楊達曉 張家偉 楊耀輝 陳學文 姚雪 譚仁兵

(重慶科技學院數理學院， 重慶 401331)

改進恒力矩法測定剛體轉動慣量

楊達曉 張家偉 楊耀輝 陳學文 姚雪 譚仁兵

(重慶科技學院數理學院， 重慶 401331)

針對大學物理專業(yè)課中剛體轉動慣量的測定問題進行研究。選擇合適的砝碼及塔輪半徑組合，讓系統(tǒng)進行一次減速運動和一次加速運動，以測量剛體轉動慣量。采用改進恒力矩的測定方法，實驗阻力矩隨角速度變化對實驗結果的影響程度減小，測量結果準確性得到提高，誤差減小。

阻力矩； 剛體； 轉動慣量； 恒力矩

在大學物理實驗課中，常采用落體法測量剛體轉動慣量。落體法原理簡單，但受測量過程中各種因素的干擾，測量結果精度不高，誤差較大。有研究者建議，測量時盡量選擇小質量砝碼和小半徑塔輪[1-2]。也有研究者認為，可通過多次反復實驗，篩選合適的數據進行計算。對此問題，研究者提出了多種方法[3-8]。目前尚無方法徹底避免或減小阻力矩隨角速度變化的影響，本次研究嘗試將改進的恒力矩法用于剛體轉動貫量測量。

1 測定剛體轉動慣量的原理

剛體作定軸轉動時，若所受的合外力矩為M，此時的角加速度為β，該剛體的轉動慣量為J，則根據剛體的定軸轉動定律有：M=Jβ。此時，只需測出力矩M和角加速度β，則可計算出轉動慣量J。

1.1 落體法的原理

在進行實驗測量時，所測剛體需要放置在一個實驗臺上作定軸轉動。實驗臺的轉動慣量未知，需要先給空實驗臺一定初始角速度使其作減速轉動，再通過細線將質量為m的砝碼繞在半徑為r的實驗臺塔輪上，使砝碼下落；系統(tǒng)在恒外力作用下將作加速運動，記錄減速、加速轉動角位移與時間的關系，并假設轉動時系統(tǒng)所受力矩為恒力矩，通過對應公式計算空實驗臺角加速度和轉動慣量。同理，在實驗臺上放置待測剛體，測出系統(tǒng)的轉動慣量。再根據轉動慣量的疊加原理，計算待測剛體的轉動慣量。

在測量過程中，系統(tǒng)作減速運動時的初始角速度不受限制，隨意性較大。已有研究證實，阻力矩隨角速度變化，導致多次測量結果不一致，且相對誤差偏大。

1.2 改進恒力矩法的原理

為了改變測量過程中系統(tǒng)作減速運動時初始角速度的隨意性，對恒力矩法加以改進。圖1所示為改進恒力矩法實驗臺與砝碼的運動示意圖。

圖1 改進恒力矩法實驗臺與砝碼的運動示意圖

將質量為m1的砝碼用細線繞在半徑為r1的塔輪上，使砝碼下落，系統(tǒng)在恒外力作用下將作勻加速運動。實驗臺加速轉動時，受阻力矩Mf和拉力矩rFT1的作用，角加速度大小為β1。砝碼受重力m1g和繩拉力FT1作用，加速度大小為a1。設實驗臺轉動慣量為J1，忽略滑輪摩擦力矩及質量。根據牛頓第二定律和轉動定律，有

m1g-FT1=m1a1=m1r1β1

(1)

r1FT1-Mf=J1β1

(2)

則有

m1r1(g-r1β1)-Mf=J1β1

(3)

再將質量為m2的砝碼用細線繞在半徑為r2的塔輪上，給實驗臺一定的初始角速度，使塔輪通過細線帶動砝碼上升，系統(tǒng)在恒外力作用下將作勻減速運動。有

FT2-m2g=m2a2=m2r2β2

(4)

(5)

(6)

(7)

同理，若實驗臺放置被測物體后系統(tǒng)的轉動慣量為J2，利用對應質量砝碼和半徑塔輪組合，測出作勻加速和勻減速運動的角加速度大小分別為β3與β4，可得

(8)

以上各式中，β1、β2、β3、β4均取絕對值。根據轉動慣量疊加原理，被測物體轉動慣量為

J3=J2-J1

(9)

2 利用1次勻加速和1次勻減速轉動測量

2.1 實驗數據及計算

實驗中，使用塔輪半徑r為15、20、25 mm，砝碼質量分別為34.22、44.59、54.80 g，塔輪半徑和砝碼質量根據m1gr1和m2gr2大小接近的原則進行組合。圓盤質量為491.46 g，直徑為240 mm，轉動慣量理論值為0.003 539 kg·m2。

表1 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合一)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.003 455 kg·m2，相對誤差2.36%。

表2 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合二)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.003 478kg·m2，相對誤差1.72%。

表3 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合三)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.003 416 kg·m2，相對誤差3.46%。

表4 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合四)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.003 452 kg·m2，相對誤差2.43%。

表5 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合五)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.003 482 kg·m2，相對誤差1.61%。

表6 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合六)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.003 478 kg·m2，相對誤差1.70%。

根據式(1)、(3)、(4)、(6)可計算得到測量時組合一對應的阻力矩和拉力矩(見表7)。其他組合阻力矩和拉力矩以此類推。

2.2 結果分析

由表1 — 表6可知，使用不同砝碼質量和塔輪半徑組合測量時，系統(tǒng)做勻加速和勻減速運動時的角加速度大小略有不同。每次測量過程角速度變化范圍、阻力矩大小稍有差別，最終測得圓盤轉動慣量實驗值和理論值有差別。此外，不同組合中系統(tǒng)做勻加速和勻減速運動時的角加速度大小差異程度不同，角速度變化范圍不同，摩擦阻力矩大小雖然會發(fā)生變化。但是，系統(tǒng)轉動時還會產生細繩拉力矩，由表7可知摩擦阻力矩占系統(tǒng)所受合力矩的比例約為13%，故測量過程中系統(tǒng)所受合力矩變化較小。不同組合所得結果誤差大小雖有所差別，但相對誤差均較小，為3%左右，符合實驗要求。

表7 利用勻加速和勻減速轉動測量轉動慣量(組合一)

從6種砝碼質量和塔輪半徑組合的測量結果來看，實驗臺轉動慣量計算結果差別約為1.91%；實驗臺和圓盤轉動慣量計算結果差別約為1.26%；圓盤轉動慣量計算結果差別約為1.93%。每種結果差別都較小，說明利用改進恒力矩法測得結果準確性好，解決了實驗時阻力矩隨角速度變化影響實驗結果準確性問題。

3 實驗數據重新組合

3.1 利用2次勻加速轉動測量

理論上也可以利用2次勻加速運動測量數據計算物體轉動慣量，則對應公式需要修改。若計算時β1、β2、β3、β4均取絕對值，則有

(10)

同理，若在實驗臺放置被測物體后系統(tǒng)的轉動慣量為J2，利用對應質量砝碼和半徑塔輪組合，測出作勻加速和勻減速運動的角加速度大小分別為β3與β4，可得

(11)

根據轉動慣量疊加原理，被測物體轉動慣量為

J3=J2-J1

(12)

利用這種方法，根據所測數據，重新整理數據并計算圓盤轉動慣量，結果如表8 — 表10所示。

表8 利用勻加速轉動測量轉動慣量(組合一)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.004 523 kg·m2，相對誤差27.83%。

3.2 利用2次勻加速測量結果分析

由表8 — 表10可知，利用2次勻加速轉動測量數據，使用不同砝碼質量和塔輪半徑組合測量結果相對誤差均較大。實驗臺轉動慣量計算結果最小值為0.006 381 kg·m2，最大值為0.008 370 kg·m2，兩者誤差為31.2%；實驗臺和圓盤轉動慣量計算結果最小值為0.009 253 kg·m2，最大值為0.012 956 kg·m2，兩者誤差約為40%；圓盤轉動慣量計算結果最小值為0.002 866 kg·m2，最大值為0.004 586 kg·m2，兩者誤差約為60%。

表9 利用勻加速轉動測量轉動慣量(組合二)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.002 866 kg·m2，相對誤差19.0%。

表10 利用勻加速轉動測量轉動慣量(組合三)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.004 586 kg·m2，相對誤差29.6%。

3.3 利用2次勻減速轉動測量

當然，理論上也可以利用兩次勻減速運動測量計算物體轉動慣量，則對應公式需要修改．如計算時β1、β2、β3、β4均取絕對值，有

(13)

同理，若在實驗臺放置被測物體后系統(tǒng)的轉動慣量為J2，利用對應質量砝碼和半徑塔輪組合，測出作勻加速和勻減速運動的角加速度大小分別為β3與β4，可得

(14)

根據轉動慣量疊加原理，被測物體轉動慣量為

J3=J2-J1

(15)

根據所測數據，重新整理并計算，結果如表11 — 表13所示。

表11 利用勻減速轉動測量轉動慣量(組合一)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.005 941 kg·m2，相對誤差67.9%。

表12 利用勻減速轉動測量轉動慣量(組合二)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.005 215 kg·m2，相對誤差47.39%。

表13 利用勻減速轉動測量轉動慣量(組合三)

注：圓盤轉動慣量實驗值為0.004 036 kg·m2，相對誤差14.06%。

3.4 利用2次勻減速轉動測量結果分析

由表11 — 表13可知，利用2次勻減速轉動測量數據，使用不同砝碼質量和塔輪半徑組合測量結果相對誤差均較大，說明測量結果也不準確。實驗臺轉動慣量計算結果最小值為0.004 811 kg·m2，最大值為0.007 940 kg·m2，誤差約65%；實驗臺和圓盤轉動慣量計算結果最小值為0.010 752 kg·m2，最大值為0.013 155 kg·m2，誤差約為22%；圓盤轉動慣量計算結果最小值為0.004 036 kg·m2，最大值為0.005 941 kg·m2，誤差約為47%。

4 結 語

以上分析結果表明，利用后2種方法測量物體轉動慣量，測量結果均不精確，且相對誤差大。理論上方法可行，但實際應用效果不好。原因在于，同組數據中兩次測量得到的角加速度大小相差較小且有誤差，在計算轉動慣量時，將2次測量得到的角加速度相減，相減得到的數值為分母。根據誤差理論，這種做法結果誤差必然很大。

利用改進的恒力矩法進行1次勻加速和1次勻減速轉動測量，使用不同質量的砝碼和塔輪半徑組合，測量物體轉動慣量，穩(wěn)定性和精確度均較好，相對誤差較小。這說明改進的恒力矩法能部分解決測量中摩擦阻力矩變化導致的數據不穩(wěn)定問題。

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AnImprovedConstantTorqueMethodofMeasuringtheRigidBodyMomentsofInertia

YANGDaxiaoZHANGJiaweiYANGYaohuiCHENXuewenYAOXueTANRenbing

(School of Mathematics and Physics, Chongqing University of Science and Technology, Chongqing 401331, China)

This paper focuses on the study of measurement of rigid body moment of inertia in specialized course of college physics. With the appropriate combination weights and cone radius, the system was carried out a deceleration movement and an acceleration movement, and the rigid body moment of inertia has been measured. With the improved method for measuring constant torque, the impact of variation of resisting moment according to the angular velocity was reduced, and the result was more accurate with smaller error.

resisting moment; rigid body; moment of inertia; constant torque

2017-09-11

國家自然科學基金項目“重味強子的產生和衰變及其新物理效應研究”(11347024)；重慶市科委基金項目“對撞機上重味強子產生和衰變機制的研究”(2014JCYJA00030)；重慶市教委基金項目“重味粒子產生和衰變機制的系統(tǒng)研究”(KJ1401313)；重慶科技學院重點培育基金項目“高亮度正負電子對撞機上重味粒子的研究”(CK2016Z03)

楊達曉(1981 — )，男，碩士，講師，研究方向為大學物理實驗教學。

O313

A

1673-1980(2017)06-0103-05