李德奎

(甘肅中醫(yī)藥大學(xué)，理科教學(xué)部，甘肅 定西743000)

新超混沌系統(tǒng)的線性反饋修正投影同步的電路實現(xiàn)

李德奎

(甘肅中醫(yī)藥大學(xué)，理科教學(xué)部，甘肅 定西743000)

研究了新超混沌系統(tǒng)的線性反饋修正投影同步及電路實現(xiàn)．首先對Lorenz系統(tǒng)反饋控制并應(yīng)用Lyapunov指數(shù)方法，提出一個新超混沌系統(tǒng)，然后基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，利用最簡單的線性反饋控制，實現(xiàn)該新超混沌系統(tǒng)的修正投影同步，最后通過數(shù)值仿真驗證理論分析的正確性，并構(gòu)建新超混沌系統(tǒng)修正投影同步的仿真電路，示波器顯示出的修正投影同步波形圖與數(shù)值仿真的結(jié)果一致，說明該新超混沌系統(tǒng)修正投影同步電路實現(xiàn)的可行性及正確性．

線性反饋； 修正投影同步； 電路實現(xiàn)； 新超混沌系統(tǒng)

構(gòu)造和研究混沌系統(tǒng)模型是混沌應(yīng)用的基礎(chǔ)，1963年，氣象學(xué)家Lorenz提出了著名的Lorenz混沌系統(tǒng)[1]，該系統(tǒng)的提出開啟了混沌研究和應(yīng)用的新紀元．隨后許多混沌和超混沌系統(tǒng)模型被先后提出[2-8]．Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性的一個重要定量指標，表示了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率.正的Lyapunov指數(shù)表示在系統(tǒng)相空間中，無論初始2條軌線的間距多么小，其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加，達到無法預(yù)測的混沌現(xiàn)象.正的Lyapunov指數(shù)越多，表明系統(tǒng)的混沌特性越強，具有1個正的Lyapunov指數(shù)值的系統(tǒng)稱為混沌系統(tǒng)，具有2個或2個以上正的Lyapunov指數(shù)值的系統(tǒng)稱為超混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)模型的構(gòu)造是混沌研究的一個熱點.文獻[9]提出了一個新超混沌系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件，并構(gòu)建了新超混沌系統(tǒng)的仿真電路，得到了與數(shù)值仿真相同的混沌吸引子.

1990年，Pecora 和Carroll提出了驅(qū)動-響應(yīng)混沌同步策略[10]．隨后耦合控制策略[11-12]、反饋控制策略[4,13]、自適應(yīng)控制策略[14]等．通過自適應(yīng)控制器的作用，2個混沌系統(tǒng)不需要人為干預(yù)，隨著時間的變化就能夠?qū)崿F(xiàn)同步，但是自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，電路實現(xiàn)比較困難.反饋控制法分為線性反饋同步[4, 13-15]和非線性反饋同步[16-17]方法，其中非線性反饋同步同樣有電路實現(xiàn)比較困難的缺陷，線性反饋同步電路實現(xiàn)較為方便.

近年來，許多混沌同步方法先后被學(xué)者提出，例如完全同步[18]、相同步[19]、滯后同步[20]、廣義同步[21]和投影同步[22-23]．投影同步是指驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量之間以不等于1的常數(shù)比例實現(xiàn)同步.相比較以上各種同步方法，投影同步能夠使得混沌通信更加安全可靠，所以投影同步近年來得到廣泛的研究[24-25]．

修正投影同步是指驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的各對狀態(tài)變量以不同的比例因子實現(xiàn)同步，因此，在混沌遮掩保密通信中，攻擊者即使得到信道中的傳輸信號和遮掩有用信號的混沌系統(tǒng)，由于不知道其同步比例因子，就很難準確將有用信號重新還原，提高了保密通信的安全性[26]．

基于以上考慮，筆者利用Lyapunov穩(wěn)定性定理和牽制控制方法，設(shè)計同步線性反饋控制器.在控制器作用下實現(xiàn)新超混沌系統(tǒng)[9]的修正投影同步，然后進行數(shù)值仿真驗證同步控制器的有效性，最后利用Multisim電路仿真平臺構(gòu)建新超混沌系統(tǒng)修正投影同步的仿真電路，為新超混沌系統(tǒng)修正投影同步在保密通信中應(yīng)用奠定電路基礎(chǔ).

1 線性反饋修正投影同步

新超混沌系統(tǒng)[9]的微分方程組為

(1)

當參數(shù)a=10,b=28,c=2,θ=4，k=8時，系統(tǒng)(1)處于超混沌狀態(tài)，且有如圖1所示的混沌吸引子．

圖1 新超混沌系統(tǒng)的奇怪吸引子

線性反饋控制結(jié)構(gòu)形式簡單，電路實現(xiàn)容易，在實際應(yīng)用中具有更大普適性，針對超混沌系統(tǒng)(1)構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)為

(2)

其中，[y1,y2,y3,y4]為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量，[k1,k2,k3,k4]線性反饋系數(shù)向量，[α1,α2,α3,α4]為修正投影同步的比例因子向量．

設(shè)誤差e1=y1-α1x1，e2=y2-α2x2,e3=y3-α3x3,e4=y4-α4x4,且設(shè)同步比例因子α1=α2=α4，于是得到驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的誤差系統(tǒng)為

(3)

當修正投影同步的比例因子滿足α2=α1α3，α3=α1α2時，誤差系統(tǒng)(3)重寫為

(4)

(5)

當系統(tǒng)(1)和(2)同步時，比例因子滿足

(6)

此方程組有2組解α3=1,α1=α2=α4=-1和α1=α2=α2=α4=1．

取系統(tǒng)(1)和(2)實現(xiàn)同步的比例因子為α3=1，α1=α2=α4=-1，系統(tǒng)(1)和(2)實現(xiàn)修正投影同步.

2 數(shù)值仿真

根據(jù)(5)式并結(jié)合圖2，取線性反饋系數(shù)，k1=40，k2=10，k3=20,k4=18．取初值為[x1,x2,x3,x4]=[0.1，-1，2，-0.3]，[y1,y2,y3,y4]=[1,0,1,-1]，采用步長為0.01的四階龍格庫塔方法進行仿真，得到系統(tǒng)(1)和(2)的同步狀態(tài)誤差曲線，如圖3所示．

圖2 函數(shù)g(t)和h(t)的時間序列圖

由圖3可以看出，通過線性反饋控制，系統(tǒng)(1)和(2)能夠在不到0.5s的時間里實現(xiàn)修正函數(shù)投影同步，同步時間非?？欤?/p>

圖3 系統(tǒng)(1)和(1)的同步狀態(tài)誤差曲線圖

圖4中實線表示系統(tǒng)(1)的狀態(tài)曲線，虛線表示系統(tǒng)(2)的狀態(tài)曲線．從圖4所示的系統(tǒng)(1)和(2)的狀態(tài)同步時間序列圖可以看出，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量x1，x2，x4和系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量y1，y2，y4按比例因子-1實現(xiàn)反相位同步，而系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量x3和系統(tǒng)(2)的狀態(tài)變量y3按比例因子1實現(xiàn)完全同步．在2個系統(tǒng)之間的各狀態(tài)變量按照不同的比例因子實現(xiàn)同步，從而驗證了系統(tǒng)(1)和(2)之間通過線性反饋控制，能夠?qū)崿F(xiàn)修正投影同步．

圖4 系統(tǒng)(1)和(2)的同步狀態(tài)時間序列圖

3 同步電路設(shè)計

基于非線性電路設(shè)計原理，基于同相比例器、反相比例器、乘法器和積分運算器等，設(shè)計驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的修正投影步電路(如圖5所示)，其中虛線框里面的電路實現(xiàn)了驅(qū)動系統(tǒng)(1)，電路中所有的運算放大器型號均為TL084CN，乘法器型號為AD633(增益為0.1),所有的電容器的電容為1μF，其余電路元件參數(shù)值如圖5所示．

虛線框內(nèi)的電路仿真驅(qū)動系統(tǒng)(1)，用電壓u1,u2,u3,u4分別實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)⑴的狀態(tài)變量x1,x2,x3,x4．虛線框外的電路仿真響應(yīng)系統(tǒng)(2)，用電壓v1,v2,v3,v4分別實現(xiàn)響應(yīng)(2)的狀態(tài)變量y1,y2,y3,y4．設(shè)計新超混沌系統(tǒng)線性反饋修正投影同步的仿真電路如圖5所示．

圖5 系統(tǒng)(1)和(2)的修正投影同步電路圖

根據(jù)圖5所示的驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)的修正投影同步電路圖，并結(jié)合電路理論知識，可以得圖5的電路狀態(tài)方程為

圖5所示模擬電路的示波器顯示出修正投影同步的電壓波形如圖6所示．示波器1、2、4上分別顯示出u1和v1,u2和v2,u4和v4按比例因子-1實現(xiàn)反同步，而示波器3上顯示出u3和v3按比例因子1實現(xiàn)完全同步．圖6所示的驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)同步波形圖,與Matlab仿真得到的圖4所示的同步波形圖一致，說明新超混沌系統(tǒng)線性反饋修正投影同步電路實現(xiàn)是可行的．

圖6 示波器顯示同步波形圖

4 小 結(jié)

通過研究新超混沌系統(tǒng)的線性反饋修正投影同步及其電路仿真，得出以下結(jié)論

1) 理論分析和數(shù)值仿真的結(jié)果表明，所構(gòu)造的線性反饋控制器能夠?qū)崿F(xiàn)新超混沌系統(tǒng)的修正投影同步，該線性反饋控制器具有有效性.

2) 構(gòu)建實現(xiàn)新超混沌系統(tǒng)修正投影同步的仿真電路，示波器顯示出的修正投影同步波形圖與數(shù)值仿真的波形圖一致，說明電路實現(xiàn)新超混沌系統(tǒng)修正投影同步的可行性和電路設(shè)計的正確性．

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CircuitImplementationforLinearFeedbackModifiedProjectiveSynchronizationofANewHyper-chaoticSystem

Li Dekui

(Department Teaching of Science, Gansu University of Chinese Medicine, Dingxi 743000, China)

In the report, the linear feedback modified projective synchronization and circuit implementations were studied. At first, a new hyperchaotic system was put forward by a feedback control for Lorenz system; secondly, based on the Lyapunov stability theorem, the simplest linear feedback control was used to implement the modified projective synchronization of the new superchaotic system; finally, the numerical simulation experiments were performed to verify the correctness of the theoretical analysis, and the simulation circuit of a modified projective synchronization for the new hyperchaotic system was constructed. The results indicated that some modified projection synchronization waves from the oscilloscopes were consistent with the results of numerical simulation, which suggested that the circuit implementation of the modified projection synchronization for the new hyperchaotic system was feasible and correct.

linear feedback; modified projective synchronization; circuit implementation; a new hyper-chaotic system

2017-09-28

甘肅省自然科學(xué)基金(1610RJZA080)；甘肅省高等學(xué)校科研項目(2017A-155)

李德奎(1979-)，男，甘肅通渭人，副教授，碩士，研究方向：混沌理論及應(yīng)用，E-mail: dkli2009@163.com

1004-1729(2017)04-0329-08

O 415.5

ADOl10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0051