趙小鵬，王瑞利

(1.渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西渭南714099;2.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所，北京100094)

【自然科學基礎(chǔ)理論研究】

計算流體力學數(shù)值模擬驗證與確認策略

趙小鵬1，王瑞利2

(1.渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西渭南714099;2.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所，北京100094)

數(shù)值模擬和工程仿真軟件已成為理論研究、工程設(shè)計與事故分析的重要工具，其模擬結(jié)果的高可信度或仿真過程的真實性已成為人們追求的目標。文章從計算流體力學過程中“物理建模、數(shù)值建模、軟件研制、數(shù)值實驗、結(jié)果分析”五位一體考慮，分析了各階段影響模擬結(jié)果可信度的重要因素，構(gòu)建了爆轟流體力學模型驗證、確認和不確定度量化(V＆V＆UQ)的策略及相關(guān)實施的關(guān)鍵技術(shù)，據(jù)此可以構(gòu)建炸藥爆轟彈塑性流體力學物理模型分層確認樹型圖，為研制高可信度爆轟流體力學數(shù)值模擬軟件提供有效評估手段，為復(fù)雜工程研發(fā)高可信度模擬與仿真軟件提供評估思路。

計算流體力學;不確定性;可信度評估

0 引言

在航空、航天、大氣、海洋、兵器與國防等重大工程高端領(lǐng)域以及汽車、機械、船舶、電子、土木工程等產(chǎn)品設(shè)計應(yīng)用領(lǐng)域，數(shù)值模擬和工程仿真軟件已成為理論研究、工程設(shè)計與事故分析的重要工具。模擬與仿真不僅可以與理論、實驗相互印證，更重要的是模擬與仿真能給出大量沒有理論與實驗的預(yù)測結(jié)果。這些預(yù)測反映了人們對客觀世界規(guī)律性的認識，數(shù)值模擬的重要價值恰恰體現(xiàn)在對未知世界的預(yù)測。這就從邏輯上要求人們回答一系列問題，如何評價數(shù)值模擬結(jié)果的準確程度?如何評估數(shù)值模擬結(jié)果的不確定性?特別是那些物理數(shù)學理論難以解釋、試驗難以再現(xiàn)或只有通過巨大耗資才能解決的系統(tǒng)可靠性驗證、性能評估和事故原因分析等問題，通過數(shù)值模擬與工程仿真可以真實、全過程、全時空、反復(fù)精密地進行，以填補理論缺陷和不能做實驗的遺憾。［1－2］

基于試驗是研究物理機理、機制、事件過程的直接研究方法，但由于多物理過程本身的復(fù)雜性，設(shè)計科學試驗再現(xiàn)物理真實過程是很具挑戰(zhàn)性的難題，甚至是不可能的。加之開展科學試驗的成本與投入是非常昂貴的，開展大量的試驗很不現(xiàn)實?；跀?shù)值模擬與工程仿真研究具有成本低、速度快、數(shù)據(jù)完備且可以模擬各種不同的工況等特點，是一種能模擬真實條件且無危害的間接研究手段。但由于實際物理過程的復(fù)雜性和人們認識的缺陷，模擬與仿真中采用的物理模型、計算方法不可避免地有近似、簡化或人為因素，使得數(shù)值模擬結(jié)果的可信性與工程仿真過程的真實性成為人們質(zhì)疑的重要問題。驗證、確認和不確定度量化(Verification and Validation and Uncertainty Quantification，V＆V＆UQ)是結(jié)合物理試驗和數(shù)值模擬與工程仿真兩種研究方法的優(yōu)點、發(fā)展高可信度數(shù)值模擬與工程仿真軟件的最佳途徑。［3－5］

1 計算流體力學建模與模擬中誤差與不確定度

1.1 物理建?！锢砟Ｐ?/h3>

物理建模過程涉及認知模型階段、概念模型階段、數(shù)學/計算模型階段、參數(shù)分析與優(yōu)化階段(如圖1所示)。在物理建模過程中，由于現(xiàn)實世界的復(fù)雜性和人們認知的局限性，物理建模過程采用了簡化與抽象，使得物理模型的背后有許多誤差和不確定性，［6］這些都會影響計算結(jié)果的可信度。

圖1 物理建模過程

1.2 數(shù)值建?！獢?shù)值方法

數(shù)值建模過程涉及計算空間剖分、微分方程離散、格式基本理論分析和求解算法設(shè)計等過程(如圖2所示)。［7］在此過程中由于從連續(xù)到離散，存在離散誤差、模型初邊值條件誤差、計算機舍入誤差等，對模擬結(jié)果會產(chǎn)生很大影響。

圖2 數(shù)值建模過程

圖3 程序研制過程

1.3 軟件研制—程序設(shè)計

軟件研制過程涉及物理方案、數(shù)學方案、概要設(shè)計、詳細設(shè)計、編碼、測試與考核、應(yīng)用與維護等軟件生命周期的各個要素(如圖3所示)。軟件版本、覆蓋性測試、各階段實施文檔正確性等，會影響模擬結(jié)果的可信度。

1.4 問題試驗—計算模擬

問題試驗過程涉及幾何建模、網(wǎng)格生成、施加初邊值條件、模型計算機分析、結(jié)果可視化等環(huán)節(jié)(如圖4所示)。此過程由于不可能精確建模和逼真模擬，模擬與預(yù)測結(jié)果始終存在誤差和不確定性等，影響模擬結(jié)果的可信度。

圖4 問題模擬過程

1.5 結(jié)果分析—預(yù)測評估

結(jié)果分析過程涉及模型輸入誤差與不確定性表征、模型確定性程序計算機分析、輸出(響應(yīng)量)不確定性量化、計算模型修正或確認、實際問題預(yù)測與評估等過程(如圖5所示)。［8－11］此過程由于模型中參數(shù)、形式與逼近方法的不確定性，可能會產(chǎn)生與實驗不一致的隨機結(jié)果，對決策產(chǎn)生影響，必須對其進行評估。

2 爆轟流體力學模型驗證、確認及不確定度量化

2.1 驗證、確認及不確定度量化實施策略

炸藥爆轟過程的數(shù)學物理模型是雙曲型的偏微分方程組與一階常微分方程、復(fù)雜函數(shù)關(guān)系式耦合在一起的非線性偏微分方程組。［6］圖6給出了爆轟流體力學模擬過程實施V＆V＆UQ的策略。［12］

2.2 數(shù)值誤差分析及不確定度量化

爆轟流體力學模擬中誤差有兩種［13］:一種是對物理問題進行數(shù)學描述時因假設(shè)和近似而帶來的誤差，稱為建模誤差δSM;另一種是數(shù)學方程的數(shù)值求解帶來的誤差，稱為數(shù)值誤差δSN。因此模擬誤差δS的表達式為:其中:S表示模擬結(jié)果，T表示真值或約定真值。

用USM表示對應(yīng)于建模誤差δSM的不確定度，USN表示對應(yīng)于數(shù)值誤差δSN的不確定度，則模擬誤差的不確定度US可由式(2)計算:

圖6 爆轟流體力學模型驗證、確認與不確定度量化策略

誤差可以被估計，用上角標帶* 號表示估計值，則:

利用估計值對模擬結(jié)果進行校正，校正后的模擬值SC(數(shù)值基準)可定義為:

校正后的模擬誤差δSC為:

對應(yīng)的不確定性為:

其中:USCN為εSN的不確定度估計。

驗證過程的核心就是分析模擬中的數(shù)值誤差并在預(yù)測中加以控制。數(shù)值誤差δSN主要包括迭代誤差δI、舍入誤差δR、截斷誤差δT和因其他參數(shù)的引入造成的誤差δP，即

因舍入誤差δR在數(shù)值誤差中所占比例很小，可以忽略不計;模擬中引用的參數(shù)一般來源于經(jīng)過精度測量的參數(shù)，取值精度也比較高，故因參數(shù)引入造成的誤差δP也很小。這樣數(shù)值誤差δSN主要包括迭代誤差和截斷誤差，即

相應(yīng)的不確定度為:

其中:UI、UT分別為迭代不確定度和截斷不確定度。

根據(jù)式(4)(5)(10)，校正后的模擬值和校正后的數(shù)值不確定度就可以分別表示為:

其中:UIC和UTC分別為校正后的迭代不確定度和校正后的截斷不確定度。式(11)可以寫為:

從式(11)還可以看出，SC等于真值T加上建模誤差δSM，再加上假定的數(shù)值誤差的估計誤差εSN，而一般εSN很小，所以SC也可以稱為模擬的基準值。

因為截斷誤差一般是根據(jù)幾套尺度不同網(wǎng)格上的模擬值來分析的，即截斷誤差的分析要用到模擬值，而該模擬值不應(yīng)包含迭代誤差，因此在進行截斷誤差分析之前，首先要分析迭代誤差，并利用迭代誤差對模擬值進行校正，然后利用校正后的模擬值來推斷截斷誤差。迭代誤差對模擬值校正:

一般選取3套網(wǎng)格進行截斷誤差分析，幾套網(wǎng)格間的細化比r可以為常數(shù)，也可以為變量，一般取r為常數(shù)，因為這樣既不影響分析結(jié)果，還能使分析簡化。

所謂迭代誤差，是指由數(shù)值計算所得出的當前解與在同一套網(wǎng)格上離散方程的精確解之間的偏差，亦即迭代終止時離散方程的解與精確解的偏差。由于離散方程采用迭代方法求解時不可能絕對滿足收斂性，必須在一定的條件下滿足后停止迭代。迭代收斂包括一致迭代收斂、振蕩迭代收斂和混合迭代收斂。

(1)對振蕩迭代收斂，認為其迭代誤差等于0，即

不確定度為:

其中:SU和SL分別為停止迭代時最后一個迭代周期中解的最大值和最小值，可以認為是該不確定度在95%的置信度下的擴展不確定度。

式(15)是根據(jù)振蕩迭代收斂的特點，近似認為振蕩收斂的迭代誤差為隨機誤差，隨著振蕩不斷進行，模擬值圍繞一個確定的值上下波動，故認為其誤差為0。同時認為式(16)所確定的不確定度具有95%的置信度。［14］

(2)對于一致迭代收斂，可以采用指數(shù)方程的曲線擬合法來估計迭代不確定度UIC(95%的置信度)、迭代誤差的估計值和校正后的迭代不確定度UIC( 95%的置信度)，即

其中:CF∞為擬合的指數(shù)方程當自變量趨于無窮時的函數(shù)值。

(3)對于振蕩迭代和一致迭代混合的情況，解的振幅隨迭代次數(shù)增加而減小。用解的范圍來定義第i次迭代中的最大值SU和最小值SL，從而估計迭代不確定度UI(從式(16)可計算95%的置信度)、迭代誤差的估計值和校正后的迭代不確定度UIC(95%的置信度)，即

在進行誤差分析前，首先需要判斷隨網(wǎng)格加密解的變化趨勢。設(shè)3套網(wǎng)格上對應(yīng)的用迭代誤差校正過的解分別為，其中:代表尺度最小即網(wǎng)格最密的解;代表尺度最大即網(wǎng)格最疏的解。不同網(wǎng)格下模擬值之差用ε表示，即

其中:下標21表示網(wǎng)格2和網(wǎng)格1之間的值，下標32表示網(wǎng)格3和網(wǎng)格2之間的值。根據(jù)不同的R值，可以判斷解隨著網(wǎng)格加密存在3種變化趨勢:

(1)當0＜R＜1時，表明隨著網(wǎng)格的加密數(shù)值解沿下凹曲線(曲線斜率絕對值逐漸變小)單調(diào)趨近于收斂值，屬單調(diào)收斂;

(2)當 －1＜R＜0時，表明隨著網(wǎng)格的加密數(shù)值解在收斂值附近上下振蕩，屬于振蕩收斂;

(3)當R＞1或R＜－1時，表明隨著網(wǎng)格的加密數(shù)值解沿上凸曲線(曲線斜率絕對值逐漸變大)變化或者振蕩發(fā)散，說明發(fā)散或解隨著網(wǎng)格加密尚未達到穩(wěn)定，對這種情況，應(yīng)進一步加密網(wǎng)格，直到出現(xiàn)(1)或(2)的情況。

對于點參數(shù)，可能會遇到ε21和ε32都為0的情況，這時可以采用L2范數(shù)進行定義，即

其中:i=1，2，…，N表示研究區(qū)域的N個點。由于范數(shù)總是大于0，無法識別出R＜0的情況，因此需要用該點附近的局部極值代替該點進行計算來輔助判斷R的正負。

隨著網(wǎng)格加密解的變化趨勢不同，對應(yīng)的截斷誤差的分析方法不同:

(1)單調(diào)收斂誤差和不確定度的分析方法

單調(diào)收斂可以用Richardson外推法進行誤差和不確定度分析。

其中:P為指數(shù)，取決于所采用的離散格式。

上述截斷誤差分析方法是針對只存留截斷誤差首項時的方法，假設(shè)高階項相對首項可忽略不計，對于較精細的網(wǎng)格且解處于漸近線范圍內(nèi)時，高階項可以被忽略。然而在實際情況下，要達到漸近線范圍內(nèi)是不可能的，但因為進行包含2項及以上的截斷誤差的分析是很困難的，同時還需要在5套以上的網(wǎng)格上進行計算，所以不希望采用2項或以上的截斷誤差進行分析。解決的辦法是考慮高階項的影響，即對式(26)進行修正，修正系數(shù)為:

其中:Pest為截斷誤差首項精度階的估計值，可以取第一項的階數(shù)。C＜1表明高階項和為負值;C＞1表明高階項和為正值。這樣，截斷誤差就可表示為:

采用解析基準解進行分析后表明不確定度UT可以取

(2)振蕩收斂不確定度分析方法

振蕩收斂只能估計不確定度而無法估計誤差，不確定度的估計需要3套以上網(wǎng)格的解，具體公式為:

其中:SU和SL分別為3套網(wǎng)格中解的最大值和最小值。式(30)是這樣得出的:假設(shè)模擬誤差分布屬于正態(tài)分布，這樣擴展不確定度對應(yīng)95%的置信度的包含因子就等于2，即

其中:95%為標準不確定度，當用單次的模擬值作為模擬值的估計值時，標準不確定度為實驗標準差S。考慮到數(shù)據(jù)少于6個，用極差法求其標準差

這樣，當解隨網(wǎng)格加密振蕩收斂時，置信度為95%的截斷誤差不確定度的計算式即為式(30)。

模型確認方法是綜合考慮了模擬結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)中的誤差及不確定度。用實驗數(shù)據(jù)對模擬結(jié)果進行確認或比較誤差可以通過圖7來解釋。圖中橫坐標表示自變量x，縱坐標表示要考察的響應(yīng)量(變量)r，某一自變量對應(yīng)的模擬結(jié)果為S，對應(yīng)的實驗數(shù)據(jù)為D，S和D之間的差別用E表示，實驗數(shù)據(jù)D存在不確定度UD，模擬結(jié)果S存在不確定度US。

圖7 比較誤差定義

設(shè)實驗數(shù)據(jù)D的誤差為δD，根據(jù)式(1)可以得到

D和S之間的差別E稱為比較誤差，可表示為:

其中:建模誤差δSM被分為來自于模擬采用的參數(shù)誤差δSPD和來自于模型假設(shè)的誤差δSMA。

如果x，r和S沒有共同的誤差源，則比較誤差的不確定度UE可以表示為:

確認就是要比較|E|，UE和允許的最大不確定度Ureqd之間的關(guān)系，確認標準如下:

(1)當|E|和UE都小于Ureqd時，模型通過確認。

(2)在條件(1)成立的情況下，如果|E|＜UE，可以認為實驗與模擬的偏差是由隨機誤差產(chǎn)生的，即認為模擬誤差為0，這種情況下建模誤差δSM與數(shù)值誤差大小相等，符號相反。

(3)在條件(1)成立的情況下，如果UE＜|E|，假定δD為0，則|E|可近似代表模擬誤差，即建模誤差和數(shù)值誤差之和。

對多個模型或程序的檢驗除了進行單個模型或程序的檢驗外，還可以通過比較各個模型或程序的|E|+UE的大小，判斷不同模型或程序的性能。

但實際上沒有辦法確定USMA，所以UE沒法確定，因此引入不確定度UV來進行近似比較:

對數(shù)據(jù)點(xi，ri)，UD應(yīng)該包括實驗數(shù)據(jù)ri中的不確定度和n個自變量的測量不確定度附加給ri的不確定度，即

因使用已知參數(shù)帶來的誤差為:

USN在驗證的過程中已經(jīng)得出，這樣式(36)右邊的3項都可以計算得出，UV就可以求得。

需要說明的是解析基準解只能用于估計驗證中的模擬誤差，不能用于估計確認過程的建模誤差。

2.3 模型確認方法及可信度評估

模型確認有兩種方法。它們的主要區(qū)別在于計算SRQ與試驗SQR的不確定性量化信息的來源。在CFD中模型不確定度量化主要是基于試驗數(shù)據(jù)。當只有一種試驗數(shù)據(jù)和仿真數(shù)據(jù)可用時，方法1是一種行之有效的確認方法。方法1需要領(lǐng)域內(nèi)專家對試樣和模型給出評估意見，領(lǐng)域內(nèi)專家可能是，也可能不是實驗人員或建模人員?；谒麄冞^去在相關(guān)領(lǐng)域的經(jīng)驗，每個專家都要估計出一個對稱的變化區(qū)間，所有實際值都要落在這個區(qū)間范圍之內(nèi)，區(qū)間的半帶寬△如圖8所示。在缺乏數(shù)據(jù)時為方便和簡化起見，認為△滿足高斯(正態(tài))分布。方法1中，測量或計算值認為是概率分布的均值(μ)，半帶寬△等于3倍標準差(3σ)。在圖8中整個△所覆蓋的概率為99.7%，標準差σ很容易由△計算獲得。

圖8 評估概率密度分布函數(shù)、不確定因素

方法2與方法1類似，只是在對試驗結(jié)果的不確定性量化分析時采用重復(fù)試驗，而仿真結(jié)果的不確定性量化分析是通過對不同類型模型的重復(fù)試驗不確定模型輸入概率分析獲得。因此，結(jié)果的概率密度函數(shù)(PDFs)可能不滿足高斯分布，甚至不滿足對稱分布。這兩種方法的假設(shè)理論如圖9所示。

圖9 兩種確認方法圖示說明

兩種方法的確認指標都是基于測量SRQ值和計算SRQ的累積分布函數(shù)(CDFs，CDF是PDF的積分)之間的區(qū)域。這個指標有時被稱為面積指標，如圖10所示。

面積度量MSRQ是試驗CDF和模型CDF之間的面積區(qū)域，由試驗結(jié)果的平均值進行歸一化處理。因此，如果FSRQ(y)是模型預(yù)測SRQ和試驗測量SQR的CDF值，那么

其中:S－R－Q－exp= 實驗輸出結(jié)果的平均值。

圖10 面積指標示意圖

這個度量值為非負數(shù)值，且只有當兩種CDFs值完全相同時為0。為了幫助理解這個度量的含義，這里用一個兩種CDFs值不相交的特殊例子來描述，式(39)表示的是兩種平均值之差的絕對值的積分，一般情況下，這種平均插值是SRQmod和SRQexp之間的差值的絕對值的均值下限。在確定的情況下，其中兩個CDFs都是階梯函數(shù)，該區(qū)域可簡單表述為兩個特定值之間差的絕對值。

兩種確認方法，確認需求是:

顯然，一個特定的確認需求達到滿意的結(jié)果是確認評估所期望。然而，V＆V計劃中應(yīng)該包含驗證需求不符合指標時的行動計劃。這種應(yīng)急計劃可能包括改進模型、改進確認實驗、更好地進行不確定性量化分析、放寬指標或它們之間的組合等，選擇那種改進方法取決于主要應(yīng)用情況、確認失敗的結(jié)果以及確認可用的資源等。

3 結(jié)論與建議

本文針對計算流體力學建模與模擬過程，將“物理建模、數(shù)值建模、軟件研制、數(shù)值實驗、結(jié)果分析”五位一體考慮，系統(tǒng)分析了各階段誤差與不確定性來源及可信度評估因素，給出了爆轟計算流體力學建模與模擬驗證、確認和不確定度量化(V＆V＆UQ)的策略以及V＆V＆UQ過程中數(shù)值誤差分析與不確定度量化方法。

驗證與確認(V＆V)技術(shù)已經(jīng)成為歐美先進企業(yè)發(fā)展高可信度仿真軟件的標準流程，并對眾多工程仿真軟件實施了V＆V。在一些企業(yè)中，虛擬試驗平均取代了70%以上的物理試驗，甚至在某些行業(yè)做到了完全取代真實試驗。但國內(nèi)目前V＆V＆UQ方法及應(yīng)用仍處于發(fā)展階段，許多理論和方法問題有待解決。

(1)復(fù)雜外形網(wǎng)格收斂指標驗證技術(shù)。驗證與確認中要求對數(shù)值計算誤差分析，生成3套及3套以上的相似網(wǎng)格是非常重要的。這點對現(xiàn)在越來越復(fù)雜幾何外形，生成擬相似網(wǎng)格需要付出很大的時間和精力。即對復(fù)雜外形這是一個很具挑戰(zhàn)性的難題。

(2)基于模型分層確認方法。復(fù)雜工程流體力學領(lǐng)域涉及多物理過程耦合，要開展模型確認，必須將復(fù)雜過程進行層級分解，構(gòu)建模型分層確認樹型圖，才能有效開展確認試驗，達到評估數(shù)值模擬結(jié)果可信度的目的。為此未來必須重視模型層級確認方法的發(fā)展。

(3)多參數(shù)、多因素、多層級等多物理過程不確定性適用的數(shù)學描述及量化的數(shù)學方法。參數(shù)作為隨機變量處理具有一定的合理性，但不能適合參數(shù)變化的所有情況，不同情況下參數(shù)可能取值的變化，很難滿足隨機分布的假定，這就要求對參數(shù)不確定性發(fā)展提供更為適用的數(shù)學描述及量化方法。

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Verification and Validation Strategies for Numerical Simulation in Computational Fluid Dynamics

ZHAO Xiao－peng1，WANG Rui－li2
(1.School of Mathematics and Physics，Weinan Normal University，Weinan 714099，China;2.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100094，China)

Numerical simulation and engineering simulation software has become an important tool in theoretical research，engineering design and accident analysis.The high confidence of simulation result or the authenticity of simulation process is the ultimate goal of scientific research.Based on the five factors of“physical modeling，numerical modeling，software development，numerical experiments and result analysis”in the computational fluid mechanics，the important aspects influencing the confidence of simulation results are analyzed，and the key techniques of verification，validation and uncertainty quantification of detonation fluid dynamics model and relevant implementation are constructed.Based on those，a hierarchical validation tree model of the elasto－plastic hydrodynamics model of explosive detonation can be constructed.It can also provide an effective evaluation method for the development of numerical simulation software for detonation fluid dynamics with high confidence，and provide an evaluation method for high confidence simulation and simulation software for complex engineering.

computational fluid dynamics;uncertainty;confidence assessment

TP391.72

A

1009－5128(2017)24－0005－10

2017－09－13

國家自然科學基金項目:基于量子力學的算子譜理論問題研究(11501419);國家自然科學基金項目:多物理程序正確性驗證與可信度確認方法研究(11372051);國防基礎(chǔ)科研計劃項目:重大科學與工程計算中的支撐軟件框架體系與應(yīng)用(C1520110002)

趙小鵬(1968—)，男，陜西周至人，渭南師范學院數(shù)理學院副教授，主要從事應(yīng)用數(shù)學研究;王瑞利(1964—)，男，陜西富平人，北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所研究員，主要從事計算流體力學及工程仿真軟件研究。

【責任編輯 牛懷崗】