(空軍預(yù)警學(xué)院,湖北武漢430019)

基于定期維修的k/N系統(tǒng)維修渠道優(yōu)化模型

武高衛(wèi),江 峰,楊江平,王永攀

(空軍預(yù)警學(xué)院,湖北武漢430019)

針對(duì)定期維修策略下的k/N系統(tǒng)維修渠道的配置問(wèn)題,建立了多類(lèi)故障單元批量定期送修的維修渠道優(yōu)化模型。首先,給出了定期維修策略下的k/N系統(tǒng)工作流程和故障單元維修流程;然后,根據(jù)故障單元批量定期送修的特點(diǎn),提出了Dξ/M/c排隊(duì)模型,并對(duì)關(guān)鍵輸入?yún)?shù)進(jìn)行了修正與計(jì)算,對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率進(jìn)行了求解;接著,建立了多類(lèi)故障單元同時(shí)送修的維修渠道優(yōu)化模型,通過(guò)將多類(lèi)顧客源多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單類(lèi)顧客源多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng),對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行了求解;最后,通過(guò)算例仿真與分析,對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明,該模型能夠?yàn)閗/N系統(tǒng)維修渠道數(shù)量的確定提供理論依據(jù),對(duì)部隊(duì)維修資源的合理配置具有一定的指導(dǎo)意義。

k/N系統(tǒng);定期維修;維修渠道;排隊(duì)系統(tǒng)

0 引言

維修渠道屬于裝備維修保障資源的范疇,通常由一組配套的維修資源組成,如維修設(shè)備設(shè)施、維修人員以及技術(shù)資料等,其配置水平直接影響著故障單元的維修進(jìn)度進(jìn)而影響整個(gè)武器裝備的作戰(zhàn)效能發(fā)揮[1]。因此,開(kāi)展維修渠道的優(yōu)化配置研究,意義重大。

為了滿(mǎn)足高可用度和高可靠性的要求,許多大型復(fù)雜裝備如艦船、相控陣?yán)走_(dá)等越來(lái)越多地使用k/N結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[2]?？紤]到k/N系統(tǒng)的冗余性設(shè)計(jì),即當(dāng)少數(shù)單元出現(xiàn)故障時(shí)不必立即維修,這類(lèi)裝備又有其獨(dú)特的維修保障特點(diǎn)。然而,在維修渠道的配置方法上,當(dāng)前部隊(duì)的普遍做法是采用GJB 5967—2007《保障設(shè)備規(guī)劃與研制要求》[3]中的類(lèi)比法或估算法對(duì)維修渠道的配置數(shù)量進(jìn)行確定,從部隊(duì)的實(shí)際狀況來(lái)看,該方法暴露出以下問(wèn)題,造成維修渠道配置數(shù)量不合理:①?zèng)]有考慮故障單元批量送修的影響;②沒(méi)有考慮多類(lèi)故障單元同時(shí)送修的影響。

針對(duì)上述問(wèn)題,許多專(zhuān)家學(xué)者展開(kāi)了深入的研究。文獻(xiàn)[4-5]通過(guò)在裝備研制階段分析保障活動(dòng),對(duì)保障資源的配置效率進(jìn)行了研究,但是沒(méi)有考慮故障單元的規(guī)律分布,并不適用于長(zhǎng)期運(yùn)行的有故障規(guī)律的裝備的保障問(wèn)題;文獻(xiàn)[6-9]根據(jù)部件失效規(guī)律特點(diǎn),建立了基于M/M/c排隊(duì)論的維修設(shè)備優(yōu)化配置模型,在一定程度上解決了故障單元單件送修策略下的維修設(shè)備的配置問(wèn)題;在故障單元批量送修的問(wèn)題上,文獻(xiàn)[10]根據(jù)保障設(shè)備數(shù)量與每批次故障產(chǎn)品數(shù)量的大小關(guān)系,單純的通過(guò)對(duì)保障設(shè)備和故障單元進(jìn)行分組,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng),雖然能夠解決批量送修的問(wèn)題,但是誤差較大;文獻(xiàn)[11-12]通過(guò)建立Mξ/M/c/∞排隊(duì)模型,解決了故障單元成批到達(dá)、每批到達(dá)數(shù)隨機(jī)、批與批之間的到達(dá)時(shí)間間隔服從指數(shù)分布的維修排隊(duì)問(wèn)題,為解決故障單元批量送修提供了較好的思路和方法,但是沒(méi)有考慮多種故障單元同時(shí)送修的影響;在多類(lèi)故障單元同時(shí)送修的問(wèn)題上,文獻(xiàn)[13-15]基于METRIC模型,分析了多類(lèi)故障單元同時(shí)送修的情況下有限維修渠道對(duì)備件供應(yīng)的影響,但其前提是(S,S-1)庫(kù)存策略,而非批量送修策略。

結(jié)合部隊(duì)定期維修作業(yè)體制,針對(duì)k/N系統(tǒng)故障單元批量定期送修的特點(diǎn),考慮到多類(lèi)故障單元同時(shí)送修的問(wèn)題,本文依次建立了Dξ/M/c排隊(duì)模型和維修渠道優(yōu)化模型,對(duì)定期維修策略下多類(lèi)故障單元批量定期送修的維修渠道配置問(wèn)題進(jìn)行了研究。

1 問(wèn)題描述與假設(shè)

設(shè)某大型復(fù)雜裝備由l種現(xiàn)場(chǎng)可更換單元(Line Replaceable Unit,LRU)組成,LRUi包含N i個(gè)故障間隔時(shí)間服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布,且相互獨(dú)立的單元,當(dāng)至少有k i個(gè)單元正常工作時(shí)裝備才能正常運(yùn)行,即該裝備由l個(gè)k/N系統(tǒng)組成。該裝備采用兩級(jí)維修作業(yè)體系(部隊(duì)級(jí)和基地級(jí))和定期維修策略,維修周期為T(mén)。定期維修策略的裝備工作示意圖如圖1所示,系統(tǒng)開(kāi)始正常工作后,若在定期維修周期T內(nèi)LRUi故障件數(shù)x i＜N i-k i,則(k/N)i系統(tǒng)正常工作;若x i≥N i-k i,則(k/N)i系統(tǒng)失效,立即從部隊(duì)級(jí)庫(kù)存中領(lǐng)取LRUi備件對(duì)(k/N)i系統(tǒng)進(jìn)行換件維修,修復(fù)完成后裝備繼續(xù)運(yùn)行。當(dāng)運(yùn)行到定期維修周期T時(shí),對(duì)所有故障LRUi進(jìn)行換件維修,系統(tǒng)恢復(fù)完好,進(jìn)入下一個(gè)定期維修周期,同時(shí)將故障LRUi進(jìn)行送修。

圖1 定期維修策略的裝備工作示意圖

考慮到k/N系統(tǒng)的冗余性設(shè)計(jì),對(duì)其進(jìn)行維修時(shí)需要采用批量換件維修方式,所以傳統(tǒng)的(S,S-1)庫(kù)存策略以及與之對(duì)應(yīng)的單件送修方式不再適用。本文采取(T,S)庫(kù)存策略和批量送修方式。

根據(jù)實(shí)際維修保障特點(diǎn),建立模型需作如下關(guān)鍵性假設(shè):

1)部隊(duì)級(jí)只對(duì)LRU進(jìn)行換件維修,換件維修時(shí)間忽略,基地級(jí)修理所對(duì)故障LRU進(jìn)行修復(fù)性維修;

2)維修渠道為通用維修渠道,可以對(duì)該裝備所有種類(lèi)的故障LRU進(jìn)行修理;

3)維修渠道是完好不壞的,可以連續(xù)作業(yè),不會(huì)出現(xiàn)故障而影響維修作業(yè);

4)所有的故障LRU沒(méi)有優(yōu)先等級(jí),按照FCFS規(guī)則接受維修服務(wù)。

2 Dξ/M/c/∞排隊(duì)模型

2.1 排隊(duì)過(guò)程描述

每次定期維修后,需將故障LRUi送往基地級(jí)修理所進(jìn)行維修。設(shè)故障LRUi批量定期送修,每批次送修的故障LRUi數(shù)為隨機(jī)變量ξi,批與批之間的到達(dá)間隔為維修周期T。修理所內(nèi)有c組并行的維修渠道,每個(gè)維修渠道對(duì)故障LRUi的維修時(shí)間t服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布;排隊(duì)系統(tǒng)只有一個(gè)隊(duì)列,等待位置無(wú)限,送修過(guò)程與維修過(guò)程相互獨(dú)立。當(dāng)ξi＞c時(shí),c個(gè)故障LRUi直接進(jìn)入維修作業(yè),ξi-c個(gè)故障LRUi等待維修;當(dāng)某個(gè)維修設(shè)備完成對(duì)故障LRUi的維修時(shí),維修隊(duì)列中的故障LRUi依次進(jìn)入維修設(shè)備接受服務(wù),直到該批所有故障LRUi維修完畢。則定義該維修過(guò)程為Dξ/M/c排隊(duì)過(guò)程。故障LRUi維修流程如圖2所示。

圖2 故障LRU i維修流程

2.2 輸入?yún)?shù)的修正與計(jì)算

2.2.1 每批次故障數(shù)的概率分布P(ξi)

設(shè)LRUi的故障率服從參數(shù)為λi的指數(shù)分布,由指數(shù)分布規(guī)律得,每個(gè)LRUi的故障密度函數(shù)為

則每個(gè)LRUi的可靠度函數(shù)為

(k/N)i系統(tǒng)的正常工作時(shí)間期望[16]為

當(dāng)采用單件維修方式時(shí),文獻(xiàn)[17]對(duì)k/N系統(tǒng)在時(shí)間T內(nèi)的故障數(shù)ξi的概率分布進(jìn)行了計(jì)算:

上式得出的前提是每個(gè)故障單元能夠得到及時(shí)修復(fù)。然而采用定期批量維修方式時(shí),只有當(dāng)系統(tǒng)工作時(shí)間達(dá)到維修周期T或故障單元數(shù)達(dá)到m i=N i-k i時(shí),才進(jìn)行維修。因此本文對(duì)k/N系統(tǒng)在時(shí)間T內(nèi)的故障數(shù)ξi的概率分布進(jìn)行修正如下:

2.2.2 服務(wù)強(qiáng)度ρ

服務(wù)強(qiáng)度ρ描述了維修設(shè)備的繁忙程度,ρ越大,維修設(shè)備越繁忙。當(dāng)ρ＜1時(shí),排隊(duì)系統(tǒng)能夠達(dá)到平衡狀態(tài),存在穩(wěn)態(tài)分布;當(dāng)ρ≥1時(shí),排隊(duì)系統(tǒng)不能達(dá)到平衡狀態(tài),即該系統(tǒng)不能構(gòu)成概率分布。Dξ/M/c排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度表達(dá)式為

2.3 隊(duì)長(zhǎng)穩(wěn)態(tài)概率p ij

設(shè)N i(t)表示時(shí)刻t排隊(duì)系統(tǒng)內(nèi)故障LRUi數(shù),包括正在進(jìn)行維修的故障LRUi,即N i(t)表示時(shí)刻t排隊(duì)系統(tǒng)的隊(duì)長(zhǎng),{N i(t),t≥0}的狀態(tài)空間為{0,1,2,3,…}。設(shè)p ij(t)=P{N i(t)=j}為N i(t)的瞬時(shí)分布,由于排隊(duì)系統(tǒng)的概率隨機(jī)性,求解其瞬時(shí)分布是不精確且沒(méi)有意義的,因此通常求當(dāng)排隊(duì)系統(tǒng)達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)后的穩(wěn)態(tài)分布下面討論ρi＜1條件下N i(t)的穩(wěn)態(tài)分布p ij。

由2.1節(jié)的排隊(duì)過(guò)程,可得出隊(duì)長(zhǎng)N i(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,如圖3所示。

圖3 隊(duì)長(zhǎng)N i(t)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖,可列出平衡條件下的K氏代數(shù)方程:

文獻(xiàn)[18]對(duì)M X/G/1/∞排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率求解方法進(jìn)行了推導(dǎo)和證明,本文運(yùn)用其思想和方法,推導(dǎo)出Dξ/M/c排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率如下:

1)當(dāng)ρi≥1時(shí),p ij=0;

2)當(dāng)ρi＜1時(shí),p ij存在且構(gòu)成概率分布,進(jìn)一步有遞推式:

3 維修渠道優(yōu)化模型

基地級(jí)修理所的通用維修渠道能夠?qū)Χ喾N不同類(lèi)型的故障LRUi進(jìn)行維修,因此維修系統(tǒng)可以看作一個(gè)多類(lèi)顧客源多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)。設(shè)某維修渠道能夠?qū)種故障LRU進(jìn)行維修,對(duì)故障LRUi的維修率為μi,由于不同種類(lèi)LRU相互獨(dú)立,互不影響,為了便于分析,通常將多類(lèi)顧客多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單類(lèi)顧客多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)。

3.1 多類(lèi)故障LRU i送修的排隊(duì)系統(tǒng)輸入?yún)?shù)的確定

1)平均到達(dá)率Λ

裝備采用定期維修策略時(shí),到達(dá)維修周期T后對(duì)所有(k/N)i系統(tǒng)進(jìn)行維修,則進(jìn)入維修渠道的各種故障LRUi的平均到達(dá)率為

2)每批次平均故障數(shù)概率分布P(ξ)

式中,j i表示LRUi的故障數(shù),且

3)平均服務(wù)強(qiáng)度ρ

4)平均維修率μ

由服務(wù)強(qiáng)度的定義得

考慮多類(lèi)故障LRUi的排隊(duì)系統(tǒng)輸入?yún)?shù)確定之后,便可求解出排隊(duì)系統(tǒng)的平均穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)p j。

3.2 維修渠道優(yōu)化模型

在對(duì)維修渠道進(jìn)行優(yōu)化配置時(shí),維修渠道滿(mǎn)足率是比較常用的約束指標(biāo)。維修渠道滿(mǎn)足率是指當(dāng)故障LRU到達(dá)修理所時(shí)不用等待,能夠馬上開(kāi)始維修作業(yè)的概率?？梢?jiàn),維修渠道滿(mǎn)足率從裝備維修保障的角度考慮,反映了維修渠道的配置數(shù)量對(duì)于維修活動(dòng)及時(shí)開(kāi)始的影響程度。根據(jù)維修渠道滿(mǎn)足率的定義,在本文的排隊(duì)模型中,維修渠道滿(mǎn)足率P可以表示為排隊(duì)模型的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)不大于維修渠道的數(shù)量的概率,即

費(fèi)用是配置維修資源時(shí)必須考慮的因素。假設(shè)每組維修渠道的配置費(fèi)用為r萬(wàn)元,則以維修渠道配置費(fèi)用C為優(yōu)化目標(biāo),以維修渠道滿(mǎn)足率為約束條件建立維修渠道優(yōu)化模型:

式中,P0為最低可接受的維修渠道滿(mǎn)足率。

4 算例分析

某相控陣?yán)走_(dá)天線陣面主要由兩種LRU組成:T/R組件和發(fā)射電源,其基本數(shù)據(jù)見(jiàn)表1,假設(shè)每組維修渠道配置費(fèi)用r=50萬(wàn)元,最低可接受的維修渠道滿(mǎn)足率P0=0.95。

表1 天線陣面LRU基本數(shù)據(jù)

維修渠道滿(mǎn)足率P與維修渠道數(shù)量c、定期維修周期T,以及每批次送修數(shù)量ξ有關(guān),當(dāng)天線陣面的LRU參數(shù)確定時(shí),ξ還與部隊(duì)級(jí)備件庫(kù)存數(shù)量s1有關(guān)。圖4以T/R組件為例,分別給出了控制變量條件下維修渠道滿(mǎn)足率P隨維修渠道數(shù)量c、定期維修周期T,以及T/R組件的部隊(duì)級(jí)備件庫(kù)存數(shù)量s1的變化情況。

圖4 維修渠道滿(mǎn)足率變化曲線

從圖中可以看出,維修渠道數(shù)量c是影響維修渠道滿(mǎn)足率P的關(guān)鍵因素,且P是c的單調(diào)遞增凸函數(shù)。維修周期T對(duì)維修渠道滿(mǎn)足率P的影響比較復(fù)雜,隨著T的增加,在每批次送修數(shù)量增大的同時(shí),維修渠道能夠維修的故障單元的數(shù)量也在增大,因此變化規(guī)律不是單調(diào)曲線。由于T的確定不僅與維修渠道滿(mǎn)足率有關(guān),還與系統(tǒng)使用可用度、備件數(shù)量以及維修規(guī)劃等因素有關(guān),本文中不作討論,取值T=E(T0)。部隊(duì)級(jí)備件數(shù)量s1對(duì)維修渠道滿(mǎn)足率P的影響則幾乎可以忽略不計(jì)。

選取T1=E(T0)1=452.054 0 h,s11=50個(gè),計(jì)算得出T/R組件每批次送修數(shù)量期望a1=93.111 2個(gè);當(dāng)c=12組時(shí),維修渠道滿(mǎn)足率P1=0.956 5,維修渠道的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)L1=5.481 6個(gè),維修渠道配置費(fèi)用C1=600萬(wàn)元。

同理對(duì)發(fā)射電源進(jìn)行計(jì)算,選取T2=E(T0)2=467.809 0 h,s12=10個(gè),計(jì)算得出發(fā)射電源每批次送修數(shù)量期望a2=53.711 7個(gè);當(dāng)c=8組時(shí),維修渠道滿(mǎn)足率P2=0.954 2,維修渠道的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)L2=3.397 9個(gè),配置總費(fèi)用C2=400萬(wàn)元。

綜合考慮兩種LRU的送修情況,選取T=450 h,s11=50個(gè),s12=10個(gè),計(jì)算得出每批次平均送修數(shù)量期望a=98.029 7個(gè),維修渠道的平均維修率μ=0.130 4;當(dāng)c=1時(shí),ρ=1.600 1＞1,不能構(gòu)成穩(wěn)態(tài),當(dāng)c≥2時(shí),ρ＜1。圖5給出了兩種LRU綜合考慮與單獨(dú)考慮兩種情況的維修渠道滿(mǎn)足率隨總費(fèi)用的變化曲線。

圖5 兩種方法的維修渠道滿(mǎn)足率對(duì)比圖

最后計(jì)算得出所需維修渠道數(shù)量c=17組時(shí),維修渠道滿(mǎn)足率P=0.955 0,維修渠道的穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)L=13.271 8個(gè),配置總費(fèi)用C=850萬(wàn)元。比較可得,綜合考慮兩種LRU送修所需的維修渠道配置費(fèi)用比單獨(dú)考慮時(shí)的費(fèi)用降低了15%。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文從k/N系統(tǒng)的維修實(shí)際入手,根據(jù)故障單元批量定期送修的特點(diǎn),建立了多類(lèi)故障單元批量定期送修的維修渠道優(yōu)化模型,通過(guò)對(duì)關(guān)鍵輸入?yún)?shù)和排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率進(jìn)行修正與計(jì)算,并將多類(lèi)顧客源多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單類(lèi)顧客源多服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng),對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行了求解,為部隊(duì)進(jìn)行維修資源的合理配置提供了理論依據(jù)。另外,本文只將維修周期T對(duì)維修渠道配置的影響進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析,其確定方法并沒(méi)有進(jìn)行討論,還需進(jìn)一步展開(kāi)研究。

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Optimization Model of Maintenance Channel for k/N System Based on Periodic Maintenance Policy

WU Gaowei,JIANG Feng,YANG Jiangping,WANG Yongpan

(Air Force Early Warning Academy,Wuhan430019,China)

Aiming at the configuration problem of maintenance channel fork/Nsystem based on periodic maintenance policy,an optimization model is established for maintenance channel considering the batched periodic delivery of multi-class failed units.Firstly,thek/Nsystem operation process and the failed units maintenance flow are given.Secondly,theDξ/M/cqueuing model is proposed according to the feature of the batched periodic delivery of the failed units,the key parameters are calculated and modified,and the steadystate probability of the queuing system is calculated.Then,the optimization model is developed for maintenance channel considering multi-class failed units delivery simultaneously,and the model is solved through converting the multi-class-source-multi-server queuing system into the single-class-source-multi-server queuing system.Finally,simulation and analysis of an example are conducted to verify the proposed model.The results show that the model can solve the maintenance channel allocation problem well and may improve the allocation of maintenance resources.

k/Nsystem;periodic maintenance policy;maintenance channel;queuing system

TN956;N945.12

A

1672-2337(2017)01-0089-06

10.3969/j.issn.1672-2337.2017.01.016

2016-04-29;

2016-08-22

國(guó)家部委資助項(xiàng)目(No.KJ2014023200B11145);博士研究生專(zhuān)項(xiàng)課題(No.2014JY546)

武高衛(wèi)男,1991年生于河北邢臺(tái),碩士研究生,主要研究方向?yàn)轭A(yù)警裝備綜合保障技術(shù)。E-mail:13098886064@163.com