杜茂林 陳 平 王德榮

(解放軍理工大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院，南京210007)

太空拔河勝負(fù)再分析1)

杜茂林2)陳 平 王德榮

(解放軍理工大學(xué)國(guó)防工程學(xué)院，南京210007)

太空拔河宇航員的力氣定義為其對(duì)繩子的拉力.如果不計(jì)繩子質(zhì)量，力氣小者實(shí)際不能產(chǎn)生相對(duì)于繩子的前進(jìn)加速度.在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用宇航員和繩子的動(dòng)力學(xué)方程，對(duì)考慮和不考慮繩子質(zhì)量?jī)煞N情況進(jìn)行分析，得出力氣大者勝的結(jié)論.

太空拔河,質(zhì)心,力氣

在1982年出版的經(jīng)典教材《理論力學(xué)》[1]中，有一個(gè)有趣的動(dòng)力學(xué)例子 — 太空拔河.問(wèn)題為：兩宇航員在太空中拔河，他們的質(zhì)量和力氣不同，則勝負(fù)如何？?jī)捎詈絾T和繩子組成的質(zhì)點(diǎn)系不受外力，是說(shuō)明系統(tǒng)動(dòng)量守恒的一個(gè)很好的例子.該例為一些常用著名教材[23]所采用.因初始時(shí)刻系統(tǒng)靜止，質(zhì)心保持不動(dòng)，兩拔河者同時(shí)到達(dá)質(zhì)心處[3].這些教材中關(guān)于動(dòng)量守恒和質(zhì)心不動(dòng)的論述，無(wú)疑是正確的.然而，在課堂上學(xué)生們常常會(huì)對(duì)勝負(fù)問(wèn)題產(chǎn)生辯論.其關(guān)鍵是繩子的運(yùn)動(dòng).通過(guò)觀察繩子上的標(biāo)志點(diǎn)相對(duì)于太空中的固定點(diǎn)的位置變化，來(lái)得出勝負(fù).一種觀點(diǎn)為不分勝負(fù)，理由是質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心是不動(dòng)的，所以不分勝負(fù).但質(zhì)心不是繩子上的某個(gè)特定點(diǎn)，繩子是運(yùn)動(dòng)的.文獻(xiàn)[4]認(rèn)為質(zhì)量和力氣都是取勝的因素，通過(guò)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，給出了繩子的加速度公式.在該公式中，認(rèn)為力氣與拔河者相對(duì)于繩子的相對(duì)加速度有關(guān)，但沒(méi)有分析相對(duì)加速度產(chǎn)生的機(jī)理.本文把宇航員能夠給出的拉力定義為力氣，對(duì)繩子加速度進(jìn)行了分析，從而確定勝負(fù).

1 對(duì)不合理結(jié)論的討論

“不分勝負(fù)”、“拔河者的質(zhì)量是獲勝因素”和“力氣大者不能使出全部力氣”，是三種不合理的觀點(diǎn)，說(shuō)明如下.

1.1 不分勝負(fù)

宇航員A和B的質(zhì)量分別為mA和mB，且mA＜mB，如圖1所示.如果宇航員A的力氣比B大，那么勝負(fù)如何？文獻(xiàn)[4]指出了不分勝負(fù)結(jié)論是錯(cuò)的，本文對(duì)質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心位置作一點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明.

圖1 太空拔河示意圖

雖然兩宇航員和繩子組成的質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心位置不動(dòng)，但質(zhì)心一般不與繩子上的特定點(diǎn)重合，繩子是運(yùn)動(dòng)的.系統(tǒng)初始時(shí)刻靜止，繩子上的星號(hào)標(biāo)記與太空中三角形固定點(diǎn)對(duì)準(zhǔn).設(shè)初始時(shí)刻，繩子上的星號(hào)標(biāo)記與系統(tǒng)質(zhì)心 O重合.如果宇航員 B只是把繩子綁住身體，而不用手拉動(dòng)繩子，由宇航員A拉動(dòng)繩子，繩子必然和宇航員B一起向宇航員A的方向移動(dòng)，但系統(tǒng)質(zhì)心不動(dòng).為了說(shuō)明質(zhì)心位置不一定與質(zhì)點(diǎn)系中的某一特定質(zhì)點(diǎn)重合，再看一個(gè)更明顯的例子.如圖2所示，用銷(xiāo)釘連接的質(zhì)量尺寸相同的兩均質(zhì)桿，在左圖位形時(shí)，質(zhì)心O與連接兩桿的銷(xiāo)釘重合；而在右圖位形時(shí)，質(zhì)心O1與銷(xiāo)釘以及系統(tǒng)中的任何實(shí)體質(zhì)點(diǎn)都不再重合.

圖2 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心位置的變化

1.2 力氣大者不能使出全部力氣

在對(duì)“不分勝負(fù)”解釋中，同時(shí)指出“A要受到B的限制，A無(wú)法使出全部力氣”[2].如上所述，如果宇航員B只是把繩子綁住身體，而不用手拉動(dòng)繩子，由宇航員A全力拉動(dòng)繩子.宇航員B使出的力氣為零，不計(jì)繩子質(zhì)量，兩宇航員受力大小相等.如果按照“A要受到B的限制”的說(shuō)法，A使出的力氣也為零.因此，這種觀點(diǎn)不正確.

1.3 拔河者的質(zhì)量是獲勝因素[4]

文獻(xiàn)[4]給出了繩子的加速度公式

其中arA和arB分別為A和B相對(duì)于繩子的加速度，如圖 3所示.只要 arB/=0，mBarB＞mAarA時(shí)，B獲勝.實(shí)際上，需要對(duì)式(1)中相對(duì)加速度作進(jìn)一步分析.我們知道，一個(gè)在單杠上做引體向上的人，當(dāng)其力氣不足以克服自身重力(力氣小于重力)時(shí)，他只能是掛在單杠上，身體不能產(chǎn)生向上的加速度.單杠對(duì)手的作用力，等于身體的重力.同樣，不計(jì)繩子質(zhì)量，兩拔河者受力相等，力氣小者不足以克服由于繩子拉動(dòng)而產(chǎn)生的自身向后的慣性力.或者說(shuō)，不打滑時(shí)，力氣小者就相當(dāng)于掛在繩子上，不能產(chǎn)生相對(duì)加速度.

圖3 系統(tǒng)加速度[4]

2 考慮繩子質(zhì)量

2.1 動(dòng)力學(xué)方程

設(shè)宇航員A和B能使出的力氣分別為PA和PB，且 PA＞PB，繩子的質(zhì)量為m繩.宇航員A手與繩子之間不打滑.繩子、A和B的受力如圖4所示.但可以等于或大于PB.

圖4 拔河者受力分析

2.2 力氣大者勝

由式(4)可見(jiàn)，只要A的力氣比B的力氣大，繩子的加速度必大于零，A勝；當(dāng)A的力氣與B的力氣相等時(shí)，繩子的加速度為零，平局.

2.2.1 力氣小者手與繩子打滑情況

若 (PA?FB)/m繩＞ FB/mB，即 a繩＞ aB，其中FB為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力.以B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)坐標(biāo)系建立在繩子上.由加速度合成定理aB=a繩+arB，參照?qǐng)D3，向aB方向投影，得

B的相對(duì)加速度方向與圖3所示相反.2.2.2力氣小者手與繩子不打滑情況

首先，B的力氣小得不多，仍能產(chǎn)生相對(duì)于繩子正的相對(duì)加速度(與圖3所示方向相同的相對(duì)加速度)

其中，aB=FB/mB=PB/mB,a繩=(PA?PB)/m繩.設(shè)B質(zhì)量是繩子質(zhì)量的k倍，即mB=km繩

又PB＜PA，所以

設(shè)k=20

其次，B力氣小到不能產(chǎn)生相對(duì)于繩子正的相對(duì)加速度，即B的力氣不能保證式(8)條件，但手與繩子不打滑，相當(dāng)于把繩子綁到B上(FB＞PB)，則

3 繩質(zhì)量不計(jì)

(1)如果B與繩子之間打滑，由式(4)可知

(2)如果B與繩子之間不打滑

由式(11)可知

以A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)坐標(biāo)系建立在繩子上.由加速度合成定理aA=a繩+arA，參照?qǐng)D3，向aA方向投影，得

4 結(jié)論

太空拔河勝負(fù)從觀察繩子上的標(biāo)志相對(duì)于固定點(diǎn)的位置變化得到結(jié)果，力氣大者勝.不計(jì)繩子質(zhì)量，力氣小的拔河者，相對(duì)于繩子不能產(chǎn)生相對(duì)加速度，相當(dāng)于被綁在繩子上.

1朱照宣,周起釗,尹金生.理論力學(xué) (下冊(cè)).北京:北京大學(xué)出版社,1982

2范欽珊主編.工程力學(xué)教程(III).北京:高等教育出版社,1998

3李俊峰,張雄主編.理論力學(xué) (第 2版).北京:清華大學(xué)出版社,2010

4杜茂林.太空撥河勝負(fù)分析.力學(xué)與實(shí)踐,2006,28(3):77-78

O313.2

A

10.6052/1000-0879-16-417

2016–12–21收到第1稿，2016–12–29 收到修改稿.

1)國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51321064).

2)E-mail:dumaolindml@163.com

杜茂林,陳平,王德榮.太空拔河勝負(fù)再分析.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(6):638-640

Du Maolin,Chen Ping,Wang Derong.Reconsidering the outcome of a tug-of-war in space.Mechanics in Engineering,2017,39(6):638-640

(責(zé)任編輯:胡 漫)