陳奎孚

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院74#，北京 100083)

為什么時空變換必須是線性的

陳奎孚

(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院74#，北京 100083)

盡管線性時空變換是狹義相對論的出發(fā)點，但至少從教學(xué)角度，對線性變換合理性的論證依然不清晰。筆者根據(jù)時空均勻性、時空各向同性和慣性系的等價性，嚴(yán)格地導(dǎo)出了時空的線性變換,其中關(guān)鍵概念是變換的時間縮放系數(shù)和空間縮放系數(shù)。沿此思路，進(jìn)一步約束兩個坐標(biāo)系之間的時空縮放系數(shù)相等，并利用光速不變原理，導(dǎo)出了洛倫茲變換。

狹義相對論;洛倫茲變換；光速不變原理；慣性坐標(biāo)系；慣性定律；勻速直線運(yùn)動

很多教材在編寫?yīng)M義相對論的洛倫茲變換這部分內(nèi)容時，時空變換被默認(rèn)成線性了。至于時空變換為什么必須是線性的，大多為泛泛論證。比如，有些教材說同一事件“在兩個參考系中觀察的結(jié)果必須是一一對應(yīng)，這就要求變換關(guān)系呈線性”，然而(x′=x3,t′=t)也可以保證一一對應(yīng)，但它顯然不是線性的。愛因斯坦在最初那篇著名的狹義相對論論文是這樣敘述的，“In the first place it is clear that the equations must belinearon account of the properties of homogeneity which we attribute to space and time”[1](原作為德文，本句英文來自GB Jeffery和W Perrett的1923年英文翻譯版，中文翻譯參見文獻(xiàn)[2])，那愛因斯坦這句敘述是否又靠譜呢？

從另外一個角度，推演狹義相對論的洛倫茲變換究竟需要多少個假設(shè)呢？這個問題被很多人討論過了[3]，但至少從教學(xué)角度，分歧或模糊依然存在[4]。此外，狹義相對論適用于慣性系，但目前推導(dǎo)洛倫茲變換時，表面上并沒有明確使用慣性系的性質(zhì)。所謂的“在所有慣性系中，物理規(guī)律的表達(dá)形式都相同”的要求在哪個環(huán)節(jié)被使用了呢？本文的探究將表明上述問題的解答或多或少與時空變換的線性特性有關(guān)。

時空線性變換似乎是狹義相對論的“默認(rèn)”，而前者被視為近代物理學(xué)的兩大支柱之一(另一支柱是量子力學(xué))[5]，自然有科學(xué)家會審視支柱中“默認(rèn)”的合理性。Lévy-Leblond曾經(jīng)討論過這個問題，但沒有說清楚慣性系的貢獻(xiàn)[6]。國內(nèi)的馮勝奇也討論過同一問題，但出發(fā)點與本文不同，結(jié)論自然也不同[7]。

“搜盡奇峰打草稿”是清代畫家石濤在書畫創(chuàng)作中極力主張的一種創(chuàng)作觀點。他的書畫作品之所以能有大成，也是因為他身體力行地推崇這句至理名言，所以才能把創(chuàng)作中的意境與靈感淋漓盡致地展現(xiàn)于他的作品當(dāng)中。對于藝術(shù)他主張應(yīng)該多搜集素材，多觀察事物，手摹心記，在大自然當(dāng)中不斷地提煉自己的藝術(shù)表現(xiàn)手法，總結(jié)藝術(shù)規(guī)律，進(jìn)而形成自己的藝術(shù)風(fēng)格。以“搜盡奇峰”不辭辛勞的寫生創(chuàng)作態(tài)度，從而在“打草稿”的過程中逐漸提煉自己的藝術(shù)語言，最終達(dá)到“外師造化，中得心源”的至高境界，也是石濤游歷大江南北在奇峰怪石中“山川與予神遇而跡化”的悟道。由此，我對山水畫的寫生創(chuàng)作觀有了“游之、記之、悟之、寫之”的創(chuàng)作感悟。

蔣海峰走向涼臺，異常鎮(zhèn)靜，凝望著深邃的夜空，從來沒有這樣美。他似乎聽到了上帝的召喚，爬上欄桿，輕輕一躍，結(jié)束了一切恩怨，結(jié)束了苦痛的一生。

在式(14)中，與x相比，時間t并無特殊之處，所以我們也可讓從S到S′的時間縮放系數(shù)與從S′到S的相同，即

1 線性時空變換的證明

式(8)代入式(7)，并整理可得

圖 1

圖1中P(或稱事件)在S中的坐標(biāo)為(x,t), 在S′中的坐標(biāo)為(x′,t′)。兩個坐標(biāo)系所看到的是同一個事件，所以必然有如下的函數(shù)關(guān)系

(1a)

(1b)

當(dāng)然式(1)也必須是可逆的，以保證一一對應(yīng)。

1.1 時空均勻和各向同性的要求

對式(1)取微分有

(2a)

(2b)

(3)

容易求得偏微分方程(3)的解為

(4)

(5)

容易求得偏微分方程(5)的解為

(6)

注意式(2)的dx可以沿x軸的正向，也可以沿x軸負(fù)向，即式(3)和式(4)的成立要求空間沿x軸兩個方向是同性的(對于空間問題，則進(jìn)一步要求沿y和z同性;不僅如此, 沿x,y和z三軸任意組合的方向也是同性，即要求空間是各向同性的)。同樣式(2)和式(5)要求時間沿正向和沿反向也是同性的。

綜上，式(2)到式(6)成立的前提為時空是均勻且各向同性。均勻指的是參數(shù)不隨時空點而變化，而各向同性指的是有方向的物理量，在不同方向上也是相等的。

1.2 慣性定律的要求

在外人眼里，老伴是個賢妻良母，在我看來，老伴仍然是個良母，可不是一個賢妻。年輕的時候，我們是同學(xué)，走到一起順理成章，感情基礎(chǔ)非常好。后來，有了孩子，生活的瑣碎也沒有影響我們的感情，小日子越過越滋潤。沒想到，到了晚年，因為忙碌小孫子的事，我們少了交流，遇到事情就會爭吵，而且越吵越遠(yuǎn)。

x′=k1+k2t′

(7)

其中k1和k2是與x′,t′無關(guān)的常數(shù)(k1相當(dāng)于初位置；k2相當(dāng)于速度)。此時式(1)退變?yōu)?/p>

(8a)

(8b)

考慮兩個平移的慣性坐標(biāo)系S和S′，其中S′的坐標(biāo)原點相對于S的速度為。因為垂直于的兩個坐標(biāo)的各自變換是平凡解，為簡潔計，我們的焦點集中于沿相對速度的坐標(biāo)x和時間t這兩個量的變換關(guān)系，如圖1所示。

或可進(jìn)一步寫為

(9)

x′=k3+k4t′

(10)

其中k3和k4是與x′,t′無關(guān)的常數(shù)。此時式(1)退變?yōu)?/p>

工程法律風(fēng)險是產(chǎn)生于項目實施過程中，由于行為人的具體行為不規(guī)范而導(dǎo)致的，與企業(yè)或項目預(yù)期目標(biāo)相違背的法律不利后果發(fā)生的可能性。法律風(fēng)險發(fā)生于工程運(yùn)作過程中，法律風(fēng)險控制是工程項目管理的重要手段，是全面風(fēng)險管理的重要支撐。加強(qiáng)工程法律風(fēng)險管理具有重要的現(xiàn)實意義和經(jīng)濟(jì)效益，是油田企業(yè)工程項目的內(nèi)在要求，是企業(yè)適應(yīng)內(nèi)外部環(huán)境變化的必然選擇，是提升管理水平、實現(xiàn)跨越式發(fā)展的迫切需要。

(11a)

(11b)

式(11)代入式(10)整理得到

(12)

將式(9)和式(12)分別代入式(4)和式(6), 就有如下的線性變換

(13)

這即證明了時空變換的線性性質(zhì)。在這個性質(zhì)證明中，時空均勻性、時空各向同性和慣性坐標(biāo)系的等價性等三性缺一不可。

（3）CA-074預(yù)處理組（CA-074+LPS組）：腹腔注射組織蛋白酶B抑制劑CA-074 10 mg/kg，30 min后腹腔注射致死劑量LPS。

不失一般性，我們可把式(13)進(jìn)一步限制為標(biāo)準(zhǔn)型，即(x′,t′)=(0,0)與(x,t)=(0,0)對應(yīng)，這就有b1=0,b2=0。隨后只討論如下的標(biāo)準(zhǔn)型,

(14)

如果放棄時空均勻性和各向同性，只要求慣性系的等價性，自然就不能從式(4)和(6)出發(fā)了。讀者可參考文獻(xiàn)[8]對此情形的處理。

2 洛倫茲變換的推導(dǎo)

2.1 對伽利略變換縮放系數(shù)的拓展

在牛頓時空下有伽利略變換x′=x-vt,t=t′，它的縮放系數(shù)滿足

第三，加強(qiáng)教師專業(yè)指導(dǎo)，保障集體實踐活動的有效開展。 集體實踐活動雖然應(yīng)該充分尊重學(xué)生的主體地位，更多地鼓勵學(xué)生積極參與。 但是在實踐過程中，學(xué)生難免會遇到各種無法解決的問題，這就需要來自教師的專業(yè)指導(dǎo)。 學(xué)校應(yīng)選派工作經(jīng)驗豐富、理論功底深厚的教師參與實踐活動。 專業(yè)指導(dǎo)教師一方面應(yīng)積極參與實踐活動的策劃和審定環(huán)節(jié)，把握實踐活動的方向性、科學(xué)性和可行性，保障集體實踐活動的有效開展； 另一方面在活動的開展過程中，教師也應(yīng)做到積極參與，引導(dǎo)大學(xué)生群體在實踐過程中體悟和踐行集體主義原則，保障實踐活動教育功能的發(fā)揮。

(15a)

(15b)

由于從伽利略變換所導(dǎo)出的預(yù)測與接近光速的實驗結(jié)果不吻合，所以要對其修改。一種修改就是放寬式(15)的要求。當(dāng)然，隨意放寬也不盡合理，比如a11=1000就相當(dāng)于在S的長度單位為m，而S′為mm。因度量單位不一致所造成的差異與物理本質(zhì)無關(guān)。

一個較為合理的拓展是把式(15a)放寬成從S到S′的縮放系數(shù)與從S′到S的縮放系數(shù)相等，即

(16)

為了利用式(16), 從式(14)解出

(17)

其中行列式Δ=a11a22-a21a12。由式(17)有

(18)

式(16)變?yōu)?/p>

(19)

本文將首先從時空均勻性、時空的各向同性和慣性坐標(biāo)系的等價性等三性出發(fā)，導(dǎo)出線性時空變換，然后再附加進(jìn)一步的假設(shè)，推演洛倫茲變換。

在S′中看到S原點的速度v′為(利用式(25)的第一式和第三式)

(20)

由式(17)得到