電磁場問題包括帶電粒子在磁場中的運動以及電磁感應定律應用等，在高考中一般都較為熱門。其中帶電粒子在電磁場中的運動分值又比較高。該類題型除去物理知識外，數理幾何的思想也相當重要，可以說數理幾何的運用在磁場中帶電粒子運動的過程里扮演著更為重要的作用。

電磁場的題目是高中物理中的重點也是一大難點，特別是在復雜的帶電粒子運動的題目中，數理幾何思維對于題目的求解就顯得極其重要。在求解題目中的物理問題、物理邊界時，更多的要依靠所給題目中的幾何邊界才能解出，所以說數理幾何思維在高考解題中不可或缺。相比而言，在教科書中很少對帶電粒子在電磁場中的運動進行詳細的論證、歸類，從教科書中無法看出數理幾何對于解題的重要性。

求解電磁場問題時一定要注意技巧，根據力的獨立性原理，電場力與磁場的洛倫茲力的作用效果不同，洛倫茲力對電荷不做功，而電場力對電荷做功，力的作用效果的獨立性是我們解決電磁場問題的理論依據之一。帶電粒子在電磁場中既可能做復雜的曲線運動，也有可能做比較簡單的直線運動，常見題型中，根據電磁場的位形可以大致分為兩場分離、兩場重疊；按粒子入場速度又可以分為初速度為零與不為零，不為零時還包含了與電場方向相互平行射入和相互垂直射入。高考真題中也不外乎是這些類型的組合而已。本文將對上述類型例題進行分析，并對圓形磁場中帶電粒子運動的物理規(guī)律進行總結。

數理幾何概述

數理幾何是指在物體運動的物理規(guī)律和軌跡曲線中引入數學幾何的方法，在電磁場類物理題中特別常見，先運用數理幾何思維結合電磁場邊界，找出帶電粒子運動軌跡的半徑、圓心等的相關關系，再和該題目中的物理條件相結合，做出帶電粒子的軌跡，而帶電粒子在電磁場中的運動問題，一旦解決了運動軌跡，其他問題也就都迎刃而解了。另外，數理幾何思維除了在電磁場中有重要運用，其實在高中物理的其他板塊中也有重要運用，比如平拋運動中的速度夾角與位移夾角的關系等等，這里不再一一贅述了，當然數理幾何思維在電磁場題目中化繁為簡的作用運用的更為廣泛。

數理幾何在電磁場中的應用

了解了帶電粒子在電磁場中運動的重要性以及數理幾何思維對于運動軌跡的求解優(yōu)勢之后，我們來探究數理幾何思維在高考真題中的運用情況。

電場與磁場分離

2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r。

3）粒子從M點運動到P點的總時間t。

分析：對該粒子的整個運動狀態(tài)進行分析知，粒子在MN段只受到電場力作用做類平拋運動，在知道速度偏角的情況下，可以輕松求出粒子出電場的末速度，結合動能定理，UMN即可得出。在磁場中，由洛倫茲力提供向心力便可計算出粒子運動的軌道半徑。要求M點到P點的總時間，分為電場與磁場兩部分，電場中的類平拋運動的時間與磁場中運動的半徑之間存在幾何關系，而在磁場中，運動時間直接受到運動軌跡轉過的圓心角的度數影響，這些都是數理幾何思維在體中的體現，做出粒子大致的運動軌跡如圖2。

結語：這類題很多，此處不一一列舉，很容易看出，在電磁場分離的題中，速度總是與磁場垂直進入，洛倫茲力提供勻速圓周運動所需的向心力，在電場中做勻變速運動，在結合數理幾何思維的情況下，解題思路清晰。

電場與磁場重合

當電場與磁場重合時，帶電粒子的運動軌跡較為復雜，高中物理中一般涉及的都是比較特殊的情景，便于求解，本文將分為兩類來探討其中的數理幾何思維。

1）電場與磁場平行。

可以看出，數理幾何思維將原本復雜的運動軌跡簡單化，化繁為簡，更利于我們去理解復雜物理現象中的基本物理規(guī)律。

2）電場與磁場垂直。

例2（2008江蘇）在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正點q的小球在O點靜止釋放，小球的運動曲線如圖4所示，已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，求：

（1）小球運動到任意位置P（x，y）的速率v。

分析：第（1）（2）問都較為簡單，不涉及電場，但由于額外增加了重力場，帶電小球做擺線運動，由數理幾何關系便知，在磁場中主要由洛倫茲力提供向心力，下降過程中，重力做正功，使小球速度增加，從而使得小球做圓周運動的半徑增加，所以做了擺線運動，而增加電場后，又可以將電場力與重力的合力等效為原來的重力，不過方向相反了。

解：（1）由洛倫茲力不做功，則從O→P點由動能定理得：

即在軌跡的最低點處，由洛倫茲力與重力的合力提供向心力，則有：

結語：對于電場與磁場重疊的題目而言，數理幾何思維都是求解的前提，是整個題目的出發(fā)點，有了確定的數理幾何關系，才能繼續(xù)求解電磁場問題，所以數理幾何思維是相當的重要。

圓形磁場中的數理幾何規(guī)律

如圖5，有一邊界為圓形的垂直紙面向里的磁場，帶電粒子沿著磁場的半徑方向射入，在圓形磁場中做圓周運動一段時間后，射出。

根據數理幾何關系可以證明，離開磁場時射出圓形磁場區(qū)域的速度的反向延長線通過磁場邊界的圓心。另外，如果一束不同速率的帶電粒子，沿著半徑方向射入該邊界內，對于射出的粒子還有帶電粒子的速率越大，軌跡半徑越大，在磁場中運動的時間越短，速度偏向角即為磁場中圓周運動的圓弧所對應的圓心角。

結論

不難看出，數理幾何思維對于電磁場問題的求解相當的有幫助，不僅可以作為解題的出發(fā)點，還可以用來總結出帶電粒子在電磁場中運動的一般規(guī)律，我們在平常的解題中也要積累數理幾何方面的知識，這樣做題能夠事半功倍。

參考文獻

[1]駱永寬.基于規(guī)則空間法的高二學生物理學習認知診斷[D].廣州：廣州大學，2016.

[2]方文川，黃書鵬.帶電粒子在勻強電磁場中運動分類淺析[J].物理之友，2015，31（3）：31-35.

[3]饒華東，黃書鵬.帶電粒子在正交電磁場中運動的教學與相關高考試題研究[J].物理教師，2014，35（6）：88-89，91-92.

[4]常廣國.例析電磁場的時空間隙與帶電粒子的運動問題[J].中學物理，2012，30（23）：74-75.

[5]孟魯江，魏致遠.注意電場和磁場的邊界[J].物理通報，2012（10）：104-105.

[6]李艷紅.大學物理與中學物理課程恒定磁場部分的銜接研究[J].考試周刊，2012（14）：120-121.

[7]梁云階，孫增明.電磁場是一個統一的客觀實體[J].晉中師專學報，1997（1）：39-41，38.

[8]趙凱華.電磁場淺談[J].物理教學，1984（6）：6-8.

（作者簡介：裴心睿，成都市郫都區(qū)第一中學。）endprint