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        一類(n+2)維n-李代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究

        2018-01-07 01:20:44吳興慧顏蓉
        關(guān)鍵詞:乘法表方括號(hào)子結(jié)構(gòu)

        吳興慧 顏蓉

        【摘要】本文研究了導(dǎo)代數(shù)維數(shù)是1時(shí),(n+2)維n-李代數(shù)的乘法表,并且計(jì)算了導(dǎo)代數(shù)維數(shù)是1時(shí),(n+2)維n-李代數(shù)的乘法表與內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu).

        【關(guān)鍵詞】(n+2)維n-李代數(shù);乘法表;內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu)

        n-李代數(shù)是李代數(shù)的推廣.研究n-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)形式對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的發(fā)展有著重要作用.在數(shù)學(xué)、物理學(xué)中都有著重要應(yīng)用,特別是度量3-李代數(shù)的結(jié)構(gòu)特征在弦理論及BLG理論中有著極其重要的作用.因此,對(duì)n-李代數(shù)結(jié)構(gòu)研究有著重要意義.本文重點(diǎn)研究一類特殊的(n+2)維 n-李代數(shù)的結(jié)構(gòu).

        定義1[1] 設(shè)n-李代數(shù)A是域F(ch(F)≠2)上的向量空間,具有n-元線性運(yùn)算,也稱n元方括號(hào)運(yùn)算[x1,x2,…,xn],對(duì)于任意的x1,x2,…,xn,y2,…,yn∈A,[x1,x2,…,xn]滿足

        [x1,x2,…,xn]=sgn(σ)[xσ1,xσ2,…,xσn],

        [[x1,x2,…,xn],y2,y3,…,yn]=∑ni=1[x1,…[xi,y2,y3,…,yn],xi+1,…,xn],

        其中σ∈Sn,當(dāng)σ是偶排列,sgn(σ)=1;當(dāng)σ是奇排列,sgn(σ)=-1.

        定義2[1] 設(shè)A是任意n-李代數(shù),對(duì)任意的x1,x2,…,xn∈A,線性變換

        R(x1,x2,…,xn-1):A→A,

        (xn)R(x1,x2,…,xn-1)=[xn,x1,x2,…,xn-1],

        稱為由元素x1,x2,…,xn-1∈A決定的右乘算子.

        定義3[2] Z(A)={x|[x,A,…,A]=0}稱為A的中心.

        引理1[3] A是特征為0的代數(shù)閉域F上的(n+1)維n-李代數(shù)(n≥3),e1,e2,…,en+1是A的基,dimA1=1,在同構(gòu)意義下,A的乘法表有兩種情況為:

        (a1)[e2,e3,e4,…,en+1]=e1.

        或(a2)[e1,e2,e3,…,en]=e1.

        引理2[4] A是特征為0的代數(shù)閉域F上的(n+2)維n-李代數(shù)(n≥3),dimA1=1,則存在余維數(shù)為1的包含A1的非Abel子代數(shù).

        下面的陳述中,假設(shè)F是特征為0的代數(shù)閉域,并且任何沒有在乘法表中列出的n-李代數(shù)的方括號(hào)運(yùn)算為0.

        定理1 A是域F上的n+2維n-李代數(shù),e1,e2,e3,…,en+2是A的基,dimA1=1且A1=Fe1,則在同構(gòu)意義下,A的乘法表有兩種情況如下:

        (a1)[e2,e3,e4,…,en+1]=e1,

        (a2)[e1,e2,e3,…,en]=e1.

        證明 由引理2知,存在n+1維n-李代數(shù)包含A1,則A的乘法表有以下兩種可能

        (1)[e2,e3,e4,…,en+1]=e1,

        [e1,…,êi,…,êj,…,en+2]=aije1,aij∈F,1≤i<j≤n+1,

        (2)[e1,e2,e3,…,en]=e1,

        [e1,…,êi,…,êj,…,en+2]=aije1,aij∈F,1≤i<j≤n+1.

        先討論第(1)種情況,當(dāng)i>1時(shí),把(1)中的[e2,e3,e4,…,en+1]=e1代入(1)中第二個(gè)等式中,得

        aije1=[e1,…,êi,…,êj,…,en+2]=[[e2,e3,e4,…,en+1],…,êi,…,êj,…,en+2]=0,

        即aij=0(1<i<j≤n+1).

        所以(1)等價(jià)于

        (1)′[e2,e3,e4,…,en+1]=e1,

        [ê1,e2,…,êj,…,en+2]=a1je1,a1j∈F,2≤j≤n+1.

        注意到,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),用en+2-a1,n+1en+1+a1,nen-…+a13e3-a12e2替代en+2,得

        [ê1,e2,…,êj,…,en+2-a1,n+1en+1+a1,nen-…+a13e3-a12e2]=0.

        當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),用en+2-a1,n+1en+1+…-a13e3+a12e2替代en+2,得

        [ê1,e2,…,êj,…,en+2-a1,n+1en+1+…-a13e3+a12e2]=0.

        所以(1)′等價(jià)于

        (a1)[e2,e3,e4,…,en+1]=e1.

        同理討論(2),得(2)等價(jià)于

        (a2)[e1,e2,e3,…,en]=e1.

        因?yàn)椋╝1)中A1Z(A),(a2)中A1Z(A),即(a1)與(a2)不同構(gòu).所以A的乘法表有兩種情況如下:

        (a1)[e2,e3,e4,…,en+1]=e1,

        (a2)[e1,e2,e3,…,en]=e1.

        證畢.

        下面討論A的內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu).其中Eij表示(i,j)位置值為1,其余位置值為0的矩陣.對(duì)任意的導(dǎo)子R∈ad(A),R對(duì)應(yīng)的矩陣形式為R=∑ni,j=1aijEij.

        定理2 設(shè)A是域F上的n+2維n-李代數(shù),e1,e2,e3,…,en+2是A的基,dimA1=1且A1=Fe1,有下列結(jié)論成立:

        (1)A的乘法表是(a1)時(shí),A的內(nèi)導(dǎo)子結(jié)構(gòu)為

        ad(A)=FE21+FE31+FE41+…+FEn+1,1,

        且ad(A)是維數(shù)為n的可交換李代數(shù).

        (2)A的乘法表是(a2)時(shí),則

        ad(A)=MFE11,

        其中M=FE21+FE31+FE41+…+FEn,1是可交換的理想,并且dimad(A)=n.

        證明 (1)A的乘法表為(a1)時(shí),當(dāng)2≤j

        (ei)R(e1,e2,…,êj,…,êk,…,êl,…,en+2)=[ei,e1,e2,…,êj,…,êk,…,êl,…,en+2]=0.

        又因?yàn)椋╡i)R(e2,…,êj,…,en+1)=[ei,e2,…,êj,…,en+1]=(-1)je1,

        所以R(e2,…,êj,…,en+1)=(-1)jEj1,2≤j≤n+1.

        即R(e2,…,êj,…,en+1),2≤j≤n+1是ad(A)的一組基.

        所以ad(A)=FE21+FE31+FE41+…+FEn+1,1且dimad(A)=n.

        又因?yàn)閇Ei1,Ej1]=0(i,j=2,3,…,n+1),

        所以ad(A)是維數(shù)為n的可交換李代數(shù).

        (2)A乘法表為(a2),當(dāng)1≤j<k<l≤n+1或1≤j<k<l≤n+2(j,k,l≠n+1)時(shí),

        (ei)R(e1,e2,…,êj,…,êk,…,êl,…,en+1,en+2)=[ei,e1,e2,…,êj,…,êk,…,êl,…,en+1,en+2]=0.

        又因?yàn)椋╡i)R(e2,…,êj,…,en)=[ei,e1,e2…,êj,…,en]=(-1)j+1e1(i=j),

        令M=FE21+FE31+FE41+…+FEn,1,

        因?yàn)閇Eji,E11]=Ej1,[Ej1,Ei1]=0,

        M是可交換的理想,并且dimad(A)=n,ad(A)=MFE11.

        證畢.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]FILIPPOV V T.n-Lie Algebras[M].Sib Mat Zh,1985(6):126-140.

        [2]Sh.M.Kasymov.On a theory of n-Lie algebras[J].Algebra Logika,1987(3),277-297.

        [3]R Bai,G Song.The classification of six-dimensional 4-Lie algebras[J].A:Math.Theor,2009(35):207.

        [4]Bai Ruipu,Liu Ning ning.The 6-dimensional 3-Lie algebras[J].Journalof Tangshan Teachers college,2009(3):195-205.

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