任延宇 霍 雷 馮啟春 唐圭新

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)物理系，黑龍江 哈爾濱 150001)

剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)代數(shù)講法的教學(xué)實(shí)踐

任延宇 霍 雷 馮啟春 唐圭新

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)物理系，黑龍江 哈爾濱 150001)

代數(shù)是人們描述自然規(guī)律的一個(gè)極為重要的數(shù)學(xué)工具，但它自身的抽象性又使得初學(xué)者很難掌握這一數(shù)學(xué)工具。理論力學(xué)是物理系本科生的第一門理論課程，對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的訓(xùn)練明顯較普通物理加強(qiáng)。我們嘗試在理論力學(xué)課的剛體力學(xué)一章采用代數(shù)講法，從而使抽象的數(shù)學(xué)理論與具體的物理圖像有了直接的對(duì)應(yīng)，并為后續(xù)專業(yè)類課程學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

理論力學(xué)；剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)；線性代數(shù)

代數(shù)無論在物理學(xué)研究還是在應(yīng)用領(lǐng)域都是一個(gè)極為重要的數(shù)學(xué)工具。初學(xué)者由于缺乏實(shí)際應(yīng)用方面的訓(xùn)練很難掌握這一數(shù)學(xué)工具。這很大程度上是由于線性代數(shù)通常在大一上學(xué)年學(xué)習(xí)，而大量運(yùn)用代數(shù)知識(shí)的專業(yè)類課程一般都安排在大三下學(xué)年或者大四上學(xué)年。鑒于這樣的情況，我們嘗試在大二上學(xué)年理論力學(xué)課的剛體一章就引入代數(shù)講法。這樣做的原因在于，剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可以用固定在剛體上的剛體坐標(biāo)系(剛體系)來描述。這樣對(duì)剛體的描述就轉(zhuǎn)化為對(duì)兩個(gè)坐標(biāo)系間相互關(guān)系的描述，從而可以用代數(shù)理論嚴(yán)格表示出來。此外，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)是同學(xué)們?cè)谌粘Ｉ钪谐Ｒ姷默F(xiàn)象，通過將轉(zhuǎn)動(dòng)與代數(shù)理論的結(jié)合可以幫助同學(xué)們更好地復(fù)習(xí)和理解大一剛剛學(xué)過的線性代數(shù)的很多抽象公式。經(jīng)過我們多年的教學(xué)嘗試，這一教學(xué)思路已經(jīng)取得了較好的教學(xué)效果。現(xiàn)在給出這一講法的主要步驟[1]：

(1)

(2)

此外還容易得到

(3)

(4)

式(4)中3個(gè)獨(dú)立參數(shù)有很多種選擇方案，其中歐拉角由于可以給后續(xù)計(jì)算帶來極大的便利，被人們廣為采用。以常見一種歐拉角的取法為例：令轉(zhuǎn)動(dòng)前的剛體系為e1,e2,e3，其中進(jìn)動(dòng)是繞e3軸轉(zhuǎn)動(dòng)φ角，相應(yīng)剛體系變?yōu)閑?1,e?2,e?3。(注：由于剛體系是隨時(shí)間變化的，故這里下標(biāo)用1,2,3來表示，而不用x,y,z。因?yàn)楹笳咭呀?jīng)在前面的課程中默認(rèn)是笛卡爾坐標(biāo)系的基底)通過公式(2)不難建立新舊兩組剛體系間的聯(lián)系

(5)

(6)

(7)

(8)

式(8)即歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。與幾何方案相比，代數(shù)方法得到這一方程的思路顯然更加清晰。

接下來建立動(dòng)力學(xué)方程來得到力矩與歐拉角之間的聯(lián)系。首先，角動(dòng)量定理給出了力矩和角動(dòng)量的關(guān)系

(9)

這樣只需要建立角動(dòng)量和角速度的關(guān)系。

由于在一般問題中角動(dòng)量和角速度并不在同一方向，為此人們采用張量這一數(shù)學(xué)手段來建立二者之間的聯(lián)系[1,2]：

(10)

(11)

(12)

于是得到

(13)

(14)

將式(2)、(3)代入，并注意到T的正交性，得到

(15)

這樣，在慣量主軸所在的坐標(biāo)系下角動(dòng)量和角速度的分量間有了最簡單的關(guān)系

(16)

將式(9)、(16)聯(lián)立，并考慮剛體系基底隨時(shí)間的變化，得到

(17)

此即歐拉動(dòng)力學(xué)方程。將歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(8)與歐拉動(dòng)力學(xué)方程(17)聯(lián)立，可建立力矩與歐拉角之間的聯(lián)系。通過聯(lián)立求解上述方程(只有幾種特殊情況可以得到解析解)，原則上可以得到歐拉角隨時(shí)間的變化規(guī)律[2]。

[1] H. Goldstein. Classical Mechanics(Third Edition)[M]. 北京：高等教育出版社，2005:134-199.

[2] 周衍柏. 理論力學(xué)教程[M].3版.北京：高等教育出版社, 2009:116-136.

[3] 黃克智,薛明德,陸明萬. 張量分析[M].2版.北京：清華大學(xué)出版社,2003:21-27.

USINGTHEALGEBRAICMETHODTOTEACHTHEFIXEDPOINTROTATIONOFRIGIDBODY

RENYanyuHUOLeiFENGQichunTANGGuixin

(Department of Physics, Harbin Institute of Technology, Harbin Heilongjiang 150001)

Algebra is a very important mathematical tool in physics research and description. But it is also very difficult for beginners to learn due to its abstraction. Theoretical mechanics is the first theoretical course of physics undergraduates, and its training of using mathematical tools to deal with physical problems is more important than that of general physics. We try to use algebraic method to teach the fixed point rotation of rigid body in theoretical mechanics course. It can make a connection between the abstract mathematical theory and specific physical image, and lay a solid foundation for the follow-up courses.

theoretical mechanics; the fixed point rotation of rigid body; algebraic method

2017-04-25；

2017-09-11

高等學(xué)校力學(xué)課程2016年度資助項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào)：JZW-16-LX-09)。

任延宇，男，講師，主要從事高能重離子碰撞領(lǐng)域的研究,ryy@hit.edu.cn;霍雷，男，教授，主要從事高能重離子碰撞領(lǐng)域的研究，lhuo@hit.edu.cn。

任延宇,霍雷,馮啟春,等. 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)代數(shù)講法的教學(xué)實(shí)踐[J]. 物理與工程，2017，27(6)：78-80,85.

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