王先智

(上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院,上海200240)

斯托克斯阻力公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)

王先智1)

(上海交通大學(xué)物理與天文學(xué)院,上海200240)

斯托克斯阻力公式的傳統(tǒng)推導(dǎo)有些復(fù)雜.本文根據(jù)線性齊次微分方程所滿足的疊加原理提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的推導(dǎo).由于斯托克斯方程是一個(gè)二階線性偏微分方程，根據(jù)球表面的兩個(gè)速度分量條件，方程應(yīng)該有兩個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解，這兩個(gè)解應(yīng)該構(gòu)成方程的基本解組，它們的線性組合應(yīng)該就是方程的通解.使用拉普拉斯方程的解以及量綱分析,找到了這兩個(gè)解.這兩個(gè)解的線性組合就是斯托克斯問(wèn)題的解.

斯托克斯方程，拉普拉斯方程，量綱分析,疊加原理

流體力學(xué)里最重要的問(wèn)題之一就是斯托克斯問(wèn)題[1]，即確定在無(wú)限大的不可壓縮流體里作緩慢的勻速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)剛球所受到的阻力.據(jù)我們所知，存在3種解法.第1種解法就是斯托克斯流函數(shù)法[13]，即首先推導(dǎo)斯托克斯流函數(shù)所滿足的方程，然后求解該方程.第2種解法就是球諧函數(shù)展開法[2].第3種解法就是矢量勢(shì)法[4]，即利用不可壓縮流體的連續(xù)性方程，把流體速度表示為矢量勢(shì)的旋度.我們?cè)诹黧w力學(xué)本科教學(xué)中注意到，本科生對(duì)這三種推導(dǎo)的理解比較困難，因此有必要發(fā)展一種簡(jiǎn)單的解法[59].本文根據(jù)線性齊次微分方程所滿足的疊加原理提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的線性疊加解法.

對(duì)于不可壓縮流體的定常流動(dòng)，納維--斯托克斯方程為

式中ρ為流體密度，η為剪切黏滯系數(shù).連續(xù)性方程為

在球緩慢運(yùn)動(dòng)的情況下，可以略去納維--斯托克斯方程中的慣性項(xiàng)，方程成為線性方程(稱為斯托克斯方程)，即

取方程(3)的散度，并使用連續(xù)性方程(2)，我們發(fā)現(xiàn)壓強(qiáng)滿足拉普拉斯方程，即

取方程(3)的旋度，我們發(fā)現(xiàn)渦量?=?×v滿足拉普拉斯方程，即

使用球坐標(biāo) (r,θ,?). 把原點(diǎn)取在球心的瞬時(shí)位置上，z軸平行于球的速度，即 U = Uez=U(ercosθ?eθsinθ). 這里 ez，er和 eθ是單位矢量.由于斯托克斯流動(dòng)是軸對(duì)稱流動(dòng)，流體速度和壓強(qiáng)可以分別表示為 v=ervr(r,θ)+eθvθ(r,θ)，P=P(r,θ).因此連續(xù)性方程?·v=0化簡(jiǎn)為

從上式可以定義斯托克斯流函數(shù)ψ(r,θ)，流體速度可以表示為

邊界條件為

式中a為球的半徑，P0為常數(shù).

把方程(7)代入條件(8)得

上式建議了斯托克斯流函數(shù)可能的形式

式中f(r)為一個(gè)待定函數(shù).

現(xiàn)在我們使用線性齊次微分方程所滿足的疊加原理來(lái)求解斯托克斯問(wèn)題.任何線性齊次微分方程都滿足疊加原理[9]，即任何線性齊次微分方程的任意數(shù)目的解的任意線性組合都是方程的解.為了得到一些具體線索，我們首先回憶一下齊次線性常微分方程理論[10].n階齊次線性常微分方程定義為

可以證明，n個(gè)初始條件導(dǎo)致解的存在與唯一性定理,以及n階線性齊次常微分方程有n個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解，它們構(gòu)成方程的基本解組，它們的任意線性組合都是方程的通解.滿足n個(gè)初始條件的通解是唯一的[10].

現(xiàn)在回到斯托克斯問(wèn)題.既然n個(gè)初始條件導(dǎo)致n階線性齊次常微分方程有n個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解，而斯托克斯方程是一個(gè)二階線性偏微分方程，在球表面的邊界條件為 vr(r=a)=U cosθ和vθ(r=a)= ?U sinθ，那么根據(jù)球表面的這兩個(gè)速度分量條件,我們期望斯托克斯方程應(yīng)該有兩個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解，這兩個(gè)解應(yīng)該構(gòu)成方程的基本解組，它們的線性組合應(yīng)該就是方程的通解并且應(yīng)該滿足球表面的兩個(gè)速度分量條件.

現(xiàn)在我們來(lái)尋找斯托克斯方程的兩個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解.當(dāng)然，這兩個(gè)解需要滿足無(wú)限遠(yuǎn)處的速度條件和壓力條件,但不滿足球表面的兩個(gè)速度分量條件.

從方程 (5)，我們馬上發(fā)現(xiàn)，無(wú)旋流動(dòng) ? =?×v=0是斯托克斯方程(3)的一個(gè)解.眾所周知[24]，無(wú)旋流動(dòng)由速度勢(shì)Φ所確定，流體速度為v=?Φ.速度勢(shì)滿足拉普拉斯方程，即

在這種情況下，斯托克斯方程(3)化簡(jiǎn)為?P=0，解為P=const.無(wú)旋流動(dòng)解對(duì)流體壓強(qiáng)只不過(guò)貢獻(xiàn)了一個(gè)常數(shù).

拉普拉斯方程?2Φ=0的解為

式中Pl(cosθ)為勒讓德多項(xiàng)式，有P0(cosθ)=1和P1(cosθ)=cosθ,Cl和 Dl為常數(shù).

由球表面的邊界條件 vr(r=a) = U cosθ和 vθ(r=a)= ?U sinθ可知，速度勢(shì) Φ 只與P1(cosθ)=cosθ有關(guān)，即

相應(yīng)的流體速度和斯托克斯流函數(shù)分別為

現(xiàn)在我們尋找另一個(gè)解.拉普拉斯方程?2P=0的解為

式中Al和Bl為常數(shù).

由球表面的邊界條件 vr(r=a)=U cosθ和vθ(r=a)=?U sinθ以及斯托克斯方程(3)可知，壓強(qiáng)P 只與P1(cosθ)=cosθ有關(guān)，即

把方程(17)代入式(3)得

現(xiàn)在使用量綱分析來(lái)獲得一個(gè)解.我們注意到，r是一個(gè)有量綱的變量，而 θ是一個(gè)無(wú)量綱的變量，所以取r為基本量，而把其他物理量取為導(dǎo)出量[11].令 v和 ψ的量綱分別為 [v]=rβ和[ψ]=rα.這里 β 和 α 為待定常數(shù).使用 [?]=r?1和 [?2]=r?2，我們獲得

上式給出β=?1.使用方程(7)得

上式給出α=2+β=1.參考方程(10),我們獲得

式中E為待定常數(shù).

現(xiàn)在我們證明，式 (21)的確是方程(18)的解.把式(21)代入方程(18)的徑向分量方程

然后經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算，我們獲得

上面我們得到的斯托克斯方程的兩個(gè)解之一是無(wú)旋流動(dòng)解，其斯托克斯流函數(shù)ψ=?D1r?1sin2θ反比于r，另一個(gè)量綱分析解是有旋流動(dòng)解，其斯托克斯流函數(shù)ψ=Ersin2θ正比于r，這兩個(gè)斯托克斯流函數(shù)的比值不是常數(shù)，因此這兩個(gè)解是線性獨(dú)立的[10].所以這兩個(gè)解的線性組合就是斯托克斯方程的通解，即

式中的兩個(gè)待定常數(shù) E和 D1由邊界條件 (8)確定，即

應(yīng)力張量計(jì)算如下

把球表面上的所有面元所受到的力加起來(lái)就得到阻力，即

綜上所述，斯托克斯阻力公式的傳統(tǒng)推導(dǎo)有些復(fù)雜.本文根據(jù)線性齊次微分方程所滿足的疊加原理提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的推導(dǎo).既然 n個(gè)初始條件導(dǎo)致n階線性齊次常微分方程有n個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解，而斯托克斯方程是一個(gè)二階線性偏微分方程，根據(jù)球表面的兩個(gè)速度分量條件,我們期望方程應(yīng)該有兩個(gè)線性獨(dú)立的和完備的解，這兩個(gè)解應(yīng)該構(gòu)成方程的基本解組,它們的線性組合應(yīng)該就是方程的通解.使用拉普拉斯方程的解以及量綱分析，我們找到了這兩個(gè)解,這兩個(gè)解的線性組合就是斯托克斯問(wèn)題的解.

1 Stokes GG.On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums.Transaction of the Cambridge Philosophical Society,1851,9:8-106

2 Lamb H.Hydrodynamics.New York：Dover,1945

3 Milne-Thomsonm LM.Theoretical Hydrodynamics.London:MacMillan,1955

4 Landau LD,Lifshitz EM.Fluid Mechanics. London：Butter worth-Heinmann,1998

5姜楠．一個(gè)重要的流體力學(xué)基本概念．力學(xué)與實(shí)踐，2015，37(1)：119-12

6陳慶光，張明輝，朱緒力等．流體力學(xué)課程教學(xué)中幾個(gè)基本概念的教學(xué)方法．力學(xué)與實(shí)踐，2015，37(1)：138-141

7趙軍方.關(guān)于流體力學(xué)中的幾個(gè)基本概念的再解讀.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(3):296-298

8趙軍方,孫曉芳.用微元六面體推導(dǎo)流體力學(xué)基本方程時(shí)參考點(diǎn)的選擇.力學(xué)與實(shí)踐,2016,38(6):676-678

9柯朗R,希爾伯特 D.數(shù)學(xué)物理方法，第一卷.北京：科學(xué)出版社，1977

10四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)，第三冊(cè)第二分冊(cè).北京：人民教育出版社，1979

11 Kay JM,Nedderman RM.Fluid Mechanics and Transfer Processes.London:Cambridge,1985

O357

A

10.6052/1000-0879-17-169

2017–05–22收到第1稿，2017–08–01 收到修改稿.

1)王先智，教授，主要研究方向?yàn)榻y(tǒng)計(jì)物理.E-mail:xzwang@sjtu.edu.cn

王先智.斯托克斯阻力公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo).力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(6):617-619

Wang Xianzhi.A simple derivation of the Stokes formula of the drag.Mechanics in Engineering,2017,39(6):617-619

(責(zé)任編輯:周冬冬)