李 帆,李勇明,李傳明,李志超,王 健

1(第三軍醫(yī)大學(xué) 西南醫(yī)院放射科,重慶 400038)

2(重慶大學(xué) 通信工程學(xué)院,重慶 400044)

3(第三軍醫(yī)大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院,重慶400038)

正則化算法在CT圖像重建上的應(yīng)用①

李 帆1,2,李勇明2,3,李傳明1,李志超1,王 健1

1(第三軍醫(yī)大學(xué) 西南醫(yī)院放射科,重慶 400038)

2(重慶大學(xué) 通信工程學(xué)院,重慶 400044)

3(第三軍醫(yī)大學(xué) 生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院,重慶400038)

由于受數(shù)據(jù)采集時間、照射劑量、成像系統(tǒng)掃描的幾何位置等因素的約束,計算機斷層成像(Computed tomography,CT)技術(shù)目前只能在有限角度范圍或在較少的投影角度得到數(shù)據(jù),這些都屬于不完全角度重建問題.因此,圖像重建的算法應(yīng)用變得尤為重要,本文將現(xiàn)有的幾種正則化超分辨率重建算法應(yīng)用到CT圖像重建上并做了一系列的對比分析,分析不同算法下不同的圖像重建效果. 首先對低分辨率CT圖像進行圖像配準(zhǔn),然后再進行樣條插值放大,最后運用相關(guān)正則化算法進行超分辨率圖像重建. 實驗結(jié)果表明正則化算法的應(yīng)用一定程度上提高了圖像分辨率,其中雙邊正則化下的重建效果最好,基于L2范數(shù)全變分正則化效果較差.

計算機斷層成像; 正則化; 超分辨率重建; 圖像配準(zhǔn)

1 引言

圖像重建在許多實際應(yīng)用中起著重要的作用,如異質(zhì)圖像的變換[11,12]和素描照片的合成[10]. 作為圖像重建的基本技術(shù)之一,超分辨率[13]重建的目的是從一個或多個低分辨率圖像幀中獲得高分辨率圖像. 由于成像設(shè)備和成像技術(shù)的局限性,許多情況下生成的圖片都是分辨率不高的圖片. 圖像超分辨率重建技術(shù)克服了這種局限性,恢復(fù)了在獲取低分辨率圖像過程中丟失的高頻信息. 目前,在成像研究界中,超分辨率圖像重建技術(shù)引起了越來越多的關(guān)注,在視頻,遙感,醫(yī)學(xué)成像,視頻取證以及許多其他領(lǐng)域中具有潛在的應(yīng)用前景.

圖像重建是指將圖像退化的過程模型化,并據(jù)此采取相反的過程以得到原始圖像,該問題是一個典型的病態(tài)問題. Tikhonov[1]首先提出了求解病態(tài)問題的正則化方法,為反問題的求解奠定了理論基礎(chǔ),同時也為圖像重建奠定了基礎(chǔ). 2006 年,壓縮感知理論[2-4]的提出極大促進了圖像重建算法的發(fā)展,壓縮感知理論利用信號、信息的稀疏性,使信號采集能力、信息處理能力得到極大地提升. 提出壓縮感知理論的Candes等人[2]首次提出了將帶有約束的總變分(Total-Variation,TV)最小化模型應(yīng)用于圖像重建的想法,并得到了很好的重建結(jié)果. 接著基于L1、L2范數(shù)的總變分正則化應(yīng)用到超分辨率圖像重建中[5],文獻[5]提出了L1、L2混合范數(shù)重建算法并與L1范數(shù)和L2范數(shù)重建算法進行對比,結(jié)果表明基于混合范數(shù)的重建算法的重建效果要好于基于L1范數(shù)算法的重建效果,基于L1范數(shù)算法的重建效果要好于基于L2范數(shù)算法的重建效果. 接著雙邊總變分正則化應(yīng)用到圖像重建中也取到了較好的效果[6]. 自適應(yīng)正則化算法的應(yīng)用也促進了超分辨率圖像的重建[7],結(jié)果表明自適應(yīng)正則化算法的重建效果要好于Tikhonov算法. 近年來,機器學(xué)習(xí)算法的提出及發(fā)展進一步提升了圖像重建算法的效果,例如,將遺傳算法與正則化結(jié)合使用實現(xiàn)單幅圖像的超分辨圖像重建[8],將徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到超分辨 率 圖像 重 建 中 ,效 率 高 ,誤 差 小[9]. 本 文 將Tikhonov正則化算法,L1、L2范數(shù)全變分正則化及雙邊正則化算法、自適應(yīng)正則化算法應(yīng)用到CT圖像重建中,分析研究不同算法下,CT 圖像重建的效果. 通過分析對比不同算法下圖像重建的信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)以及結(jié)構(gòu)相似性 (structural similarity,SSIM)得出何種算法重建的效果更好.

2 超分辨率重建模型

圖像超分辨率重建技術(shù)就是利用一組低質(zhì)量、低分辨率圖像(或運動序列)來產(chǎn)生單幅高質(zhì)量、高分辨率圖像. 圖像超分辨率重建技術(shù)可以提高圖像的識別能力和識別精度. 圖像超分辨率重建技術(shù)可以實現(xiàn)目標(biāo)物的專注分析,從而可以獲取感興趣區(qū)域更高空間分辨率的圖像,而不必直接采用數(shù)據(jù)量巨大的高空間分辨率圖像的配置.

基于重建的超分辨率方法的基礎(chǔ)是均衡及非均衡采樣定理. 它假設(shè)低分辨率的輸入采樣信號(圖像)能很好地預(yù)估出原始的高分辨率信號(圖像). 絕大多數(shù)超分辨率算法都屬于這一類,其中主要包括頻域法和空域法.

頻率域方法是圖像超分辨率重建中一類重要方法,其中最主要的是消混疊重建方法. 消混疊重建方法是通過解混疊而改善圖像的空間分辨率實現(xiàn)超分辨率復(fù)原,最早的研究工作是由Tsai和Huang[13]在1984年進行的. 在原始場景信號帶寬有限的假設(shè)下,利用離散傅立葉變換和連續(xù)傅立葉變換之間的平移、混疊性質(zhì),給出了一個由一系列欠采樣觀察圖像數(shù)據(jù)復(fù)原高分辨率圖像的公式. 多幅觀察圖像經(jīng)混頻而得到的離散傅立葉變換系數(shù)與未知場景的連續(xù)傅立葉變換系數(shù)以方程組的形式聯(lián)系起來,方程組的解就是原始圖像的頻率域系數(shù),再對頻率域系數(shù)進行傅立葉逆變換就可以實現(xiàn)原始圖像的準(zhǔn)確復(fù)原.

在空域類方法中,其線性空域觀測模型涉及全局和局部運動、光學(xué)模糊、幀內(nèi)運動模糊、空間可變點擴散函數(shù)、非理想采樣等內(nèi)容. 空域方法具有很強的包含空域先驗約束的能力,主要包括非均勻空間樣本內(nèi)插、迭代反投影方法、凸集投影法、最大后驗概率以及最優(yōu)和自適應(yīng)濾波方法、確定性重建方法以及正則化方法等. 圖1為圖像的成像模型,而圖像重建過程為其逆過程.

圖1 圖像的成像模型

圖像的成像模型可以用式(1)來表示.

其中,F表示圖像的運動矩陣,H表示設(shè)備的點擴散函數(shù) (point spread function,PSF).X表示原始高分辨率圖像,因此,式 (2)的重建問題是一個反問題,通過Yk來計算出X.

3 算法整體流程圖

圖2為圖像超分辨率重建的整體流程圖,大致分為以下三個步驟: (1) 圖像配準(zhǔn); (2) 樣條插值放大得到初始的高分辨率圖像; (3) 利用相關(guān)的正則化算法得到超分辨率圖像.

圖2 整體流程圖

3.1 樣條插值放大

本文采用圖像配準(zhǔn)算法是高斯金字塔圖像配準(zhǔn)算法[14],使用的樣條插值算法是二維插值中的三次樣條插值,樣條函數(shù)的主要思想是,假設(shè)有一組已知的數(shù)據(jù)點,目標(biāo)是找到一組擬合多項式,在多項式擬合的過程中,對于每組相鄰的樣本數(shù)點,用三次多項式去擬合樣本數(shù)據(jù)點之間的曲線. 為了保證擬合的唯一性,對這個三次多項式在樣點處的一階、二階導(dǎo)數(shù)加以約束. 因此,除了研究區(qū)間的端點之外,所有樣本點之間的數(shù)據(jù)也能保證連續(xù)的一階和二階導(dǎo)數(shù). 相關(guān)定義如下:

設(shè)在區(qū)間[a,b]上取n+1個節(jié)點

若函數(shù)S(x)滿足

(1) 在區(qū)間[a,b]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù);

3.2 正則化原理

超分辨率圖像重建是一個病態(tài)反問題,低分辨率圖像的微小變化對超分辨率圖像造成很大的影響,為了解決這種不穩(wěn)定因素,引入正則化函數(shù),正則化函數(shù)能夠解決這種不適定的問題并且還能對最優(yōu)化方法附加某些約束條件,文中基于L1范數(shù)的全變分(L1-total variation,L1-TV)正則化函數(shù)為式 (4),基于 L2 范數(shù)的全變分 (L2-total variation,L2-TV)正則化函數(shù)為式 (5),基于雙邊全變分 (Bilateral total variation,BTV)的正則化函數(shù)為式(6),基于Tikhonov正則化的正則化函數(shù)為式(7).

基于自適應(yīng)正則化的正則化函數(shù)是在式(7)的基礎(chǔ)上實現(xiàn)正則化參數(shù)的自適應(yīng)迭代選擇,其參數(shù)選擇表達式如式(8).

3.3 評價指標(biāo)

本文引入峰值信噪比 (Peak signal to noise ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似性 (Structural similarity,SSIM)作為實驗結(jié)果的評價指標(biāo),其值越大表示圖像的失真越小,其表達式如式(9),(10).

其中,M,N表示圖像的大小,x'表示重建圖像,x表示原始圖像,l(x',x),c(x',x),s(x',x)如式 (11).

其中,ux′,ux代表圖像的均值,σx′,σx為圖像的方差,σx′x表示圖像x′和x之間的協(xié)方差,C1,C2,C3為常數(shù).

4 結(jié)果分析

4.1 實驗數(shù)據(jù)及平臺

論文的CT圖像數(shù)據(jù)來自上海聯(lián)影公司,CT掃描管電壓為40kV,管電流為200uA. 用于重建的數(shù)據(jù)大小為 992×360,其中 992 表示探測器的深度,360 表示投影的角度數(shù),原始重建圖像大小為256×256. 實驗平臺是 Windows 7,32 位操作系統(tǒng),內(nèi)存為 4GB,數(shù)據(jù)處理平臺是基于Matlab 2014a下運行的. 實驗過程中迭代次數(shù)設(shè)置為20次,采樣因子為2. 不同算法下的圖像重建效果如圖3,不同算法下的計算得到的PSNR與SSIM值如表1.

為了更直觀的表現(xiàn)出不同算法下的圖像重建效果,文中將表1中的結(jié)果進行可視化得到圖4.

由圖3可知,相較于低分辨率的原始CT圖像,正則化算法的應(yīng)用對圖像的分辨率有一定的提高. 表1中,雙邊總變分正則化下計算得到的PSNR和SSIM值分別為 27.291,0.9476,大于其他算法,說明重建效果相較于其他算法要好,基于L2范數(shù)的總變分正則化計算得到的PSNR和SSIM值最低,說明重建效果要差.并且可以發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)正則化得出的PSNR值和SSIM值都大于Tikhonov正則化,自適應(yīng)正則化是在Tikhonov正則化的基礎(chǔ)上實現(xiàn)參數(shù)的自適應(yīng)選擇,說明一定程度上提高了重建成像效果.

圖3 不同算法下的CT圖像重建效果

表1 不同算法下的 PSNR 和 SSIM

5 結(jié)論

本文基于低分辨率的CT圖像,提出了將不同正則化算法應(yīng)用到CT圖像重建上并計算得到不同算法下的PSNR和SSIM值,分析了不同算法下的圖像重建效果,可以看出雙邊總變分正則化算法的圖像重建效果最好,基于L2范數(shù)總變分正則化算法的圖像重建效果要差,說明雙邊正則化可以有效濾除噪聲并保持圖像邊緣,自適應(yīng)正則化是在Tikhonov正則化基礎(chǔ)上改進的,一定程度上也提高了重建成像效果.

圖4 不同算法下的 PSNR 值和 SSIM 值

1Tikhonov AN,Arsenin VY. Solutions of Ill-Posed Problems.Hoboken: Wiley,1977.

2Candes EJ,Romberg J,Tao T. Robust uncertainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information. IEEE Trans. on Information Theory,2006,52(2): 489–509. [doi: 10.1109/TIT.2005.862083]

3Donoho DL. Compressed sensing. IEEE Trans. on Information Theory,2006,52(4): 1289–1306. [doi: 10.1109/TIT.2006.871582]

4Candes EJ,Tao T. Decoding by linear programming. IEEE Trans. on Information Theory,2005,51(12): 4203–4215.[doi: 10.1109/TIT.2005.858979]

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13Tsai RY,Huang TS. Multiframe image restoration and registration. Advances in Computer Vision and Image Processing. Greenwich,Conn,USA. 1984. 317–339.

14安維勝,余讓明,伍玉鈴. 基于 FAST 和 SURF 的圖像配準(zhǔn)算法. 計算機工程,2015,41(10): 232–235,239.

Application of Regularization Algorithms in CT Image Reconstruction

LI Fan1,2,LI Yong-Ming2,3,LI Chuan-Ming1,LI Zhi-Chao1,WANG Jian1

1(Department of Radiology,Southwest Hospital,Third Military Medical University,Chongqing 400038,China)
2(College of Communication Engineering,Chongqing University,Chongqing 400044,China)
3(College of Biomedical Engineering,Third Military Medical University,Chongqing 400038,China)

Due to the constraints of data acquisition time,irradiation dose and geometric position of imaging system scanning,the technology of computer tomography(CT) can only get the data in the limited angle range or the less projection angle at present,which are incomplete angle reconstruction problems. Therefore,the image reconstruction algorithm becomes particularly important. This paper will apply some existing regularization super-resolution reconstruction algorithms to CT images and give a series of comparative analysis,with the effects of reconstruction analyzed under different algorithms. Firstly,the low resolution CT images are registered,and then the spline interpolation is used to enlarge the image. Finally,the image is reconstructed by using the regularization algorithm. Experimental results show that the application of the regularization algorithm can improve the image resolution to a certain extent,and the reconstruction effect is the best with the bilateral regularization,and the L2 norm based total variation regularization is less effective.

computed tomography; regularization; super resolution reconstruction; image registration

李帆,李勇明,李傳明,李志超,王健.正則化算法在 CT 圖像重建上的應(yīng)用.計算機系統(tǒng)應(yīng)用,2017,26(12):143–147. http://www.c-sa.org.cn/1003-3254/5946.html

重慶市應(yīng)用開發(fā)計劃項目(cstc2013yykfA10007)

2016-12-13; 修改時間: 2017-01-12; 采用時間: 2017-01-18