分均為實(shí)數(shù)，傳遞函數(shù)對(duì)重譜的相位并沒(méi)有貢獻(xiàn)。雖然傳遞函數(shù)相關(guān)項(xiàng)不會(huì)影響重譜的相位，但是當(dāng)擴(kuò)展目標(biāo)超過(guò)等暈區(qū)大小時(shí)，目標(biāo)重譜相位與目標(biāo)傅里葉相位之間的關(guān)系不再?lài)?yán)格滿(mǎn)足(13)式。因此，當(dāng)重建區(qū)域超過(guò)等暈區(qū)大小時(shí)，非等暈效應(yīng)導(dǎo)致目標(biāo)相位與重譜相位不再滿(mǎn)足相位遞推關(guān)系，在使用斑點(diǎn)掩模法遞推目標(biāo)傅里葉相位時(shí)會(huì)出現(xiàn)誤差，隨著遞推頻率的增加，遞推誤差不斷累積。

2 數(shù)據(jù)分析

2.1 數(shù)據(jù)重建流程簡(jiǎn)介

1 m太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)要的流程圖如圖2，主要包括數(shù)據(jù)預(yù)處理、圖像分塊、振幅和相位重建以及圖像拼接。其中數(shù)據(jù)預(yù)處理包括平暗場(chǎng)處理、數(shù)據(jù)對(duì)齊。圖像分塊應(yīng)盡量使重建區(qū)域在等暈區(qū)大小以?xún)?nèi)。1 m太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡使用斑點(diǎn)干涉術(shù)復(fù)原目標(biāo)各子塊的傅里葉模，使用斑點(diǎn)掩模法重建目標(biāo)各子塊的傅里葉相位。重建各子塊振幅和相位之后合成復(fù)變量，再通過(guò)逆傅里葉變換得到高分辨率的子圖像，然后各子圖像拼接成全視場(chǎng)圖像[1]。

2.2 數(shù)據(jù)重建

理論上分析了當(dāng)重建區(qū)域超過(guò)等暈區(qū)大小時(shí)非等暈效應(yīng)會(huì)使算法失效，造成目標(biāo)傅里葉模和相位重建準(zhǔn)確度降低，接下來(lái)通過(guò)對(duì)模和相位的分析研究在實(shí)際數(shù)據(jù)處理中不同重建子塊大小情況下非等暈效應(yīng)對(duì)算法重建結(jié)果的影響。

2.2.1 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

使用1 m太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡的實(shí)測(cè)光球數(shù)據(jù)分別進(jìn)行分塊重建，數(shù)據(jù)取自2014年10月3日。光球數(shù)據(jù)使用Andor sCMOS相機(jī)采集，波段為705.8 nm，采集圖像大小2 560 × 2 160 pixel，每組200幀，采集時(shí)間30 s。數(shù)據(jù)分塊重建區(qū)域大小分別為5″、10″、15″、20″。圖3為其中一張?jiān)紨?shù)據(jù)圖。

圖2 數(shù)據(jù)處理簡(jiǎn)要流程圖
Fig.2 Flow diagram of data processing

圖3 原始數(shù)據(jù)圖
Fig.3 The raw data

2.2.2 重建結(jié)果

由于重建圖像過(guò)大，這里只取圖3中紅色框部分進(jìn)行比較，圖4為紅色框部分對(duì)應(yīng)的重建結(jié)果。從上至下、從左至右重建子塊大小分別為5″、10″、15″、20″。

通過(guò)對(duì)不同結(jié)果的比較，可以發(fā)現(xiàn)，5″ 重建結(jié)果分辨率最高，圖像質(zhì)量最好。當(dāng)子塊大小為10″ 時(shí)，5″ 重建結(jié)果中米粒間部分相近的孤立磁亮點(diǎn)在10″ 重建結(jié)果中表現(xiàn)為長(zhǎng)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，并且磁亮點(diǎn)與米粒結(jié)構(gòu)的對(duì)比度有所降低。15″ 和20″ 重建結(jié)果中圖像分辨率明顯降低，圖像質(zhì)量明顯下降。

2.3 重建結(jié)果分析

從圖4的重建結(jié)果可以看出，隨著重建子塊大小的增加，圖像質(zhì)量明顯下降，接下來(lái)對(duì)重建圖像的功率譜和相位做進(jìn)一步分析。

2.3.1 功率譜分析

圖像f(x,y)的功率譜可由其傅里葉變換模的平方得到，(15)式為圖像功率譜表達(dá)式：

PSu,v=FFTfx,y2.

(15)

從(15)式可以看出，圖像功率譜并不包含圖像的傅里葉相位，只反映重建圖像模的情況。

圖5為重建結(jié)果的功率譜曲線(xiàn)圖，為了方便分析，這里只給出3條曲線(xiàn)。圖中實(shí)線(xiàn)、實(shí)線(xiàn)加“*”、虛線(xiàn)分別對(duì)應(yīng)5″、15″、20″ 情況下重建圖像的平均功率譜曲線(xiàn)。

通過(guò)功率譜圖可以看到，重建分塊的大小在低頻部分對(duì)圖像功率譜沒(méi)有太大影響，影響比較大的是中頻附近至高頻部分。15″ 功率譜曲線(xiàn)中頻、高頻均低于5″ 的情況，在中頻、中高頻區(qū)域下降比較明顯，說(shuō)明圖像的對(duì)比度、分辨率已經(jīng)有變化。20″ 的功率譜曲線(xiàn)在中頻附近低于15″ 的功率譜曲線(xiàn)，其它部分都很接近。對(duì)10″ 重建結(jié)果的功率譜進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)10″ 和5″ 的功率譜曲線(xiàn)在低頻部分非常接近，但是在中頻至中高頻部分，10″ 的功率譜曲線(xiàn)整體低于5″ 的功率譜曲線(xiàn)。隨著重建子區(qū)域的增大，重建圖像功率譜曲線(xiàn)之間的差距在減小且這種差距有向中頻集中的趨勢(shì)。

圖4 數(shù)據(jù)重建結(jié)果，從上至下、從左至右重建區(qū)域大小分別為5″、10″、15″、20″

Fig.4 Data reconstruction results and from top to bottom, from left to right the reconstruction sub-fields size are 5″, 10″, 15″, 20″

圖5 圖像功率譜曲線(xiàn)圖
Fig.5 The curve of power spectrum

2.3.2 相位分析

相位和模共同決定重建圖像的質(zhì)量，為了看出相位對(duì)圖像質(zhì)量的影響，這里使用固定的模和重建的相位組合的方法。固定的模采用重建子區(qū)域?yàn)?″ 時(shí)得到的結(jié)果，和重建子區(qū)域大小為10″、15″、20″ 時(shí)得到的對(duì)應(yīng)區(qū)域的相位分別組合得到的部分圖像如圖6。圖6代表的區(qū)域與圖4一致，從左至右采用的相位分別對(duì)應(yīng)10″、15″、20″。

圖6 固定的模與不同相位的組合結(jié)果，從左至右重建區(qū)域大小分別為10″、15″、20″

Fig.6 The results of fixed amplitude combine with different phases and from left to right the reconstruction sub-fields size are 10″, 15″, 20″

從圖6可以看出，隨著重建子區(qū)域的增大，圖像質(zhì)量逐漸下降且都低于圖4中5″ 的情況。由于使用的模相同，圖像質(zhì)量的下降是由相位重建準(zhǔn)確度降低引起，通過(guò)圖像質(zhì)量的比較可以知道，4種情況下重建子區(qū)域?yàn)?″ 時(shí)相位重建的準(zhǔn)確度最高，最接近目標(biāo)的真實(shí)相位。

將圖6中10″、15″、20″ 重建的相位寫(xiě)成復(fù)指數(shù)形式與5″ 對(duì)應(yīng)區(qū)域重建相位的復(fù)指數(shù)形式相減，并求出相減結(jié)果的模。(16)式為計(jì)算公式：

Z=expjΦm-expjΦ5″，

(16)

其中，||表示求復(fù)數(shù)的模；Φ5″為5″ 重建的相位；Φm為10″、15″、20″ 重建的相位。

經(jīng)過(guò)計(jì)算得到圖7的指數(shù)相位相減圖，從左至右分別為10″、15″、20″ 與5″ 相同區(qū)域重建相位的復(fù)指數(shù)形式相減結(jié)果的模。從圖7可以發(fā)現(xiàn)，10″、15″、20″ 情況下重建的中高頻部分的相位與5″ 時(shí)均有差別，且隨著重建子區(qū)域的增加中間低頻部分差別也在增加。隨著重建子區(qū)域的增大，相位重建準(zhǔn)確度降低。

圖7 相位相減結(jié)果圖,從左至右對(duì)應(yīng)重建區(qū)域大小分別為10″、15″、20″
Fig.7 The image of phase subtraction result and from left to right the reconstruction sub-fields size are 10″, 15″, 20″

3 討論與總結(jié)

當(dāng)重建子區(qū)域大小為10″、15″、20″ 時(shí)已經(jīng)超過(guò)天文上一個(gè)等暈區(qū)大小，此時(shí)非等暈效應(yīng)使斑點(diǎn)干涉術(shù)和斑點(diǎn)掩模法失效，算法重建的傅里葉模和相位準(zhǔn)確度的降低導(dǎo)致圖像分辨率降低，細(xì)節(jié)不豐富。通過(guò)以上分析可以知道，不同子塊大小重建結(jié)果有差別，圖像質(zhì)量隨著子塊大小的增加而下降。說(shuō)明重建子塊越大，超過(guò)等暈區(qū)大小越多時(shí)，非等暈效應(yīng)對(duì)斑點(diǎn)干涉術(shù)和斑點(diǎn)掩模法的影響越嚴(yán)重。

為了重建圖像有更好的分辨率，最好以等暈區(qū)大小分塊，這樣非等暈效應(yīng)對(duì)斑點(diǎn)干涉術(shù)和斑點(diǎn)掩模法的影響最小，甚至可以忽略。但是實(shí)時(shí)獲取大氣等暈區(qū)大小比較困難，分塊小也未必能得到最好的結(jié)果，在上面的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分塊重建中，計(jì)算了子塊大小2″ 時(shí)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有5″ 效果好。這是因?yàn)樵诎唿c(diǎn)重構(gòu)之前需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)齊以降低望遠(yuǎn)鏡的晃動(dòng)或者跟蹤誤差帶來(lái)的不利影響，子塊過(guò)小對(duì)齊精度降低，同樣影響圖像質(zhì)量。

在數(shù)據(jù)處理中，分塊大小要綜合考慮多種因素，比如當(dāng)日的大氣視寧度、風(fēng)速等。考慮到1 m太陽(yáng)望遠(yuǎn)鏡高分辨重建算法的實(shí)際情況，建議在對(duì)某一段時(shí)間的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行高分辨重建時(shí)，先采用不同子塊大小重建出少量的圖像。通過(guò)對(duì)不同子塊大小的結(jié)果進(jìn)行比較確定最合理的重建子塊大小，最后再進(jìn)行全部數(shù)據(jù)的高分辨圖像重建。

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