周成博 宋一諾 范光華,1)

?(威海市第一中學，山東威海264207)

?(哈爾濱工業(yè)大學 (威海)光電科學系，山東威海 264209)

復合擺和耦合擺運動的可視化

周成博?宋一諾?范光華?,1)

?(威海市第一中學，山東威海264207)

?(哈爾濱工業(yè)大學 (威海)光電科學系，山東威海 264209)

利用視頻跟蹤技術和Tracker軟件，通過運動時序圖和李薩如圖展示了不同數(shù)量復合擺構成的耦合擺的多種運動形式，包括兩個復合擺的同振幅同方向振動、同振幅反方向振動、拍振以及3個和4個擺之間的能量轉移運動.這種實驗演示方法有助于學生加深對耦合擺運動規(guī)律的認識.

復合擺,耦合擺,視頻跟蹤技術

在高中和大學物理課中，單擺的擺動經(jīng)常用做簡諧振動的模型.單擺在平衡位置兩側的來回擺動很直觀地表現(xiàn)為周期性運動.但是，單擺偏離平衡位置兩側的角度或幅值隨時間的變化，也就是簡諧振動，卻不容易構思.此外，實際情況下還存在各種形式的復雜振動，它們都是各種簡諧振動的耦合或疊加[1]，其運動形式比較復雜，規(guī)律不夠直觀，初學者對這些方面知識的理解存在一定困難.由于單擺的擺線是柔性的，單擺之間的耦合受到一定的限制.復合擺的運動形式跟單擺類似，剛性擺桿一端連接擺錘，另一端可以繞一個軸轉動，擺桿之間可以方便地通過彈簧或橡皮筋實現(xiàn)耦合[23].因此，多個復合擺之間可以實現(xiàn)多種形式的耦合運動.以往的教學論文中，已經(jīng)通過各種手段實現(xiàn)多種振動的可視化[415].這些實驗裝置都有很多優(yōu)點，但是缺點在于要么不適合在學生很多的場合展示.要么需要采用比較復雜的電路將運動信號轉換為電信號，并且需要頻率范圍合適的示波器或其他儀器進行演示，對儀器設備要求較高，因此不易實現(xiàn).

近年來，隨著信息技術的發(fā)展，目標視頻跟蹤已經(jīng)很容易實現(xiàn).利用手機可以拍攝各種運動的視頻，利用軟件技術可以實現(xiàn)運動物體的視頻捕捉和運動跟蹤，再利用軟件的后續(xù)處理，可以得到運動物體的軌跡、振幅(擺角)以及相位隨時間的變化規(guī)律[1618].這些通過跟蹤物體運動視頻，并利用軟件處理得到物體運動的變化關系圖的方式，可以使學生更好地理解和掌握所要研究學習的運動的規(guī)律，具有重要意義.由多個復合擺組成的耦合擺具有多種運動形式，是關于簡諧振動和耦合運動的典型范例，目前缺乏關于這些運動的形象的展示手段.本文利用手機拍攝復合擺和耦合擺的視頻，利用開源軟件Tracker實現(xiàn)視頻中被觀察物體的運動跟蹤，獲取其擺幅隨時間的變化曲線，通過不同復合擺擺幅之間的關系曲線，全面展示復合擺和耦合擺的多種運動形式，為學生學習這方面的知識提供有價值的資料.

1 實驗裝置和實驗細節(jié)

復合擺和耦合擺的實驗裝置如圖1(a)所示，擺錘通過剛性擺桿連接在轉軸上，利用彈簧連接復合擺的擺桿，可以在復合擺之間形成耦合作用從而構成耦合擺.耦合擺中的復合擺數(shù)量可以不受限制，圖1分別為兩個、三個和四個復合擺通過彈簧構成的耦合擺.本實驗的每個復合擺完全一樣，擺錘重686.5g，擺桿重132.2g，耦合長度為50cm，通過調整擺錘上方的扁平螺母，可以小幅改變復合擺的擺動周期，以實現(xiàn)現(xiàn)象比較顯著的拍振.實驗過程中用手機錄取所有擺的運動視頻，在電腦中用Tracker軟件對視頻進行處理，獲得有關運動曲線.在擺錘上貼不同的標簽，以利于視頻跟蹤和Tracker軟件后續(xù)數(shù)據(jù)處理.

圖1 復合擺構成的耦合擺

圖2 兩個復合擺耦合的時序圖和振幅關系

2 耦合擺的實驗觀測與研究

2.1 兩個復合擺的耦合運動

把兩個復合擺的擺錘從平衡位置向同一個方向偏轉相同角度，隨后同時釋放，耦合擺開始自由擺動.此情況下兩個復合擺產(chǎn)生同方向振動.實驗時，利用攝像頭拍攝兩個擺的運動視頻，經(jīng)過Tracker軟件分析可獲得不同時刻擺的角位移值.兩個復合擺擺錘的角位移隨時間變化的時序圖如圖2(a)所示，可以看出兩擺頻率基本相同，振幅幾乎同時達到最大值 (或最小值).將左邊擺的角位移值設置為橫坐標，右邊擺的角位移值設置為縱坐標，即可畫出如圖2(b)所示的李薩如圖.嚴格意義上的李薩如圖是某個運動質點在相互垂直方向做簡諧振動的合成運動軌跡，圖的橫縱坐標分別對應于各個時刻該質點在相互垂直方向上的位移.在本論文中，為對耦合擺運動特點進行分析，構建的是耦合擺系統(tǒng)中某兩個擺錘在各個時刻位移的非嚴格李薩如關系圖.從圖2(b)中可以看出所有的點基本上構成一條正斜率的準直線.仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)這些準直線略有彎曲，不是嚴格意義上的直線.其原因在于，在本實驗的耦合擺裝置中，為了觀察比較明顯的拍振動，已調整不同擺的周期值使其略有差別.在兩個擺同振幅同方向振動時，盡管初始階段兩個擺之間的彈簧沒有形變，但是隨著振動的持續(xù)，兩個周期略微不同的耦合擺之間還是會逐漸偏離同振幅狀態(tài)，這使得兩個擺之間的彈簧存在形變，從而使兩個擺之間出現(xiàn)略微的耦合作用，在李薩如圖中顯示出來，因此出現(xiàn)圖2(b)中略有彎曲的準直線.改變初始條件，把兩個擺錘從平衡位置反方向偏轉相同角度再同時釋放，此情況下耦合擺產(chǎn)生同振幅反方向振動，運動的時序圖如圖2(c)所示，兩個擺的頻率相近而振動方向相反.兩擺擺幅的李薩如圖形如圖2(d)所示，這些點最終會趨近于一條負斜率的直線.再改變初始條件，固定一個復合擺，把另一個復合擺拉離平衡位置，然后同時釋放，此情況下耦合擺出現(xiàn)拍振，其運動形式是一個擺振幅達到最大的同時另一個擺的振幅最小，如此交替進行.從時序圖上可以明顯看出拍振的曲線，如圖2(e)所示，圖2(f)是拍振動的李薩如圖形.

圖2 兩個復合擺耦合的時序圖和振幅關系(續(xù))

圖3 三個復合擺耦合實驗時序圖及振幅關系圖

2.2 三個復合擺的耦合運動

在三個復合擺耦合的情況下，把從左至右排列的 3個擺分別稱為左、中、右擺.先固定中、右兩擺，偏移左擺，然后同時釋放三個擺，起初左擺振幅最大，隨后其振幅衰減至最小，同時中擺振幅增至最大，而后中擺振幅逐漸衰減至最小而右擺振幅增至最大，之后這一現(xiàn)象又會從右到左依次進行.從圖3(a)可以看出當一個擺振幅達到頂峰時另外兩擺的振幅均為最小.其原因是機械能按照左→中→右→中→左的順序不斷傳遞，從而引起振幅的不斷變化.圖3(b)是左、右兩擺的擺幅關系圖，圖中的點構成一個閉合的橢圓. 可以看到隨著時間的增加，橢圓的旋轉方向首先是順時針，然后變?yōu)槟鏁r針，再變?yōu)轫槙r針，再變?yōu)槟鏁r針，如此交替變化.當橢圓的軸線平行于某個坐標軸時，反映在此橢圓對應的循環(huán)過程中某個擺的位移及其絕對值連續(xù)發(fā)生顯著變化，而另一個擺的位移及其絕對值則只是發(fā)生小幅變化，這對應著拍振的運動形式.當橢圓的軸線與坐標軸傾斜時，反映在此循環(huán)過程中兩個擺的位移及其絕對值連續(xù)發(fā)生顯著變化，這對應著能量從一個擺向另一個擺轉移的運動形式.當固定左、右兩擺偏移中間擺時，又會產(chǎn)生另外一種運動：左右兩擺發(fā)生同相同步，振幅同步增減且擺動方向一致，當中擺振幅最大時，左右兩擺振幅最小，中擺振幅最小時，左右兩擺振幅最大.從圖 3(c)的振幅變化可以觀察到此現(xiàn)象.圖3(d)是左、中兩擺的振幅關系，其變化規(guī)律類似圖3(b).當固定左、中兩擺偏移右擺時，由于對稱性其現(xiàn)象與固定中、右兩擺偏移左擺類似，不做重復描述.

圖3 三個復合擺耦合實驗時序圖及振幅關系圖(續(xù))

2.3 四個復合擺的耦合運動

在四個復合擺耦合的情況下，把從左至右的四個擺依次編號為 1,2,3和 4，給予不同的初始條件，它會相應地產(chǎn)生多種運動.首先仿照上節(jié)所述的初始條件，固定擺2,3,4的同時將擺1偏離平衡位置，然后一起釋放令其自由運動.四個擺產(chǎn)生與三個擺類似的運動情況：起初擺1振幅最大，在其逐漸減小的同時擺2的振幅增至最大，伴隨擺2振幅減小擺3振幅又增至最大，一直傳遞到擺4之后又開始反方向進行該過程.即機械能按照 1→2→3→4→3→2→1的順序在復合擺之間來回傳遞.從4(a)中的時序圖可見，四個擺的運動方式都是一種拍振，當一個擺的振幅達到最大時，另外三個擺的振幅均在最小值附近.圖 4(b)是任意兩個相鄰擺的擺幅關系圖，其變化規(guī)律與圖3(b)類似.

圖4 四個復合擺耦合實驗

接下來進行固定某兩擺不動，拉開另外兩擺，再同時釋放的實驗，這種實驗有多種組合.其一，固定擺2和4使之保持不動，將擺1和3反方向拉開相同的偏角，然后同時釋放，可以發(fā)現(xiàn)擺1和3為一組，擺2和4為一組，兩組擺進行反相振動.當擺1和3的振幅達到最大時，擺2和4的振幅最小，之后擺1和3的振幅逐漸衰減至最小，而擺2和4的振幅逐漸增至最大.該運動的時序圖以及擺1和2的李薩如圖形如圖5(a)和圖5(b)所示.其二，固定擺 1和 4不動，將擺 2和 3反方向偏移相同角度后同時釋放，所產(chǎn)生的運動現(xiàn)象與上一個實驗類似，即擺1和4為一組，擺2和3為一組，兩組擺進行反相振動，前一組擺的振幅最大時后一組擺的振幅最小.該運動的時序圖以及擺1和2的李薩如圖形如圖 5(c)和圖 5(d)所示.其三，固定擺 1和2，反方向偏轉擺3和4再同時釋放，實驗現(xiàn)象也與上述現(xiàn)象相似，該運動的時序圖以及擺1和3的李薩如圖形如圖5(e)和圖5(f)所示.其四，固定擺1和4，將擺2和3同方向偏轉相同的角度然后同時釋放，可見擺1和4為一組，擺2和3為一組，兩組擺進行同相振動，當擺1和4擺振幅達到極大值時擺2和3的振幅最小，該運動的時序圖以及擺1和2的李薩如圖形如圖5(g)和圖 5(h)所示.其余組合的同相振動類似，不做重復描述.

圖5 四個復合擺耦合實驗時序圖及振幅關系圖

圖5 四個復合擺耦合實驗時序圖及振幅關系圖(續(xù))

3 實驗結論

利用視頻跟蹤技術和 Tracker軟件，通過運動時序圖和李薩如圖形展示了不同擺動的形式.發(fā)現(xiàn)4個擺耦合運動的規(guī)律：初始偏移平衡位置的兩個擺形成一組，按照與它們的初始條件相同的形式進行運動(初始反向偏移則反相振動，初始同向偏移則同相振動)，而初始固定的兩個擺形成一組，以同樣的狀態(tài)運動.這兩組擺中的一組振幅最大時另一組的振幅最小，從李薩如圖中可以看出它們產(chǎn)生拍振和能量的轉移.這些實驗有助于學生更好地理解簡諧振動和耦合振動.

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V216.2+2

A

10.6052/1000-0879-17-256

2017–07–19收到第1稿，2017–10–19 收到修改稿.

1)E-mail:fangh@hitwh.edu.cn

周成博,宋一諾,范光華.復合擺和耦合擺運動的可視化.力學與實踐,2017,39(6):641-647

Zhou Chengbo,Song Yinuo,Fan Guanghua.Visualization of the vibration of compound pendulum and coupled pendulum.Mechanics in Engineering,2017,39(6):641-647

(責任編輯:周冬冬)