張和芬，姜 洋，余 婧，于龍江，王 躍

(北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部,北京 100094)

基于時(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀/星敏感器組合定姿方法研究

張和芬，姜 洋，余 婧，于龍江，王 躍

(北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部,北京 100094)

為提高衛(wèi)星定姿精度，對(duì)一種基于時(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀/星敏器組合定姿方法進(jìn)行了研究。采用擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)方法進(jìn)行組合定姿。針對(duì)傳統(tǒng)EKF的估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)值存在波動(dòng)的問(wèn)題，基于陀螺儀誤差模型分析，對(duì)傳統(tǒng)陀螺儀誤差模型進(jìn)行改進(jìn)，將觀測(cè)性較好的四元數(shù)誤差引入陀螺儀誤差模型。為提高穩(wěn)態(tài)精度并盡量縮短收斂時(shí)間，用時(shí)變比例系數(shù)對(duì)四元數(shù)誤差進(jìn)行加權(quán)，在濾波初期選擇相對(duì)較小的比例系數(shù)以弱化比例系數(shù)對(duì)濾波的影響，使濾波器較快收斂，之后逐漸加大比例系數(shù)以提高穩(wěn)態(tài)精度。給出了決定時(shí)變比例系數(shù)相關(guān)參數(shù)的確定方法，以及改進(jìn)濾波器的設(shè)計(jì)及其控制原理。仿真結(jié)果表明：與傳統(tǒng)陀螺儀和有固定比例系數(shù)的兩種誤差模型相比，所建立的陀螺儀誤差模型能以相對(duì)較少的收斂時(shí)間，減小估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)值波動(dòng)，有效提高姿態(tài)角估計(jì)精度。

組合定姿； 陀螺儀誤差模型； 時(shí)變比例系數(shù)； 穩(wěn)態(tài)誤差； 姿態(tài)估計(jì)； 姿態(tài)測(cè)量； 擴(kuò)展卡爾曼濾波； 時(shí)變測(cè)量

0 引言

衛(wèi)星技術(shù)的飛速發(fā)展使其在不同領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用。衛(wèi)星姿態(tài)控制是衛(wèi)星控制中的關(guān)鍵技術(shù)，而衛(wèi)星控制精度很大程度取決于衛(wèi)星姿態(tài)確定的精度，衛(wèi)星姿態(tài)確定技術(shù)一直是關(guān)注的熱點(diǎn)[1]。星敏感器雖然有極高的姿態(tài)測(cè)量精度，但其測(cè)量信息輸出頻率較低，無(wú)法滿(mǎn)足現(xiàn)代衛(wèi)星定姿對(duì)其輸出連續(xù)性及實(shí)時(shí)性的客觀需求[2-3]。基于積分原理的陀螺儀定姿系統(tǒng)，雖然可輸出較高頻率的姿態(tài)測(cè)量信息，但其測(cè)量精度隨時(shí)間而發(fā)散，無(wú)法滿(mǎn)足定姿的精度需求。組合定姿方法則可融合星敏感器和陀螺儀系統(tǒng)的測(cè)量信息，能同時(shí)獲得精度高、實(shí)時(shí)性佳的姿態(tài)測(cè)量信息[4-6]。

EKF是一種線(xiàn)性最優(yōu)估計(jì)技術(shù)，常用于組合定姿，通過(guò)合理地建立數(shù)學(xué)觀測(cè)模型，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)誤差的準(zhǔn)確估計(jì)及補(bǔ)償，可有效提高組合定姿精度[7-10]。三軸陀螺儀輔助星敏感器的衛(wèi)星定姿系統(tǒng)需對(duì)陀螺儀的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行有效建模，以提高姿態(tài)估計(jì)精度。傳統(tǒng)的陀螺儀誤差建模方法將陀螺誤差視作由白噪聲驅(qū)動(dòng)的過(guò)程[11]。這種建模方法雖然誤差收斂時(shí)間短，但使估計(jì)陀螺儀漂移的穩(wěn)態(tài)誤差出現(xiàn)一定的波動(dòng)，從而導(dǎo)致姿態(tài)估計(jì)誤差曲線(xiàn)不平滑，降低了EKF估計(jì)誤差的穩(wěn)態(tài)精度[12]。在原陀螺儀誤差建模方法的基礎(chǔ)上，將四元數(shù)誤差引入陀螺儀誤差模型，以一定的比重反饋到陀螺儀誤差模型中，利用四元數(shù)誤差的良好的可觀測(cè)性，可提高估計(jì)誤差的穩(wěn)態(tài)精度[13]。但基于此改進(jìn)模型的方法，引入四元數(shù)誤差的比例系數(shù)固定，其估計(jì)誤差的穩(wěn)態(tài)精度雖然較傳統(tǒng)誤差模型有所提高，但會(huì)導(dǎo)致收斂速度變慢。因此，為在提高穩(wěn)態(tài)精度的同時(shí)盡量縮短收斂時(shí)間，可將兩種誤差模型有效結(jié)合。本文對(duì)一種基于時(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀/星敏感器組合定姿方法進(jìn)行了研究。引入時(shí)變比例系數(shù)，將兩種誤差模型整合為一體，在濾波初期選擇相對(duì)較小的比例系數(shù)，弱化比例系數(shù)對(duì)濾波的影響，使濾波器較快收斂，之后逐漸加大比例系數(shù)，以獲得穩(wěn)態(tài)精度提高的效果，與傳統(tǒng)白噪聲驅(qū)動(dòng)的陀螺儀誤差建模方法相比，該法的收斂時(shí)間雖較長(zhǎng)，但穩(wěn)態(tài)精度有明顯提高；與固定比例系數(shù)將四元數(shù)誤差引入陀螺儀誤差的模型相比，該法在保證穩(wěn)態(tài)精度一致的同時(shí)，可有效縮短誤差收斂時(shí)間[14-15]。最后在星敏感器有/無(wú)異常的不同條件下通過(guò)仿真對(duì)本文組合定姿方法的效果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 組合定姿方法

1.1 姿態(tài)確定方程

(1)

(2)

誤差四元數(shù)方程可進(jìn)一步改寫(xiě)為

(3)

(4)

誤差四元數(shù)方程可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(5)

因誤差四元數(shù)為小量，則

(6)

綜上，可得由誤差四元數(shù)和陀螺漂移估計(jì)誤差Δb構(gòu)成的系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(7)

1.2 傳統(tǒng)誤差狀態(tài)方程

(8)

1.3 改進(jìn)陀螺誤差模型

(9)

式中：k為時(shí)變比例系數(shù)，且

(10)

此處：a>0。k函數(shù)曲線(xiàn)如圖1所示。

如圖1所示，該函數(shù)由零開(kāi)始，隨著時(shí)間的增加而逐漸趨于穩(wěn)定值2c。本文用此函數(shù)作為四元數(shù)誤差引入的比例系數(shù)，在時(shí)間點(diǎn)t1前比例系數(shù)較小，可弱化引入四元數(shù)誤差的影響，即能縮短由引入四元數(shù)誤差而增加的收斂時(shí)間；在時(shí)間點(diǎn)t1后比例系數(shù)逐漸增大并趨于穩(wěn)定值2c，又可逐步強(qiáng)化引入四元數(shù)誤差的作用，提高誤差收斂后的穩(wěn)態(tài)值精度。同時(shí)，適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)t1，c，a，可改變系數(shù)穩(wěn)態(tài)值到達(dá)時(shí)間、系數(shù)穩(wěn)態(tài)值大小，以及系數(shù)變化的快慢，以適應(yīng)不同情況的需求。

該模型是利用四元數(shù)誤差較好的可觀性，聯(lián)系四元數(shù)誤差和陀螺儀，通過(guò)四元數(shù)誤差映射出陀螺儀的理想變化趨勢(shì)，并以一定比例反饋至陀螺儀誤差模型，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)調(diào)整，不斷提高陀螺儀誤差的估計(jì)精度，降低其穩(wěn)態(tài)誤差[13]。

通過(guò)引入隨時(shí)間變化的比例系數(shù)，使傳統(tǒng)誤差模型與文獻(xiàn)[13]的誤差模型有效結(jié)合，在濾波初期，弱化引入四元數(shù)誤差的影響，以獲得較快的收斂速度；在收斂基本完成后，再逐步增強(qiáng)引入四元數(shù)的作用，以提高估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)值的精度。

k需實(shí)現(xiàn)陀螺儀模型由傳統(tǒng)模型向改進(jìn)模型的過(guò)渡作用，為防止模型突變對(duì)估計(jì)精度的影響，k應(yīng)從0平穩(wěn)過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)值。顯然，本文設(shè)計(jì)的如圖1所示的比例系數(shù)滿(mǎn)足需求。k的相關(guān)參數(shù)是經(jīng)驗(yàn)值，選取原則如下。

a)c值決定了k的穩(wěn)態(tài)值，其值越大，四元數(shù)對(duì)陀螺模型影響越大；反之，四元數(shù)對(duì)陀螺模型影響越小。一般取0.125≤c≤0.25為宜。

b)t1，a值共同決定了k由0過(guò)渡到穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。采用傳統(tǒng)陀螺模型時(shí)各項(xiàng)估計(jì)誤差一般可在50 s內(nèi)完成收斂，因此k在50 s前應(yīng)接近于0。采用固定比例系數(shù)的改進(jìn)陀螺模型時(shí)，各項(xiàng)估計(jì)誤差一般需200 s才能完成有效收斂，故k應(yīng)在200 s前達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。由此，可取t1為125 s附近。a值決定了k由0到穩(wěn)態(tài)值過(guò)渡的平滑程度，其值越大k就越陡峭，其值越小k就越平緩，應(yīng)滿(mǎn)足

即a≥0.023 2。另外，為避免時(shí)變比例系數(shù)過(guò)于陡峭，應(yīng)滿(mǎn)足0.023 2≤a≤0.3。

1.4 改進(jìn)姿態(tài)濾波器設(shè)計(jì)

Δq=[Δq0Δq1Δq2Δq3]T

Δb=[Δb1Δb2Δb3]T

根據(jù)誤差四元數(shù)與陀螺漂移估計(jì)誤差的線(xiàn)性化方程，可得姿態(tài)濾波狀態(tài)方程為

(11)

式中：

取觀測(cè)變量為星敏感器的測(cè)量殘差，有

Y= [Δq1Δq2Δq3]T=

[q1mq2mq3m]T-[q1q2q3]T

式中：[q1 mq2 mq3 m]T為星敏感器測(cè)量姿態(tài)角所對(duì)應(yīng)的四元數(shù)；[q1q2q3]T為預(yù)測(cè)模型得到的四元數(shù)估值[16-17]。

基于小角度假設(shè)可得系統(tǒng)觀測(cè)方程為

Y(t)=H(t)X(t)+V(t)

(12)

式中：H(t)=[03×1I3×303×3]；v(t)=vs。

姿態(tài)控制原理如圖2所示。

1.5 卡爾曼濾波過(guò)程

先對(duì)式(11)作離散化處理，有

Xk+1=Φk+1,kXk+Γk+1,kWk

(13)

式中：Φk+1,k為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Γk+1,k為系統(tǒng)噪聲轉(zhuǎn)移矩陣；Wk為噪聲驅(qū)動(dòng)矩陣；E{Wk}=0，cov(Wk,Wj)=Qkδkj。此處：Qk為狀態(tài)噪聲方差陣。

基于EKF算法對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)估計(jì)及校正的步驟如下。

a)一步預(yù)測(cè)

時(shí)刻tk時(shí)，星敏感器未輸出數(shù)據(jù)，用運(yùn)動(dòng)學(xué)方程進(jìn)行姿態(tài)信息預(yù)測(cè)及誤差協(xié)方差陣P的預(yù)測(cè)計(jì)算

(14)

Pk+1,k=Φk+1,kPk(Φk+1,k)T+

Γk+1,kQk(Γk+1,k)T

(15)

b)更新計(jì)算

時(shí)刻tk+1時(shí)，星敏感器輸出數(shù)據(jù)，用時(shí)刻tk的預(yù)測(cè)值計(jì)算增益、誤差協(xié)方差陣和狀態(tài)修正值

(16)

c)校正計(jì)算

用Xk+1=[Δqk+1Δbk+1]T對(duì)姿態(tài)四元數(shù)、陀螺漂移和角速度進(jìn)行修正

(17)

2 系統(tǒng)仿真

設(shè)陀螺常值漂移10 (°)/h，測(cè)量噪聲均方差1 (°)/h，輸出頻率50 Hz；星敏感器測(cè)量噪聲均方差0.1″，輸出頻率5 Hz；軌道角速度0.015 (°)/s；系統(tǒng)濾波頻率5 Hz。令k的參數(shù)t1=125 s，a=0.05，c=0.25。為便于表述，記時(shí)變比例系數(shù)陀螺儀誤差模型為模型1；固定變比例系數(shù)陀螺儀誤差模型為模型2；傳統(tǒng)陀螺儀誤差模型為模型3。各模型穩(wěn)態(tài)誤差均方誤差見(jiàn)表1。

基于上述條件，仿真所得不同陀螺儀誤差模型條件下的估計(jì)誤差分別如圖3～5所示。

比較圖3、4可知：模型2的估計(jì)誤差收斂在200 s內(nèi)完成，模型1的估計(jì)誤差收斂在150 s內(nèi)完成。雖然，模型1的誤差收斂速度依然慢于模型3，但其誤差收斂速度較模型2有顯著提升。

表1 各模型穩(wěn)態(tài)誤差均方誤差(RMS)

由表1可知：模型1、2的估計(jì)誤差均方誤差相當(dāng)，較模型3的均方誤差小近50%，估計(jì)誤差均方誤差可有效反映估計(jì)誤差的穩(wěn)態(tài)值波動(dòng)，均方誤差值越小，表明穩(wěn)態(tài)值波動(dòng)越小、穩(wěn)態(tài)精度越高。由此可知：與模型3相比，模型1、2可有效減小估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)值波動(dòng)，從而提高估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)精度。

綜合上述分析，相對(duì)固定比例系數(shù)的陀螺儀誤差模型來(lái)說(shuō)，含時(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀誤差模型，在保證估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)精度幾乎不變的前提下，可顯著提高估計(jì)誤差收斂速度。含時(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀誤差模型有效綜合了其他兩種誤差模型，能一定程度兼顧估計(jì)誤差的穩(wěn)態(tài)精度和收斂速度，可更好地滿(mǎn)足衛(wèi)星姿態(tài)確定的需求。

為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的有效性，設(shè)星敏感器在350～400 s期間出現(xiàn)異常，其他仿真條件不變，仿真所得不同陀螺儀誤差模型條件下的估計(jì)誤差分別如圖6～8所示。

由圖6～8可知：當(dāng)星敏感器出現(xiàn)異常時(shí)，三個(gè)模型的誤差曲線(xiàn)均出現(xiàn)了尖峰，這是由此時(shí)星敏感器提供的量測(cè)數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確造成的。當(dāng)星敏感器恢復(fù)正常時(shí)，各誤差又重新收斂，這說(shuō)明本文算法雖然在星敏感器異常時(shí)精度會(huì)降低，但在星敏感器恢復(fù)正常時(shí)誤差可及時(shí)變小。

需注意的是，本文方法是基于EKF設(shè)計(jì)的，只適于線(xiàn)性系統(tǒng)模型，對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)并不適用。EKF要求獲得較精確的觀測(cè)量，才能對(duì)相關(guān)狀態(tài)進(jìn)行有效估計(jì)，因此采用EKF的組合姿態(tài)確定方法在星敏感器異常時(shí)，其姿態(tài)確定精度必然下降，嚴(yán)重時(shí)甚至無(wú)法確定姿態(tài)。當(dāng)星敏感器出現(xiàn)異常時(shí)，一般可采用故障檢測(cè)/冗余配置等方法進(jìn)行相應(yīng)處理，進(jìn)一步提高定姿精度。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基于時(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀/星敏感器組合定姿方法進(jìn)行了研究?；跁r(shí)變比例系數(shù)的陀螺儀星敏感器組合定姿方法，在傳統(tǒng)陀螺儀誤差模型的基礎(chǔ)上，引入四元數(shù)誤差并用時(shí)變比例系數(shù)對(duì)其進(jìn)行加權(quán)。該方法有效整合了傳統(tǒng)陀螺儀誤差模型及有固定比例系數(shù)的陀螺儀誤差模型，整合后的誤差模型可在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)，得到較高的估計(jì)誤差穩(wěn)態(tài)精度。在星敏感器數(shù)據(jù)無(wú)異常時(shí)，該法可為衛(wèi)星姿態(tài)控制器提供高精度的姿態(tài)控制輸入量，從而提高衛(wèi)星姿態(tài)控制精度。后續(xù)研究將集中于異常星敏感器數(shù)據(jù)的處理，以提高該組合定姿算法的魯棒性，進(jìn)一步拓寬該算法的適用范圍。

[1] 段方, 劉建業(yè), 李榮冰. 一種改進(jìn)的星敏感器/陀螺衛(wèi)星定姿算法[J]. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù), 2006, 28(6): 897-899.

[2] 祁子洋, 伊國(guó)興, 魏振楠, 等. 寡星條件下的半球諧振陀螺與星敏感期組合姿態(tài)測(cè)量算法[J]. 導(dǎo)航定位與授時(shí), 2017, 4(2): 21-25.

[3] LIEBE C C. Accuracy performance of Star Trackers-A Tutorial[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2002, 38(2): 587-599.

[4] 李晨. 一種陀螺與星敏感器組合定姿算法[J]. 火力與指揮控制, 2011, 36(10): 24-27.

[5] 張利賓, 崔乃剛, 浦甲倫. 火箭上面級(jí)星敏感器/陀螺組合定姿實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)[J]. 中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)報(bào), 2010, 18(5): 586-590.

[6] 楊波, 王躍鋼, 秦永元, 等. 捷聯(lián)慣導(dǎo)/星敏感器組合系統(tǒng)的在軌自標(biāo)定方法研究[J]. 航天控制, 2010, 28(1): 12-16.

[7] RIGGS A J E, KASDIN N J, GROFF T D. Recursive starlight and bias estimation for high-contrast imaging with an extended Kalman filter[J]. Journal of Astronomical Telescopes Instruments and System, 2016, 2(1): 011017.

[8] 范城城, 王密, 楊博, 等. 一種星敏感期/陀螺地面高精度組合定姿與精度驗(yàn)證方法[J]. 光學(xué)學(xué)報(bào)， 2016, 36(11): 1128002.

[9] 張濤, 鄭建華, 高東. 一種利用磁強(qiáng)記和星敏感器的自主導(dǎo)航方法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2017, 38(2): 152-158.

[10] CRASSIDIS J, MARKLEY F, CHENG Y. Survey of nonlinear attitude estimation methods[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, 30(1): 12-28.

[11] 矯媛媛, 周海銀, 潘曉剛. 基于星敏感器/陀螺組合的一種半確定性衛(wèi)星定姿方法[J]. 上海航天, 2008, 25(5): 16-19.

[12] 林玉榮, 鄧正隆. 基于模型誤差確定衛(wèi)星姿態(tài)的預(yù)測(cè)濾波算法[J]. 宇航學(xué)報(bào), 2001, 22(1): 79-82.

[13] 錢(qián)山, 李鵬奎, 張士峰, 等. 基于改進(jìn)陀螺漂移模型的衛(wèi)星姿態(tài)確定算法[J].宇航學(xué)報(bào), 2009, 30(2): 586-589.

[14] 錢(qián)勇. 高精度三軸穩(wěn)定衛(wèi)星姿態(tài)確定和控制系統(tǒng)研究[D]. 西安: 西北工業(yè)大學(xué), 2002.

[15] 吳志華. 基于星敏感器/陀螺組合定姿系統(tǒng)研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2011.

[16] CREAMER G. Spacecraft attitude determination using gyros and quaternion measurements[J]. The Journal of the Astronautical Sciences, 1996, 44(3): 357-371.

[17] ZHAO X, LUH P B, WANG J. A new generation of optimization algorithm within the Lagrange relaxation approach for job shop scheduling[D]. Stors: University of Connecticut, 1999.

ResearchforGyros/Star-SensorsIntegrationAttitudeDeterminationBasedonTime-VaryingProportionCoefficient

ZHANG He-fen， JIANG Yang， YU Jing， YU Long-jiang， WANG Yue

(Beijing Institute of Spacecraft System Engineering, Beijing 100094, China)

To improve the determining accuracy of the satellite’s attitude, a method of gyros/star-sensors integrated attitude determination based on time-varying proportion coefficient was studied in this paper, in which integrated attitude was determined by extended Kalman filtering. Aiming at solving the problem that there were fluctuations in steady-state value of estimation error using Kalman filtering method for determination, the traditional gyro error model was improved based on the analysis of the gyro error model. The good-observation quaternion error was introduced into the gyro error model. To improve the stable accuracy and reduce the convergence time, the quaternion error was weighed by time-varying proportion coefficient. The relative small proportion coefficient was selected at the early filtering to weaken the effect of the proportion coefficient on the filtering, which could make the filter convergence quickly. Then the proportion coefficient would become larger to improve the stable accuracy. The method to determine the parameters in the time-varying proportion coefficient was presented. And so were the design of the improved filter and its control principle. The simulation results show that this method can smooth steady-state value of estimation error to improve the attitude angle estimation accuracy with shorter convergence time compared to the two models with traditional gyros and fixed proportion coefficient respectively.

integrated attitude determination; gyro error model; time-varying proportion coefficient; steady-state value; attitude estimation; attitude measurement; extended Kalman filter; time-varying measurement

1006-1630(2017)06-0042-08

V448.22

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.06.007

2017-04-10；

2017-08-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11372080)；國(guó)家863計(jì)劃項(xiàng)目資助(2013AA122904)；黑龍江省自然科學(xué)基金資助(面上項(xiàng)目)(F2015032)

張和芬(1988—)，女，碩士，工程師，主要研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程。