■鄭州市第十一中學(xué)1 8 0 5班 李潔瑩

對一道利用導(dǎo)數(shù)證明對數(shù)不等式問題的反思

■鄭州市第十一中學(xué)1 8 0 5班 李潔瑩

筆者在對導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)時經(jīng)常遇到導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題,這也是高考經(jīng)常出現(xiàn)的問題之一。但由于綜合性較強(qiáng),往往成為我們得分的一大障礙。本文通過一道例題的不同思考角度,給出常規(guī)解決思路。

(1)當(dāng)a=1時,求f(x)在x∈[1,+∞)上的最小值;

(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;

(2)解法1:(分類討論)由題意得f'(x)在x∈(0,+∞)上有負(fù)值區(qū)間。

當(dāng)a<0時,g(x)=a x2+2(a-1)x+a的開口向下,在x∈(0,+∞)上 一 定有負(fù)值區(qū)間。

所以h'(x)在x∈(0,1)上有h'(x)<0,在x∈(1,+∞)上有h'(x)>0。

所以h(x)min=h(1)=

評注:解法1為常規(guī)思路,考慮導(dǎo)數(shù)有負(fù)值區(qū)間情況,對導(dǎo)數(shù)分類討論;解法2非常巧妙地避開了容易出現(xiàn)恒成立問題的陷阱,轉(zhuǎn)化為特稱命題的證明,給人耳目一新的感覺。

(3)解法1:(構(gòu)造數(shù)列)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=l n(n+1),則an=Sn-Sn-1=l n(n+1)-l nn=l n

由①②得,原不等式成立。

評注:將上述兩種方法比較可知,解法1是構(gòu)造新數(shù)列,通過比較新數(shù)列與原數(shù)列通項大小證明不等式的,是一種常規(guī)思路;解法2的數(shù)學(xué)歸納法是同學(xué)們經(jīng)常使用的辦法,但不容易結(jié)合第(1)問證明。

這道例題的后兩問都是用了兩種方法,從不同角度求解證明,較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的統(tǒng)一。在平時的學(xué)習(xí)中,我們要注意培養(yǎng)從不同角度分析問題的意識,嘗試用多種方法解題,尋找最佳解題方法,掌握通性通法。只有這樣,在解題時才能游刃有余。

(責(zé)任編輯 劉鐘華)