潘開欣 劉怡然 潘志民

(南京外國語學(xué)校，江蘇 南京 210008)

單透鏡望遠(yuǎn)鏡及其成像參數(shù)的研究

潘開欣 劉怡然 潘志民

(南京外國語學(xué)校，江蘇 南京 210008)

本文為作者在研究第30屆國際青年物理學(xué)家競賽(IYPT2017)第3題的基礎(chǔ)上形成，按題目要求設(shè)計用小孔光闌替代目鏡，自制出簡易單透鏡望遠(yuǎn)鏡。根據(jù)幾何光學(xué)和波動光學(xué)相關(guān)理論，作者比較全面地探討了孔徑和透鏡焦距等裝置參數(shù)對單透鏡望遠(yuǎn)鏡成像放大率、清晰度和亮度等成像參數(shù)的影響。在此基礎(chǔ)上作者通過實驗對這些參數(shù)進(jìn)行定量研究，借助于Matlab、ToupView等計算機(jī)軟件對實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了詳細(xì)的分析。本文發(fā)現(xiàn)理論和實驗具有良好的自洽性，從而得到了一般性結(jié)論。文末對研究中可能導(dǎo)致誤差的因素進(jìn)行了分析，并對不足之處進(jìn)行了展望。

小孔成像；單透鏡望遠(yuǎn)鏡；放大率；分辨率；對比度；亮度

自1608年荷蘭人漢斯·利伯希制作出第一架望遠(yuǎn)鏡以來，望遠(yuǎn)鏡一直被應(yīng)用于人們的生活觀察和學(xué)術(shù)研究。對于一般的望遠(yuǎn)鏡，多是由雙透鏡甚至更多透鏡組成。本文提出一種用小孔成像代替目鏡成像的方案，建立了簡單的光學(xué)模型，自制出由一個透鏡組成的的單透鏡望遠(yuǎn)鏡，并對其性能加以研究。

1 單透鏡望遠(yuǎn)鏡的理論研究

1.1 普通望遠(yuǎn)鏡與單透鏡望遠(yuǎn)鏡

圖 1 (a) 用開普勒望遠(yuǎn)鏡觀察非無窮遠(yuǎn)物體； (b) 單透鏡望遠(yuǎn)鏡基本光路

在日常生活中，開普勒望遠(yuǎn)鏡是最經(jīng)常使用也是最廣為人知的。如圖1(a)所示，它由兩塊凸透鏡組成，遠(yuǎn)處的物體首先經(jīng)物鏡Lo在近處成一倒立的中間實像S1，目鏡Le的作用則相當(dāng)于放大鏡，中間像經(jīng)它折射后最終成一放大的倒立虛像S2。

在單透鏡望遠(yuǎn)鏡中，如圖1(b)所示，我們使用一個小孔A代替目鏡，借助小孔成像的原理對中間像進(jìn)行放大。嚴(yán)格說來，小孔成像并沒有“成像”，只是通過幾何關(guān)系實現(xiàn)“放大”功能。除此之外，小孔的大小決定了物平面上一點發(fā)出的光束通過時的孔徑，從而影響成像的清晰程度。

對于一個觀察遠(yuǎn)處物體的望遠(yuǎn)系統(tǒng)，常見的參數(shù)指標(biāo)包括圖像放大率、分辨率、對比度和照度(亮度)等。下面，我們將逐一討論這些參數(shù)的相關(guān)理論與實驗。

1.2 視角放大率

望遠(yuǎn)鏡所要觀察的物體一般離望遠(yuǎn)鏡本身有一定的距離。在通常情況下可以近似認(rèn)為物體在無窮遠(yuǎn)處，中間像近似成在物鏡的焦平面上。當(dāng)觀察遠(yuǎn)處的物體時我們常用視角放大率來表征望遠(yuǎn)鏡的放大功能。視角放大率M定義為最后成的像對人眼(瞳孔)的張角ω′與物體在實際位置對人眼所張視角ω的比值，即：

M=ω′/ω

(1)

圖 2

如圖2所示，在單透鏡望遠(yuǎn)鏡中假定光線傍軸條件近似成立，并假設(shè)物體到物鏡的距離u遠(yuǎn)大于物鏡焦距f，人眼靠近屏幕觀察。我們可以導(dǎo)出單透鏡望遠(yuǎn)鏡視角放大率為

(2)

式中，s、t分別為小孔成像的“物距”與“像距”；s0為光屏P到觀察者的距離。

由此可知，單透鏡望遠(yuǎn)鏡的視角放大率與小孔位置密切相關(guān)，并與物鏡焦距呈正相關(guān)。

1.3 分辨率

1.3.1 幾何光學(xué)理論

小孔的尺度會導(dǎo)致物平面上的點在像平面成像時產(chǎn)生模糊。當(dāng)像平面兩個光斑之間恰好沒有重疊(即恰好相切)時，可以視為能夠分辨。若物平面上相距δH的兩個點，在單透鏡望遠(yuǎn)鏡的像平面上成的光斑恰好沒有交疊，則從幾何光學(xué)可以導(dǎo)出(過程略)

(3)

式中d為小孔直徑，其余參量如圖2所示。

據(jù)此可以得出，單透鏡望遠(yuǎn)鏡可以分辨的最小距離δH與小孔直徑d呈正比，與小孔到屏幕距離t呈負(fù)相關(guān)關(guān)系。

1.3.2 衍射理論

實際上，在小孔尺寸較小時，需要考慮光的衍射帶來的影響。設(shè)小孔直徑為d，透鏡直徑為D，其他參數(shù)如圖2所示。

首先我們考慮物鏡(透鏡)衍射的影響。因為u?v，可以近似為平行光入射。由夫瑯禾費衍射的相關(guān)結(jié)論，可得透鏡衍射導(dǎo)致的最小分辨距離為

(4)

代入實驗參數(shù)：D=50mm，u≈5m，波長λ取550nm，可估算出δH≈0.1mm。故我們可以忽略透鏡衍射對分辨率的影響。

(5)

作出最小分辨距離δH與小孔直徑d關(guān)系的趨勢示意圖如圖3所示。從圖中我們可以看到：當(dāng)孔徑較大的時候，幾何光學(xué)對分辨率的影響占主要地位；當(dāng)孔徑較小的時候，主要的限制因素則為衍射?？芍?dāng)小孔直徑取適當(dāng)值時，該望遠(yuǎn)鏡的分辨能力最強(qiáng)。圖中的“總體效果”綜合兩種因素定性地反映出總體變化趨勢，其具體函數(shù)關(guān)系可由小孔菲涅爾衍射推導(dǎo)。

圖 3

圖 4

如圖4所示，“點光源”Q發(fā)出的球面波在小孔所在平面A的復(fù)振幅可以寫為

(6)

(7)

(8)

而P點的光強(qiáng)為

(9)

我們很難給出這個積分的解析表達(dá)式，故轉(zhuǎn)而使用計算機(jī)數(shù)值模擬的手段，畫出光強(qiáng)分布的函數(shù)圖像，如圖5(a)所示。該圖展示的是一組實驗典型數(shù)值：s=50mm,t=250mm，d=500μm的模擬結(jié)果，波長取為550nm，透鏡焦距取200mm。

圖 5 (a) 典型數(shù)值下的屏上光強(qiáng)分布; (b) 最小分辨距離隨小孔直徑變化的理論圖線

按照慣例，我們將峰的半高全寬對應(yīng)物平面上的距離作為最小分辨距離。然而，對于菲涅爾衍射，某些情況下光斑中心為暗區(qū)或有復(fù)雜的光強(qiáng)起伏，為“恰好能夠分辨”的確定造成了一定的困難。例如，對于圖5(a)中的情況，我們?nèi)⊥鈧?cè)峰高度一半的位置作為參考計算最小分辨距離。由此，保持s=50mm,t=250mm不變，畫出最小分辨距離δH隨小孔孔徑d的變化曲線如圖5(b)所示。當(dāng)然，這樣的處理在某些情況下可能引起一定的偏差。

可以看到，圖線總的趨勢與之前的理論推導(dǎo)(近似)相符。曲線在特定的位置出現(xiàn)極小值，對應(yīng)分辨最為清楚時的小孔直徑。

1.4 對比度

當(dāng)觀察一個間隔透光的柵欄狀分辨率板(如圖6)時，成像黑白區(qū)域之間的深淺差別被稱為對比度，或稱襯比度。實際測試中，我們使用公式

(10)

圖 6

表示圖片的對比度。式中ILight為分辨率板透光區(qū)域的光強(qiáng)計數(shù)值，Idark為分辨率板不透光區(qū)域的光強(qiáng)計數(shù)值。理想情況下對比度為1，如果明暗條紋完全不能分辨，則對比度為零。通常圖像的對比度需要達(dá)到0.4以上人眼才能夠清晰分辨。

無論是圖像的對比度還是分辨率，均反映了單透鏡望遠(yuǎn)鏡成像的清晰程度。

1.5 亮度

亮度往往指的是光源的亮度，而這里所考慮的亮度實際上是像面的光照強(qiáng)度，簡稱照度。其定義為單位面積上所接受可見光的能量，用于指示光照的強(qiáng)弱和物體表面被照明的程度。設(shè)面元dS上的光通量為dФ，則此面元上的照度E為

E=dΦ/dS

(11)

顯然小孔越大通過的光就越多，即成像面上的照度與小孔尺寸成正相關(guān)關(guān)系。

2 單透鏡望遠(yuǎn)鏡實驗研究

2.1 實驗器材和參數(shù)

直徑為25mm,焦距為100mm,125mm,150mm,175mm,200mm的凸透鏡

直徑為50mm，焦距為200mm的凸透鏡

直徑為50μm, 100μm,200μm, 500μm定徑小孔和800μm以上變徑小孔

CMOS照相系統(tǒng)(包含CMOS相機(jī)，0.6倍遠(yuǎn)心鏡頭)

被觀測物體： 白熾燈，黑膠帶(可裁剪),分辨率板(自加工)

毛玻璃(用作光屏)

配件： 光學(xué)平臺、元件支架、實驗手套等

2.2 實驗過程與內(nèi)容

如圖7(a)所示，將CMOS照相系統(tǒng)，毛玻璃屏，針孔和透鏡根據(jù)理論光路組裝，調(diào)節(jié)各元件共軸等高，并對準(zhǔn)用作物體的分辨率板(如圖7(b)所示)。仔細(xì)調(diào)整小孔與照相系統(tǒng)的前后位置，使得通過CMOS照相系統(tǒng)可以清晰觀察毛玻璃屏上的圖像并將其呈現(xiàn)在電腦屏幕上，如圖7(c)所示。我們先后改變了小孔到屏幕距離t、小孔直徑d、透鏡直徑D，透鏡的焦距f等參數(shù)，對每次實驗獲得的圖像截圖，再利用Matlab、ToupView等計算機(jī)軟件對圖像的各項參數(shù)作進(jìn)一步分析。

圖 7

遠(yuǎn)心鏡頭在使用時，圖像上的像素距離與實際距離的比為一個已知的定值。通過軟件我們可以測量圖片上任意兩點的距離，利用鏡頭的放大倍數(shù)和CMOS相機(jī)芯片像素的尺寸計算出圖像中條紋之間的實際間距(像的大小H2)，從而可以與分辨率板相比較，計算出望遠(yuǎn)鏡實際的放大率M的值。

接著將圖片輸入Matlab，提取圖像中心一列像素的光強(qiáng)計數(shù)值，呈現(xiàn)其明暗趨勢，如圖8所示。在圖中讀取相鄰峰谷的差值，并除以峰谷數(shù)據(jù)的平均值，根據(jù)公式(10)計算其對比度。

圖 8

在每次實驗中，我們選取圖像中的一小塊區(qū)域，利用ToupView自動調(diào)節(jié)相機(jī)的曝光時間和增益，使其灰度保持在一個定值。由此我們可以用曝光時間與增益乘積的倒數(shù)衡量亮度的相對大小。

2.3 實驗數(shù)據(jù)研究分析

實驗過程中，固定透鏡與屏的距離為300mm，物體(分辨率板)距望遠(yuǎn)鏡約4.8m。

2.3.1 放大率M與小孔到屏幕距離t以及透鏡焦距f的關(guān)系

在研究放大率M隨小孔到屏幕距離t關(guān)系的實驗中，我們使用直徑為50mm，焦距為200mm的透鏡，小孔直徑100μm。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作出放大率M隨小孔到屏幕距離t關(guān)系如圖9(a)所示。

在研究放大率M隨透鏡焦距f的關(guān)系的實驗中，我們分別選用焦距為100mm、125mm、150mm、175mm、200mm的透鏡，直徑為100μm的小孔，設(shè)置小孔到屏幕的距離為67mm。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作出放大率M隨小孔到屏幕距離t關(guān)系如圖9(b)所示。

通過實驗發(fā)現(xiàn)，單透鏡望遠(yuǎn)鏡的視角放大率與小孔到屏幕距離呈正相關(guān)關(guān)系，與透鏡焦距呈正相關(guān)關(guān)系，與之前的理論預(yù)測相符。

2.3.2 清晰度與小孔到屏幕距離t以及小孔直徑d的關(guān)系

在研究對比度φ隨小孔到屏幕距離t關(guān)系的實驗中，我們使用直徑為50mm，焦距為200mm的透鏡，小孔直徑100μm。測出分辨率板透光區(qū)域和不透光區(qū)域的光強(qiáng)計數(shù)值,代入公式(10)計算出對比度φ，作出對比度φ隨小孔到屏幕距離t關(guān)系如圖10(a)所示。

在研究對比度φ隨小孔直徑d的關(guān)系的實驗中，我們使用直徑為50mm，焦距為200mm的透鏡，設(shè)置小孔到屏幕的距離為67mm，分別選用直徑為50μm、100μm、200μm、500μm的小孔，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，作出對比度φ隨小孔直徑d的關(guān)系如圖10(b)所示。

圖 9 (a) 放大率M與小孔到屏幕距離t關(guān)系； (b) 放大率M隨透鏡焦距f的關(guān)系

圖 10 (a) 對比度φ與小孔到屏幕距離t關(guān)系； (b) 對比度φ與小孔直徑d的關(guān)系

在研究最小分辨距離δH隨小孔直徑d的變化的實驗中，我們用自行加工的不同間距的柵欄狀鋁板作為簡易的分辨率板(如圖11(a)所示)，大致測定了單透鏡望遠(yuǎn)鏡的分辨能力。實驗結(jié)果與理論值的比較如圖11(b)所示。由于加工能力的限制，我們僅使用了整數(shù)毫米間距的分辨率板，而無法得到最小分辨間隔δH更為精確的值。圖中每個實驗值豎線上端表示能夠分辨的最細(xì)板子的間距，下端表示不能夠分辨的最粗板子的間距，實際的準(zhǔn)確值在二者之間。從圖中可以看出，實驗與理論值的變化趨勢吻合的很好。在小孔較大時，望遠(yuǎn)鏡的實際分辨能力低于預(yù)期，這可能是理論中判斷“恰好分辨”的判據(jù)不夠準(zhǔn)確造成的。

圖 11 (a) 自行加工的分辨率板; (b) 最小分辨距離δH與小孔直徑d的關(guān)系

對比度和分辨率(最小分辨距離)都反映了單孔望遠(yuǎn)鏡成像的清晰程度。通過實驗發(fā)現(xiàn)：單孔望遠(yuǎn)鏡成像的清晰程度與小孔距屏幕距離呈正相關(guān)關(guān)系；小孔的直徑過大或過小，單孔望遠(yuǎn)鏡的成像均不清晰。這一結(jié)論對望遠(yuǎn)鏡性能的改進(jìn)有重要的指導(dǎo)意義，如小孔的選擇。

2.3.3 亮度與小孔直徑d以及小孔到屏幕距離t的關(guān)系

在研究成像亮度與小孔直徑d關(guān)系的實驗中，我們使用直徑為50mm，焦距為200mm的透鏡，設(shè)置小孔到屏幕的距離為67mm，灰度值為200，分別選用直徑50、100、200、500μm的小孔， 作出相對亮度B與小孔直徑d的關(guān)系如圖12(a)所示。

圖 12 (a) 相對亮度B與小孔直徑d的關(guān)系; (b) 相對亮度B與小孔到屏幕距離t的關(guān)系

在研究亮度與小孔到屏幕距離t關(guān)系的實驗中，我們使用直徑為50mm，焦距為200mm的透鏡，選用100μm小孔，設(shè)置灰度值為150， 作出相對亮度B與小孔到屏幕距離t的關(guān)系如圖12(b)所示。

通過實驗發(fā)現(xiàn)，單透鏡望遠(yuǎn)鏡成像的亮度與小孔到屏幕距離呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，亮度與小孔直徑呈正相關(guān)，與理論預(yù)測一致。

3 誤差分析

3.1 理論研究過程中存在的誤差

在理論推演過程運用光的傍軸近似；使用程序模擬確定最小分辨距離時，因計算精度與判斷恰能分辨不準(zhǔn)確導(dǎo)致的誤差。

3.2 實驗研究過程中存在的誤差

實驗中光路調(diào)節(jié)引起的誤差；各長度量(如小孔到屏幕的距離等)測量的誤差；即使在黑暗環(huán)境中實驗，仍可能由于墻壁或雜散光產(chǎn)生噪聲信號導(dǎo)致誤差；圖像分析時由于圖像清晰度有限，像素點選取與測量有誤差；盡管實驗中使用高質(zhì)量的粘合消色差透鏡，但實際上透鏡的色差與像差依然存在。

4 結(jié)論及展望

4.1 結(jié)論

本文提出一種用小孔成像代替目鏡成像的方案，建立了簡單的光學(xué)模型，自制出簡易的單透鏡望遠(yuǎn)鏡。通過理論分析和實驗研究發(fā)現(xiàn)了單透鏡望遠(yuǎn)鏡成像放大率、清晰度和亮度等成像參數(shù)與孔徑和焦距等透鏡參數(shù)的關(guān)系，并且理論與實驗有著較好的自洽性。

在實驗研究層面，我們發(fā)現(xiàn)該望遠(yuǎn)鏡放大率與小孔到屏幕的距離的數(shù)據(jù)，與理論公式(2)符合

得較好，且放大率與透鏡焦距呈正相關(guān)關(guān)系；對比度和分辨率(最小分辨距離)都能反映成像的清晰程度，實驗表明該望遠(yuǎn)鏡成像的清晰度和小孔距屏幕距離呈正相關(guān)關(guān)系，且小孔的直徑過大或過小，該望遠(yuǎn)鏡的成像均不清晰；該望遠(yuǎn)鏡成像的亮度與小孔到屏幕距離呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，與小孔直徑呈正相關(guān)，這與理論分析一致。

4.2 展望

突破實驗儀器限制，下一步可以利用更多直徑及焦距的透鏡，以及更多直徑的小孔進(jìn)行大量的實驗研究。少受機(jī)械加工能力的限制，更精細(xì)的測量將考慮用專業(yè)的分辨率板進(jìn)行更精細(xì)的研究。多次測量實驗，減少不必要的人為操作誤差，以提高實驗的精準(zhǔn)度。進(jìn)一步從理論和實驗定量研究關(guān)于清晰度、亮度與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系。考慮除放大率，分辨率以及亮度，對比度以外，進(jìn)一步研究更多參量對望遠(yuǎn)鏡成像性能的影響。

5 結(jié)語

在本文中，我們從幾何光學(xué)和波動光學(xué)全面地入手，搭建了一架單透鏡望遠(yuǎn)鏡，定量地分析了各個參量對其放大率、清晰度、亮度的影響，經(jīng)過實驗的進(jìn)一步驗證，發(fā)現(xiàn)了理論和實驗具有良好的自洽性，從而得到了一般的結(jié)論并對研究中的誤差進(jìn)行分析，不足之處進(jìn)行了展望。希望我們研究能給中學(xué)生朋友們從事研究性學(xué)習(xí)提供一些幫助和思考，希望得到更多的批評與指正。

最后在此感謝南京邁塔光電Metalab創(chuàng)新實驗室提供實驗裝置和場地，感謝蔣尚池博士提供寶貴意見。

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[3] 張三慧.大學(xué)物理學(xué).熱學(xué)、光學(xué)、量子物理[M].3版.北京：清華大學(xué)出版社，2009:209-294.

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RESEARCHONTHESINGLE-LENSTELESCOPEANDITSIMAGINGPARAMETERS

PANKaixinLIUYiranPANZhimin

(Nanjing Foreign Language School, Nanjing Jiangsu 210008)

In this paper, we have designed a simple single-lens telescope based on the problem No.3 in International Young Physicist Tournament (IYPT2017). According to theories of geometric optics and physical optics, we systematically explored the influences of aperture and focal length on the magnification of the telescope, the contrast and brightness of the image and so on. We have experimentally conducted quantitative studies by varying these parameters and elaborated analysis of data with software including Matlab and ToupView. As the experimental results are consistent with our theory, a generic conclusion has been drawn. Besides, possible origination of errors in the studies has been discussed and an outlook has been proposed.

pinhole imaging; single lens telescope; magnification; resolution; contrast; brightness

2017-06-18；

2017-08-02

潘開欣，女，高中在讀，1372716936@qq.com；劉怡然，男，高中在讀，yysflyr@126.com；潘志民，男，中學(xué)高級教師，主要從事高中物理教學(xué)和競賽工作，研究方向是中學(xué)物理教育，njwxpzm@139.com。

潘開欣,劉怡然,潘志民. 單透鏡望遠(yuǎn)鏡及其成像參數(shù)的研究[J]. 物理與工程，2017，27(6)：116-122.

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