陳宵瑋，孫建強(qiáng)

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南 ?？?570228)

耦合Schr?dinger-KdV方程的高階離散線積分方法

陳宵瑋，孫建強(qiáng)

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南 ?？?570228)

基于四階平均向量場(chǎng)方法和Boole離散線積分理論，提出了哈密爾頓系統(tǒng)的高階Boole離散線積分方法.利用高階Boole離散線積分方法求解具有能量守恒特性的耦合Schr?dinger-KdV方程，得到了耦合Schr?dinger-KdV方程的新的高階格式.數(shù)值模擬結(jié)果表明新的高階格式能很好地模擬耦合Schr?dinger-KdV方程的演化行為，并能很好地保持方程的離散能量守恒.

耦合Schr?dinger-KdV方程； 高階離散線積分方法； 哈密爾頓系統(tǒng)

非線性現(xiàn)象在應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理研究中占有非常重要的作用.許多非線性現(xiàn)象需要通過(guò)耦合的偏微分方程來(lái)描述,如KdV-mKdV方程、KdV-ZK方程、Schr?dinger-KdV方程等.特別是耦合Schr?dinger-KdV方程在等離子體物理中的廣泛應(yīng)用，已成為研究的熱點(diǎn).討論如下耦合Schr?dinger-KdV方程[1]

(1)

(2)

其中,I(0)為常數(shù).在理論上,已有許多關(guān)于耦合Schr?dinger-KdV方程的研究，如耦合Schr?dinger-KdV方程柯西問(wèn)題適定性[2]和方程的精確解[3]等.在數(shù)值模擬中，張弘等人給出了耦合Schr?dinger-KdV方程的二階平均向量場(chǎng)方法，該方法能很好地模擬方程的行為，并精確地保持了微分方程的能量；Izady[4]等人提出了對(duì)于方程的傅里葉變換的一種分解方法；Golbabai[5]等人提出了對(duì)于該方程數(shù)值解的無(wú)網(wǎng)格方法.

在1996年Gonzalez[6]首次提出離散梯度方法后，McLachlan[7]等人在離散梯度法的基礎(chǔ)上提出了平均向量場(chǎng)方法，并已廣泛應(yīng)用于偏微分方程的計(jì)算[8],取得了較好的數(shù)值結(jié)果.Iavernaro[9]等人利用離散線積分方法對(duì)二階平均向量場(chǎng)方法的積分項(xiàng)數(shù)值離散得到了一個(gè)新的計(jì)算格式. 后來(lái)Quispel[10]和Celledoni[11]提出了高階平均向量場(chǎng)方法.利用四階平均向量場(chǎng)方法和Boole離散線積分理論得到了高階Boole離散線積分方法并應(yīng)用于耦合Schr?dinger-KdV方程的計(jì)算.

1 高階Boole離散線積分方法

考慮如下哈密爾頓系統(tǒng)

(3)

其中，H∶Rn→R是哈密爾頓函數(shù)，S是反對(duì)稱矩陣，哈密爾頓系統(tǒng)具有能量守恒特性.

1999年Quispel等人提出了哈密爾頓系統(tǒng)(3)如下的二階平均向量場(chǎng)方法

(4)

其中，τ是時(shí)間步長(zhǎng)，并證明了該方法能夠保持哈密爾頓系統(tǒng)(3)不同時(shí)刻的能量守恒，即滿足

H(zn+1)=H(zn).

(5)

2007年Iavernaro等人在二階平均向量場(chǎng)方法的基礎(chǔ)上提出如下Boole離散線積分方法.

假設(shè)初值是zn，在t=τ處的數(shù)值解為zn+1，設(shè)連接zn和zn+1的最簡(jiǎn)單路徑為

(6)

并對(duì)二階平均向量場(chǎng)格式(4)右邊的積分項(xiàng)進(jìn)行Boole積分，令Zi=σ(c1)≡cizn+1+(1-ci)zn,可以得到如下的Boole離散線積分公式

(7)

(8)

當(dāng)多項(xiàng)式哈密爾頓函數(shù)H的次數(shù)小于等于4時(shí)，式(8)可以精確地保持哈密爾頓系統(tǒng)(3)的能量守恒.

2008年Quispel等人提出了保哈密頓系統(tǒng)能量守恒的高階平均向量場(chǎng)方法

(9)

根據(jù)式(9),給出四階平均向量場(chǎng)方法如下的矩陣向量形式

(10)

基于Boole離散線積分的理論，對(duì)四階平均向量場(chǎng)方法(10)的積分項(xiàng)進(jìn)行數(shù)值積分，得到如下的

高階Boole離散線積分格式

(11)

顯然，格式(11)在時(shí)間方向上同樣具有四階精度.

2 耦合Schr?dinger-KdV方程的高階Boole離散線積分格式

設(shè)E(x,t)=p(x,t)+q(x,t)i，耦合Schr?dinger-KdV方程等價(jià)于

(12)

方程(12)可以表示成典則哈密爾頓系統(tǒng)

(13)

其中,z=(p,N,q)T,?x為一階偏導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)為

(14)

對(duì)系統(tǒng)(13)在空間方向上用擬譜方法離散[12-13].對(duì)于?xxx用譜微分矩陣D1D2近似離散，從而可得到方程(1)的半離散擬譜格式

(15)

(16)

(17)

其中,di,j是矩陣D1第i行，第j列的元素,A=D1D2，而D1和D2分別是如下一階譜矩陣和二階譜矩陣

方程(15～17)在空間方向擬譜離散后可寫(xiě)成有限維哈密爾頓系統(tǒng)

(18)

(19)

對(duì)格式(18)用四階平均向量場(chǎng)方法進(jìn)行離散，有

(20)

(21)

將耦合Schr?dinger-KdV方程的四階平均向量場(chǎng)格式(20)的積分項(xiàng)用Boole離散線積分離散，有

(22)

格式(22)表示成如下矩陣向量形式

(23)

(24)

(25)

(26)

為了驗(yàn)證耦合Schr?dinger-KdV方程新格式(23)的保能量守恒特性，定義能量誤差為

(27)

3 數(shù)值模擬

3.1 單孤立波的模擬 設(shè)方程(1)的初始條件為

(28)

(29)

圖1 |E|在t=1時(shí)刻的數(shù)值解 圖2 N在t=1時(shí)刻的數(shù)值解

圖3 數(shù)值解在t[0,1]內(nèi)能量誤差變化

由圖1～2可知,格式(23)能夠很好地模擬方程單孤立波的傳播，數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[1]一致.由圖3可知，方程(1)在相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的能量誤差已達(dá)到10-15，能量誤差可忽略不計(jì).由圖1～3可知，耦合Schr?dinger-KdV方程高階離散線積分格式(23)能很好地模擬方程孤立波的演化行為，且很好地保持了方程的離散能量.

3.2 多孤立波的演化情況 設(shè)方程(1)初始條件為

(30)

(31)

由圖4～5可知,格式(23)能夠很好地模擬方程多孤立波的傳播.由圖6可知，方程(1)在相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的能量誤差已達(dá)到10-13，故能量誤差可忽略不計(jì).由圖4～6可知，耦合Schr?dinger-KdV方程高階離散線積分格式(23)同樣能有效地模擬方程多孤立波的演化行為，并很好地保持了方程的離散能量.

圖4 |E|在t=1時(shí)刻的數(shù)值解 圖5 N在t=1時(shí)刻的數(shù)值解

圖6 數(shù)值解在t[0,1]內(nèi)能量誤差變化

4 小 結(jié)

在四階平均向量場(chǎng)方法和Boole離散線積分理論的基礎(chǔ)上，首先構(gòu)造了耦合Schr?dinger-KdV方程的新的高階Boole離散線積分格式，其次在不同初值條件下對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值模擬并分析新格式的相對(duì)能量誤差，最后計(jì)算結(jié)果表明得到的新格式既能較好地模擬耦合Schr?dinger-KdV方程孤立波的行為，也能較好地保持方程的離散能量守恒.

[1] Zhang H , Song S H, Chen X D,et al. Average vector field methods for the coupled Schr?dinger KdV equations[EB/OL].[2017-06-10]. https://www.researchgate.net/publication/263668796_Average_vector_field_methods_for_the_coupled_Schrodinger-KdV_equations.

[2] Guo B L, Miao C X. Well-Posedness of the Cauchy problem for the coupled system of the Schr?dinger-KdV equations[J].Acta Mathematica Sinica, English series. 1999,15 (2): 215-224.

[3] 陳賀靈,孫福偉.耦合Schr?dinger-KdV的精確解[J].北方工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2007, 19 (1): 54-65.

[4] Izady P, Zand A. A new algorithm for solving coupled Schr?dinger KdV equation: an application of the Fourier transform adomian decomposition method[J]. Advanced Studies in Theoretical Physics, 2014, 8(8): 357-364.

[5] Golbabai A, Safdari-Vaighani A. A meshless method for numerical solution of the coupled Schr?dinger-KdV equations[J]. Springer-Verlag,2011,92(3):225-242.

[6] Gonzalez O. Time integration and discrete Hamiltonian systems[J]. Journal of Nonlinear Science, 1996, 6 (5): 449-467.

[7] Mclachlan R I, Quispel G R W, Robidoux N. Geometric integration using discrete gradients[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society B Biological Sciences, 1998, 357 (1754): 1 021-1 045.

[8] Celledoni E, Grimm R I, Mclachlan D I, et al. Preserving energy resp. dissipation in numerical PDEs using the average vector feild method[J]. Journal of Computational Physics, 2012, 231 (20): 6 770-6 789.

[9] Iavernaro F, Pace B. S-Stage trapezoidal methods for the conservation of Hamiltonian Funtions of Polynomial type[J]. AIP Conference Proceedings, 2007, 936 (1): 603-606.

[10] Quispel G R W, McLaren D I. A new class of energy-preserving numerical integration methods[EB/OL].[2017-06-10]. http://adsabs.harvard.edu/abs/2008JPhA...41d5206Q.

[11] Celledoni E, Mclachlan R I, Owren B, et al. On Conjugate B-series and their eometric structure[J]. European Society of Computational Methods in Sciences and Engineering, 2010, 5: 85-94.

[12] Cai J X, Wang Y S. A conservation Fourier pseudospectral algorithm for a coupled nonlinear Schr?dinger system[J]. China Phys B, 2013, 22 (6): 135-140.

[13] Chen J B, Qin M Z. Multi-symplectic Fourier pseudospectral method for the nonlinear Schr?dinger equation[J]. Electronic Transactions On Numerical Analysis, 2001, 12(11):193-204.

HighOrderDiscreteLineIntegralMethodfortheCoupledSchr?dinger-KdVEquation

Chen Xiaowei, Sun Jianqiang

(College of Information Science and Technology, Hainan University, Haikou 570228, China)

Based on the fourth order average vector field method and the Boole discrete line integral theory, the high order Boole discrete line integral method of the Hamiltonian system was proposed. The method was used to solve the energy conservation coupled Schr?dinger-KdV equation, and a new high order scheme of the energy conservation coupled Schr?dinger-KdV equation was obtained. The numerical results showed that the new scheme can simulate the evolution behaviors of the coupled Schr?dinger-KdV equation very well; moreover, the discrete energy conservation property was also preserved.

coupled Schr?dinger-KdV equation; high order discrete line integral method; Hamiltonian system

2017-07-01

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11561018)

陳宵瑋(1993-)，女，安徽天長(zhǎng)人，海南大學(xué)2015級(jí)碩士研究生，研究方向：微分方程數(shù)值解，E-mail: 838072754@qq.com

孫建強(qiáng)(1971-)，男，湖南雙峰人，博士，教授，研究方向：微分方程數(shù)值解，E-mail: sunjq123@qq.com

1004-1729(2017)04-0303-07

O 241.8

ADOl10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0047