雷亞慶

波利亞說(shuō)：“為了得到一個(gè)方程，我們必須把同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來(lái).”也就是將一個(gè)量“算兩次”，從而建立相等關(guān)系，這就是算兩次原理，又稱福比尼原理.利用向量數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式就是算兩次思想的經(jīng)典應(yīng)用.它的本質(zhì)實(shí)際就是從研究對(duì)象的不同表征去探索和發(fā)現(xiàn)，算兩次思想在數(shù)學(xué)解題特別是高考解題中能發(fā)揮非常重要的作用，下舉幾例加以說(shuō)明.

例1 （2018江蘇高考第13題）.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為??? .

分析：這是雙變量最值問題，解決問題的關(guān)鍵是從已知條件中探尋a，b的等量關(guān)系，這時(shí)候面積算兩次就要大顯身手了.

“算兩次”作為一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，蘊(yùn)涵著換一個(gè)角度看問題的轉(zhuǎn)換思想.其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)量從兩個(gè)不同的角度計(jì)算兩次，利用“殊途同歸”獲得的等量關(guān)系達(dá)到“出奇制勝”的目的.單墫教授編著的《算兩次》中，將算兩次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即從兩個(gè)方面考慮一個(gè)適當(dāng)量，“一方面……，另一方面……，綜合起來(lái)可得……”，如果一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象具有“雙重身份”或“兩面性”，也就是說(shuō)既滿足條件A又滿足條件B，就可以考慮使用這種方法.