(廣西大學 廣西 南寧 530000)

平面鋼框架彈塑性分析的塑性區(qū)法

蘭天李雍友

(廣西大學廣西南寧530000)

本文基于三段式線性分布模型，考慮塑性沿桿長度方向的漸變過程，推導了平面鋼框架的彈塑性單元剛度矩陣，利用C源程序編制了平面鋼框架彈塑性分析的QR計算格式。該方法可以綜合考慮材料非線性和幾何非線性的影響，具有求解未知量少、計算精度高等優(yōu)點。

平面鋼框架；彈塑性；QR法；程序設計

一、前言

傳統(tǒng)的塑性鉸模型[1]限定了塑性沿桿長度方向的發(fā)展，而塑性區(qū)模型[2]則可以很好地描述這一過程。基于塑性變形理論的三維殼單元模型[3]和基于梁柱理論的梁柱單元模型[4]的分布剛度模型需要對桿件進行很多單元的劃分，同時對截面也需要劃分為很多網格纖維，求解時需要進行大量復雜的積分運算才能得到彈塑性剛度矩陣，計算效率低下。相較于傳統(tǒng)的有限元分析方法，利用QR法進行考慮非線性問題[5]的平面鋼框架分析則可以極大地提升計算效率，降低計算成本[6]。

二、三段式線性分布剛度模型

圖1 三段式分布剛度模型

如圖1所示，一等直截面桿AB長為l，桿件的兩端發(fā)生塑性變形，其塑性區(qū)的長度分別為li，lj，中間彈性部分的長度為l0，左右兩端的截面抗彎剛度分別為EIi、EIj，截面抗拉(壓)剛度為EAi、EAj，中間段的截面抗彎剛度EI0，截面抗拉(壓)剛度EA0，假設截面剛度由桿端塑性區(qū)過渡到中間彈性區(qū)的變化規(guī)律為線性變化。

截面抗彎剛度沿桿長的分布可以用下式表示：

(1)

同理，截面抗拉(壓)剛度沿桿長的分布可以用下式表示：

(2)

假設彎矩沿單元長度的變化近似為線性變化，則塑性區(qū)的長度可按式(3)、式(4)計算，見圖2。

li=(|Mi|-|Mj|)/(|Mi|+|Mj|)·l

(3-4)

圖2 單元彎矩分布模型

三、彈塑性單元剛度矩陣

與有限元方法相同的思路，單元剛度矩陣按式(5)計算

(5)

將上述剛度分布式帶入到式(5)中，最終推導所得的結果為：

其中：

四、程序設計流程

圖3 平面鋼框架結構彈塑性分析的流程圖

五、算例分析

文獻[7]中Vogel六層兩跨框架進行對比分析，可以得到圖5、圖6的頂點位移圖。

圖4 一階彈塑性分析框架頂層側移與荷載因子曲線

圖5 二階彈塑性分析框架頂層側移與荷載因子曲線

由圖5可知，對六層兩跨鋼框架結構進行一階彈塑性分析時，本文的計算結果與有限元模擬的結果和文獻[7]計算的結果基本吻合，本文計算極限承載力與文獻[7]誤差為3.2%，與有限元的誤差為1.8%。

由圖6可知，考慮二階效應時，彈塑性分析的承載力大于僅考慮二階彈性時的承載力，結構整體極限承載能力降低，延性增大。且本文考慮幾何非線性時的頂層側移量大于文獻[7]的計算結果。

六、結論

本文基于QR法編制了平面鋼框架結構非線性分析的C語言程序，并對典型算例進行分析，得出如下結論：平面鋼框架結構QR法與有限單元法相比，需要的單元數量少，求解精度高，采用QR法對六層兩跨鋼框架結構分析時僅需劃分42個單元，而用有限軟件分析至少需要劃分上千個單元才能達到相同的精度，QR法所需內存僅為有限元的0.1%，在減少內存使用量的同時也提高了計算速度。

[1]吳可偉.空間桿系結構的彈塑性大位移分析[D].清華大學,2012.

[2]Nguyen P C,Doan N T N,Ngo-Huu C,et al.Nonlinear inelastic response history analysis of steel frame structures using plastic-zone method[J].Thin-Walled Structures.2014,85(85):220-233.

[3]Avery P,Mahendran M.Analytical Benchmark Solutions for Steel Frame Structures Subject to Local Buckling Effects[J].Advances in Structural Engineering.2000,3(3):215-229.

[4]F C W.Advanced analysis in steel frames[M].Boca Raton:CRC Press,1993.

[5]李輝.鋼結構非線性分析[J].科技與企業(yè).2014(15):105.

[6]李秀梅.高層鋼框架結構的新方法研究[D].南寧:廣西大學,2008.

[7]黃哲華.平面半剛性連接鋼框架抗震分析的Pushover-QR法[D].廣西大學,2010.