■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué) 翟永恒

撥開迷霧,尋根溯源找模型
——排列組合問題淺談

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué) 翟永恒

排列和組合是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),同學(xué)們都知道這類題需要借助數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決。但是有一些創(chuàng)新題情景生疏,如同霧里看花不知如何下手。其實(shí)這類問題往往蘊(yùn)含著一些經(jīng)典模型,只需要找到它們的“題根”,從而順利轉(zhuǎn)化為某些經(jīng)典模型進(jìn)行解題。

題根1：(拿賀卡模型)有4位同學(xué)每人寫一張賀卡放在一起,然后每人拿一張賀卡,要求每人都不拿自己的賀卡,所有拿法總數(shù)是____。

解析：假設(shè)有甲、乙、丙、丁4人各寫一張賀卡,甲先去拿一個(gè)賀卡,有3種方法,假設(shè)甲拿的是乙寫的賀卡,接下來讓乙去拿,乙此時(shí)也有3種方法,剩下兩人中必定有一人自己寫的賀卡還沒有發(fā)出去,這樣兩人只有1種拿法,總的拿法為3×3×1×1=9(種),故答案為9。

例1 如圖1,用四種不同顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個(gè)點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且圖中每條線段的兩端涂不同的顏色,則不同的涂色方法種數(shù)共為( )。

A.2 8 8 B.2 6 4 C.2 4 0 D.1 6 8

圖1

例2 有4位同學(xué)在同一天的上午、下午參加“身高與體重”,“立定跳遠(yuǎn)”,“肺活量”,“握力”和“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試,每位同學(xué)上午、下午各測(cè)試一個(gè)項(xiàng)目,且不重復(fù)。若上午不測(cè)“握力”項(xiàng)目,下午不測(cè)“臺(tái)階”項(xiàng)目。其余項(xiàng)目上午、下午都各測(cè)試一人,則不同的安排有____種(用數(shù)字作答)。

解析：先安排4位同學(xué)參加上午的“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“臺(tái)階”測(cè)試,共有種不同的安排方法;接下來安排下午的“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”測(cè)試,假設(shè)A、B、C同學(xué)上午分別安排的是“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”測(cè)試,若D同學(xué)選擇“握力”測(cè)試,安排A、B、C同學(xué)分別交叉測(cè)試,有2種;若D同學(xué)選擇“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”測(cè)試中的1種,有種方式,安排A、B、C同學(xué)進(jìn)行測(cè)試有3種。根據(jù)計(jì)數(shù)原理共有安排方式的種數(shù)為

題根2：(插空模型)有4名男生和2名女生站成一排,要求女生不相鄰,則共有____種站隊(duì)方法。

例3 在一次文藝演出中,需要給舞臺(tái)上安裝一排完全相同的彩燈1 5只,現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺(tái)效果,設(shè)計(jì)者按照每次亮燈時(shí)恰好有6只是關(guān)著的,且相鄰的彩燈不能同時(shí)關(guān)掉,兩端的彩燈必須要亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì),則不同的亮燈方式共有____種。

解析：?jiǎn)栴}實(shí)際只需要將9只亮的彩燈看作題根2中的男生,6個(gè)關(guān)的彩燈看作題根2中的女生,即可視為不相鄰模型,由于兩端的彩燈必須亮,所以共有=2 8(種)亮燈方法。

例4 顯示屏上有一排共7個(gè)小孔,可顯示0或1,若每次顯示其中3個(gè)孔,但相鄰的兩個(gè)孔不能同時(shí)顯示,則該顯示屏能顯示的信號(hào)種數(shù)為( )。

A.4 8 B.5 6 C.6 0 D.8 0

通過以上例題可以發(fā)現(xiàn),雖然排列組合的問題情境不斷推陳出新,乍一看可能無從下手,但仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)際上仍是經(jīng)典模型的應(yīng)用,我們只需追根溯源,即可順利借助經(jīng)典模型進(jìn)行求解。

(責(zé)任編輯 王福華)