拓?fù)湮锢韺W(xué)的“初心”
——談凝聚態(tài)物理學(xué)中拓?fù)涓拍畹囊?/h1>
2018-01-11 07:33:52
物理之友 2017年12期
(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)
拓?fù)湮锢韺W(xué)的“初心”
——談凝聚態(tài)物理學(xué)中拓?fù)涓拍畹囊?/p>
熊燁①
(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)
本文介紹了拓?fù)湮锢韺W(xué)的開端，由狄拉克對磁單極子的討論，介紹了什么是拓?fù)潆s質(zhì)，以及它們對所處空間的影響。更為重要的是類似的概念可以從真實(shí)的空間拓展到參數(shù)空間，其中的一個(gè)重要的例子就是量子霍爾效應(yīng)，它使科學(xué)家第一次明確地引入了拓?fù)溥@個(gè)概念，并認(rèn)識到其對某些可觀察物理量的影響。
拓?fù)湮锢韺W(xué)；量子霍爾效應(yīng)；拓?fù)潆s質(zhì)
拓?fù)湮锢韺W(xué)是近些年最活躍的物理學(xué)分支之一，通過對它的研究，科學(xué)家提出了很多新材料，相比于傳統(tǒng)材料，拓?fù)洳牧蠈⒃谀芎?、物性等方面擁有巨大的?yōu)勢。更為重要的是，這方面的研究加深了人類對物理學(xué)基本理論的認(rèn)識，本文將著重介紹拓?fù)涓拍钍侨绾伪灰胛锢韺W(xué)的。
1 拓?fù)潆s質(zhì)與相位
20世紀(jì)初，量子力學(xué)的發(fā)展把波的相位放到了一個(gè)非常顯著的位置，數(shù)學(xué)上它描述了波函數(shù)這個(gè)復(fù)函數(shù)的復(fù)角，其后這個(gè)相位也被引入到超導(dǎo)和超流系統(tǒng)，并在其中起著非常重要的作用，拓?fù)湮锢韺W(xué)的開端同樣是從相位開始的。
拓?fù)涫敲枋鲅芯繉ο蟮囊活愄匦?，這些性質(zhì)將不會(huì)隨著拉伸或壓縮這樣的連續(xù)操作而改變。比如一個(gè)球面可以在一個(gè)方向上拉伸變成橢球面，或者適當(dāng)壓縮一下變成一個(gè)立方體的表面或者四面體的表面，但它不能通過上述方式變成一個(gè)甜甜圈的表面。拓?fù)湓谖锢碇谐霈F(xiàn)可以追溯到上個(gè)世紀(jì)30年代狄拉克(Dirac)關(guān)于磁單極子的討論，雖然當(dāng)時(shí)并沒有明確提出拓?fù)溥@樣的概念。
以上討論與拓?fù)湎嚓P(guān)的有兩部分：第一，那個(gè)圓形回路可以任意變形，只要它還保持是一個(gè)封閉的曲線，我們的討論都是有效的；第二，哪怕是在遙遠(yuǎn)的宇宙深處有這么一個(gè)磁單極子，由于距離遙遠(yuǎn)，我們已經(jīng)不能通過它所發(fā)出的磁場感知它的存在，但它還會(huì)對我們這個(gè)世界上的電荷量子化產(chǎn)生影響，按照拓?fù)湮锢韺W(xué)的語言，我們可以稱磁單極子為一個(gè)空間中的拓?fù)潆s質(zhì)。
磁單極子直到現(xiàn)在還沒有被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，但其他種類的拓?fù)潆s質(zhì)已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證，比如超導(dǎo)中的量子化磁通、超流中的量子化渦旋，以及液晶中的結(jié)構(gòu)雜質(zhì)等。這里我們簡單介紹一下超導(dǎo)中的量子磁通。描述超導(dǎo)體的一個(gè)基本物理量叫做超導(dǎo)的序參數(shù)，可以近似地把它想象為描述超導(dǎo)中電子對的量子波函數(shù)，所以這個(gè)序參數(shù)是個(gè)復(fù)數(shù)，它也有相位。在超導(dǎo)體中的任意一點(diǎn)，這個(gè)相位是個(gè)確定的值，與上面的情況類似，相位差為2π的整數(shù)倍就等于沒有差別，所以超導(dǎo)體中可以穿透一些磁通，但這些磁通的大小必須使序參數(shù)在環(huán)繞這些磁通的封閉曲線上所積累的相位變化為2π的整數(shù)倍。所以這些磁通不能取連續(xù)值，它們必須是一個(gè)量的整數(shù)倍，這個(gè)量就叫做量子磁通。只要超導(dǎo)體中有一個(gè)量子磁通，那么不管離它有多遠(yuǎn)，或者走過了一條多么曲折的路徑，只要環(huán)繞了這個(gè)磁通，那么序參數(shù)所積累的相位變化就必然是2π。圖1顯示了鐵基超導(dǎo)體中有兩個(gè)磁通渦旋時(shí)的樣子。
2 拓?fù)渑c量子霍爾效應(yīng)
以上我們所討論的路徑都是在真實(shí)的三維空間中，但類似的概念可以拓展到參數(shù)空間等任意空間，其中最著名的就是量子霍爾效應(yīng)的研究[2]。在上世紀(jì)八十年代初，由于微電子工藝技術(shù)的發(fā)展，人們可以把電子約束在一個(gè)二維平面上，研究電子在這個(gè)低維系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)特性。最初是實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在加入一個(gè)很強(qiáng)的垂直磁場后，二維電子系統(tǒng)表現(xiàn)出臺(tái)階狀的霍爾電阻，在平臺(tái)處時(shí)，直流電阻等于零。這無疑是一個(gè)非常有趣的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，吸引了很多物理學(xué)家來研究它。
圖1 兩個(gè)鐵基超導(dǎo)體上的量子磁通渦旋(a) 畫出了超導(dǎo)序參數(shù)的大小，在渦旋中心序參數(shù)等于0；(b)-(e) 畫出了總超導(dǎo)電流和它在三個(gè)d軌道上的分量。圖片來源：B. Urangaet al.，Physical Review B 93, 224503(2016)。
勞克林(因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的研究獲得1998年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng))設(shè)想把這個(gè)二維系統(tǒng)卷成一個(gè)圓筒，通過法拉第定律說明了為什么會(huì)有量子化的霍爾電導(dǎo)[3]，這些量子化的霍爾電導(dǎo)就對應(yīng)于一個(gè)一個(gè)的霍爾電阻的臺(tái)階。勞克林的討論說明了一個(gè)重要的因素：這個(gè)系統(tǒng)中量子波函數(shù)的相位信息在宏觀尺度上必須保持相干性，現(xiàn)在稱這類現(xiàn)象為宏觀量子現(xiàn)象，超導(dǎo)、量子霍爾效應(yīng)都屬于這一類現(xiàn)象。在我們平常的生活中，量子的相位信息由于退相干效應(yīng)在很短的尺度上就不再相干了。其后索利斯(由于對拓?fù)湮锢韺W(xué)的研究獲得2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng))等幾位教授使用線性響應(yīng)理論計(jì)算了霍爾電導(dǎo)，他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)電導(dǎo)與一個(gè)拓?fù)鋽?shù)——陳數(shù)直接相關(guān)。陳數(shù)是為紀(jì)念我國的數(shù)學(xué)家陳省身先生而命名的一個(gè)拓?fù)鋽?shù)學(xué)量。這是拓?fù)鋽?shù)學(xué)的研究第一次被引入物理學(xué)真實(shí)系統(tǒng)中。這里有一個(gè)小花絮，2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者之一的科斯特利茨在回憶他們獲獎(jiǎng)的工作時(shí)，提到是索利斯教授堅(jiān)持把他們的研究成果稱為拓?fù)湎嘧?，這表現(xiàn)出索利斯教授對拓?fù)湮锢韺W(xué)的深刻認(rèn)識。
最后簡單說說陳數(shù)在物理中的意義，我們的討論是在一個(gè)二維的波矢空間而不是二維真實(shí)空間，這個(gè)波矢空間是由于研究對象的平移對稱性而存在的參數(shù)空間。波矢空間中的每個(gè)點(diǎn)都有相對應(yīng)的量子波函數(shù)，可以簡單地把這個(gè)波函數(shù)用一個(gè)二維球面上的點(diǎn)來表示?，F(xiàn)在想象有一把刷子在這個(gè)球面上刷漆，刷子的位置就是由波矢空間的點(diǎn)來確定的。當(dāng)我們掃過二維波矢空間的所有點(diǎn)時(shí)，刷子也對應(yīng)地在球面上刷，這里會(huì)有兩種情況：一種是隨著掃過波矢空間中的所有點(diǎn)，刷子總是局限在球面上的某一個(gè)區(qū)域上刷來刷去，它沒有刷過整個(gè)球面，這時(shí)陳數(shù)就等于零；還有一種情況是刷子繞著球面把整個(gè)球都刷了個(gè)遍，則此時(shí)對應(yīng)的陳數(shù)就是非零的整數(shù)。這兩種情況不可能通過連續(xù)的拉伸或壓縮變換相互轉(zhuǎn)化，這就是為什么叫它為一種拓?fù)鋽?shù)的原因。
3 結(jié)語
拓?fù)湮锢韺W(xué)的研究發(fā)軔于量子霍爾效應(yīng)的研究，它使我們拓展了思路，可以研究在波矢空間或其他的參數(shù)空間內(nèi)的拓?fù)湫再|(zhì)對物理系統(tǒng)的影響?，F(xiàn)在豐富多彩的拓?fù)湮锢韺W(xué)研究都可以看成這一概念加上對稱性約束之后的自然延伸。
[1] Dirac P.A.M. (1931). Quantised Singularities in the Electromagnetic Field[J]. Proc. Roy. Soc. London, 133,60.
[2] Klitzing K.V. et al. (1980) .New Method for High Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance[J]. Phys. Rev. Lett.45,494.
[3] Laughlin R.B. (1981).Quantized Hall Conductivity in Two Dimensions[J]. Phys. Rev. B , 23, 5632.
①名師簡介：熊燁(1977- )，男，江蘇南京人，美國俄克拉荷馬州立大學(xué)物理學(xué)博士，南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理。
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(南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210023)
本文介紹了拓?fù)湮锢韺W(xué)的開端，由狄拉克對磁單極子的討論，介紹了什么是拓?fù)潆s質(zhì)，以及它們對所處空間的影響。更為重要的是類似的概念可以從真實(shí)的空間拓展到參數(shù)空間，其中的一個(gè)重要的例子就是量子霍爾效應(yīng)，它使科學(xué)家第一次明確地引入了拓?fù)溥@個(gè)概念，并認(rèn)識到其對某些可觀察物理量的影響。
拓?fù)湮锢韺W(xué)；量子霍爾效應(yīng)；拓?fù)潆s質(zhì)
拓?fù)湮锢韺W(xué)是近些年最活躍的物理學(xué)分支之一，通過對它的研究，科學(xué)家提出了很多新材料，相比于傳統(tǒng)材料，拓?fù)洳牧蠈⒃谀芎?、物性等方面擁有巨大的?yōu)勢。更為重要的是，這方面的研究加深了人類對物理學(xué)基本理論的認(rèn)識，本文將著重介紹拓?fù)涓拍钍侨绾伪灰胛锢韺W(xué)的。
1 拓?fù)潆s質(zhì)與相位
20世紀(jì)初，量子力學(xué)的發(fā)展把波的相位放到了一個(gè)非常顯著的位置，數(shù)學(xué)上它描述了波函數(shù)這個(gè)復(fù)函數(shù)的復(fù)角，其后這個(gè)相位也被引入到超導(dǎo)和超流系統(tǒng)，并在其中起著非常重要的作用，拓?fù)湮锢韺W(xué)的開端同樣是從相位開始的。
拓?fù)涫敲枋鲅芯繉ο蟮囊活愄匦?，這些性質(zhì)將不會(huì)隨著拉伸或壓縮這樣的連續(xù)操作而改變。比如一個(gè)球面可以在一個(gè)方向上拉伸變成橢球面，或者適當(dāng)壓縮一下變成一個(gè)立方體的表面或者四面體的表面，但它不能通過上述方式變成一個(gè)甜甜圈的表面。拓?fù)湓谖锢碇谐霈F(xiàn)可以追溯到上個(gè)世紀(jì)30年代狄拉克(Dirac)關(guān)于磁單極子的討論，雖然當(dāng)時(shí)并沒有明確提出拓?fù)溥@樣的概念。
以上討論與拓?fù)湎嚓P(guān)的有兩部分：第一，那個(gè)圓形回路可以任意變形，只要它還保持是一個(gè)封閉的曲線，我們的討論都是有效的；第二，哪怕是在遙遠(yuǎn)的宇宙深處有這么一個(gè)磁單極子，由于距離遙遠(yuǎn)，我們已經(jīng)不能通過它所發(fā)出的磁場感知它的存在，但它還會(huì)對我們這個(gè)世界上的電荷量子化產(chǎn)生影響，按照拓?fù)湮锢韺W(xué)的語言，我們可以稱磁單極子為一個(gè)空間中的拓?fù)潆s質(zhì)。
磁單極子直到現(xiàn)在還沒有被實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，但其他種類的拓?fù)潆s質(zhì)已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證，比如超導(dǎo)中的量子化磁通、超流中的量子化渦旋，以及液晶中的結(jié)構(gòu)雜質(zhì)等。這里我們簡單介紹一下超導(dǎo)中的量子磁通。描述超導(dǎo)體的一個(gè)基本物理量叫做超導(dǎo)的序參數(shù)，可以近似地把它想象為描述超導(dǎo)中電子對的量子波函數(shù)，所以這個(gè)序參數(shù)是個(gè)復(fù)數(shù)，它也有相位。在超導(dǎo)體中的任意一點(diǎn)，這個(gè)相位是個(gè)確定的值，與上面的情況類似，相位差為2π的整數(shù)倍就等于沒有差別，所以超導(dǎo)體中可以穿透一些磁通，但這些磁通的大小必須使序參數(shù)在環(huán)繞這些磁通的封閉曲線上所積累的相位變化為2π的整數(shù)倍。所以這些磁通不能取連續(xù)值，它們必須是一個(gè)量的整數(shù)倍，這個(gè)量就叫做量子磁通。只要超導(dǎo)體中有一個(gè)量子磁通，那么不管離它有多遠(yuǎn)，或者走過了一條多么曲折的路徑，只要環(huán)繞了這個(gè)磁通，那么序參數(shù)所積累的相位變化就必然是2π。圖1顯示了鐵基超導(dǎo)體中有兩個(gè)磁通渦旋時(shí)的樣子。
2 拓?fù)渑c量子霍爾效應(yīng)
以上我們所討論的路徑都是在真實(shí)的三維空間中，但類似的概念可以拓展到參數(shù)空間等任意空間，其中最著名的就是量子霍爾效應(yīng)的研究[2]。在上世紀(jì)八十年代初，由于微電子工藝技術(shù)的發(fā)展，人們可以把電子約束在一個(gè)二維平面上，研究電子在這個(gè)低維系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)特性。最初是實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在加入一個(gè)很強(qiáng)的垂直磁場后，二維電子系統(tǒng)表現(xiàn)出臺(tái)階狀的霍爾電阻，在平臺(tái)處時(shí)，直流電阻等于零。這無疑是一個(gè)非常有趣的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，吸引了很多物理學(xué)家來研究它。
圖1 兩個(gè)鐵基超導(dǎo)體上的量子磁通渦旋(a) 畫出了超導(dǎo)序參數(shù)的大小，在渦旋中心序參數(shù)等于0；(b)-(e) 畫出了總超導(dǎo)電流和它在三個(gè)d軌道上的分量。圖片來源：B. Urangaet al.，Physical Review B 93, 224503(2016)。
勞克林(因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的研究獲得1998年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng))設(shè)想把這個(gè)二維系統(tǒng)卷成一個(gè)圓筒，通過法拉第定律說明了為什么會(huì)有量子化的霍爾電導(dǎo)[3]，這些量子化的霍爾電導(dǎo)就對應(yīng)于一個(gè)一個(gè)的霍爾電阻的臺(tái)階。勞克林的討論說明了一個(gè)重要的因素：這個(gè)系統(tǒng)中量子波函數(shù)的相位信息在宏觀尺度上必須保持相干性，現(xiàn)在稱這類現(xiàn)象為宏觀量子現(xiàn)象，超導(dǎo)、量子霍爾效應(yīng)都屬于這一類現(xiàn)象。在我們平常的生活中，量子的相位信息由于退相干效應(yīng)在很短的尺度上就不再相干了。其后索利斯(由于對拓?fù)湮锢韺W(xué)的研究獲得2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng))等幾位教授使用線性響應(yīng)理論計(jì)算了霍爾電導(dǎo)，他們發(fā)現(xiàn)這個(gè)電導(dǎo)與一個(gè)拓?fù)鋽?shù)——陳數(shù)直接相關(guān)。陳數(shù)是為紀(jì)念我國的數(shù)學(xué)家陳省身先生而命名的一個(gè)拓?fù)鋽?shù)學(xué)量。這是拓?fù)鋽?shù)學(xué)的研究第一次被引入物理學(xué)真實(shí)系統(tǒng)中。這里有一個(gè)小花絮，2016年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者之一的科斯特利茨在回憶他們獲獎(jiǎng)的工作時(shí)，提到是索利斯教授堅(jiān)持把他們的研究成果稱為拓?fù)湎嘧?，這表現(xiàn)出索利斯教授對拓?fù)湮锢韺W(xué)的深刻認(rèn)識。
最后簡單說說陳數(shù)在物理中的意義，我們的討論是在一個(gè)二維的波矢空間而不是二維真實(shí)空間，這個(gè)波矢空間是由于研究對象的平移對稱性而存在的參數(shù)空間。波矢空間中的每個(gè)點(diǎn)都有相對應(yīng)的量子波函數(shù)，可以簡單地把這個(gè)波函數(shù)用一個(gè)二維球面上的點(diǎn)來表示?，F(xiàn)在想象有一把刷子在這個(gè)球面上刷漆，刷子的位置就是由波矢空間的點(diǎn)來確定的。當(dāng)我們掃過二維波矢空間的所有點(diǎn)時(shí)，刷子也對應(yīng)地在球面上刷，這里會(huì)有兩種情況：一種是隨著掃過波矢空間中的所有點(diǎn)，刷子總是局限在球面上的某一個(gè)區(qū)域上刷來刷去，它沒有刷過整個(gè)球面，這時(shí)陳數(shù)就等于零；還有一種情況是刷子繞著球面把整個(gè)球都刷了個(gè)遍，則此時(shí)對應(yīng)的陳數(shù)就是非零的整數(shù)。這兩種情況不可能通過連續(xù)的拉伸或壓縮變換相互轉(zhuǎn)化，這就是為什么叫它為一種拓?fù)鋽?shù)的原因。
3 結(jié)語
拓?fù)湮锢韺W(xué)的研究發(fā)軔于量子霍爾效應(yīng)的研究，它使我們拓展了思路，可以研究在波矢空間或其他的參數(shù)空間內(nèi)的拓?fù)湫再|(zhì)對物理系統(tǒng)的影響?，F(xiàn)在豐富多彩的拓?fù)湮锢韺W(xué)研究都可以看成這一概念加上對稱性約束之后的自然延伸。
[1] Dirac P.A.M. (1931). Quantised Singularities in the Electromagnetic Field[J]. Proc. Roy. Soc. London, 133,60.
[2] Klitzing K.V. et al. (1980) .New Method for High Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance[J]. Phys. Rev. Lett.45,494.
[3] Laughlin R.B. (1981).Quantized Hall Conductivity in Two Dimensions[J]. Phys. Rev. B , 23, 5632.
①名師簡介：熊燁(1977- )，男，江蘇南京人，美國俄克拉荷馬州立大學(xué)物理學(xué)博士，南京師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院副教授、碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)槟蹜B(tài)物理。
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