王曉軍 呂 敬 王 琪

?(常州工學院機械與車輛工程學院，江蘇常州213032)

?(北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100083)

多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學建模與分析
——動量(矩)定理的應用

王曉軍?,1)呂 敬?,2)王 琪?

?(常州工學院機械與車輛工程學院，江蘇常州213032)

?(北京航空航天大學航空科學與工程學院，北京100083)

應用質(zhì)點系的動量定理和相對動點的動量矩定理，建立了多個節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學方程.通過數(shù)值仿真，分析了其同步現(xiàn)象，并通過實驗給予了驗證.該問題可用于理論力學課堂教學，豐富教學內(nèi)容，增強學生理論聯(lián)系實際的能力.

節(jié)拍器，動量矩定理，耦合，同步

質(zhì)點系的動量定理和動量矩定理是理論力學教學基本內(nèi)容，可用于分析求解質(zhì)點系動力學問題，在運動特性分析方面有獨特的作用[1].在理論力學的教學中，很多教材都介紹了在慣性參考系下對固定點的動量矩定理和相對動點的動量矩定理[25]；一些教改論文還對相對動點的動量矩定理及其應用做了深入地探討[58]，相對動點的動量矩定理易用于研究某些實際問題[2,5,910].目前，在理論力學教材中，或在課堂教學中，均有關于質(zhì)點系動量 (矩)定理應用的實例.若進一步補充既有動力學建模，又有數(shù)值仿真和實物實驗的應用實例，則更有助于提高學生綜合應用所學知識以及分析問題和解決問題的能力.

本文以多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)(如圖1所示)作為質(zhì)點系動量(矩)定理的應用實例.首先，根據(jù)單個節(jié)拍器的實驗現(xiàn)象和機械結構，建立單個節(jié)拍器簡化的力學模型；然后，應用質(zhì)點系的動量定理和相對動點的動量矩定理建立多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學方程；最后，通過數(shù)值仿真和實物實驗再現(xiàn)并分析該系統(tǒng)運動的同步現(xiàn)象.

圖1 三個節(jié)拍器耦合系統(tǒng)

1 系統(tǒng)的力學模型及其動力學方程

1.1 單個節(jié)拍器的力學模型及其動力學方程

設節(jié)拍器的擺桿為相對其支座轉軸O作定軸轉動的剛體(圖2所示)，其中：支座質(zhì)量為mt，擺桿質(zhì)量為mR，擺桿質(zhì)心為點C，偏心距為L，繞O軸的回轉半徑為ρ，擺桿與鉛垂線的夾角為θ.

根據(jù)節(jié)拍器的結構特性和節(jié)拍器的實物實驗可知，當擺桿在某些范圍內(nèi)運動時，節(jié)拍器的擒縱機構會對擺桿施加一個驅(qū)動力矩MD，其數(shù)學模型可簡化為

圖2 節(jié)拍器模型

式中β2＞β1＞0,MOD為常量.

若 β1=0,式 (1)所示模型與文獻[11-12]給出的模型相同.但我們在實驗中發(fā)現(xiàn)，當節(jié)拍器擺桿的擺角較小時，驅(qū)動力矩MD為零.

擺桿還受到阻力矩作用，將其視為線性阻尼力矩[11-12]

式中ci為阻尼系數(shù).

若節(jié)拍器支座固定不動，則應用對固定點的動量矩定理，可得到擺桿的動力學方程

1.2 多個節(jié)拍器運動耦合的力學模型及其動力學方程

設多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)由n個節(jié)拍器與一個質(zhì)量為mT的平移滑板固連而成，如圖3所示.滑板放置在兩個小輪(忽略其質(zhì)量)上，滑板質(zhì)心CO的水平坐標為x，其上受到水平阻尼力[1112]FR=?cR˙x的作用(cR為滑板的阻尼系數(shù)).

圖3 多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)模型

應用質(zhì)點系的動量定理，可得該耦合系統(tǒng)的動力學方程(動量形式)

根據(jù)相對動點的動量矩定理，擺桿i繞軸Oi轉動的動力學方程為

式中PMOi為作用在擺桿i上所有外力對Oi軸之矩的代數(shù)和；MIOi是牽連慣性力?mRiaOi對Oi軸之矩 (aOi為滑板的加速度)，該力矩體現(xiàn)了節(jié)拍器間的慣性耦合.由上式可得第i個節(jié)拍器擺桿的動力學方程

式(4)和式(6)為該多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學方程.

2 數(shù)值仿真算例

系統(tǒng)參數(shù):mR=0.1kg,mt=mT=0.2kg,ρi=0.02m,Li=6.5mm,β2=0.2rad,β1=0.1rad,ci=2.0 × 10?5N·m·s/rad,cR=1.0 × 10?5N·s/m,MODi=1.5N·mm.

算例1 單個節(jié)拍器的動力學仿真

設單個節(jié)拍器固定放置在水平地面上，擺桿的初始條件為θ0=0.6rad,˙θ0=0.0rad/s.情況1：節(jié)拍器無擾動力矩作用；情況2：節(jié)拍器在t∈[0.7,1.7]時受到擾動力矩 Md=0.002N·m 的作用.圖 4給出了上述兩種情況下擺桿擺角的時間歷程.圖中虛線為無擾動力矩作用時擺桿擺角的運動情況，實線為有擾動力矩作用時擺桿擺角的運動情況.由圖可見，擾動力矩的作用改變了擺桿振動的振幅和相位.在這兩種情況下，由于阻尼的作用，擺桿的振幅逐步趨于相同，但引起了相位差.數(shù)值仿真單擺的振幅和周期與實物實驗吻合.

圖4 單個節(jié)拍器擺角的時間歷程

算例2 多個節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學仿真

設n個節(jié)拍器固定放置在可沿水平方向平移的滑板上，滑板和節(jié)拍器的參數(shù)同上.

當n=2時，設初始條件分別為θ01=0.6rad，˙θ01=0.0rad/s，θ02=?0.3rad,˙θ02=0.0rad/s.圖 5(a)為 θ1(實線)和 θ2(虛線)的時間歷程，圖5(b)為兩個擺桿的擺角相位差 Δθ=θ1?θ2的時間歷程.可見兩個節(jié)拍器的運動最終實現(xiàn)了同步.初始時段，擺桿運動不同步，作用在其桿上的力矩和也不同，如圖5(c)所示(實線為M1的時間歷程，虛線為M2的時間歷程)；在該力矩的作用下，使得擺桿的擺角不斷調(diào)整，經(jīng)過一段時間后，兩個擺桿的運動達到了同步，此時作用在其上的M1和M2也相同，如圖5(d)所示，進而保持了系統(tǒng)的同步運動.

圖5 2個節(jié)拍器耦合系統(tǒng)

當n=3時，初始角度分別為：θ01=0.6rad，θ02=?0.4rad，θ03=?0.5rad，初始角速度均為零.圖6給出了數(shù)值仿真的時間歷程，由該圖可知，3個節(jié)拍器最終達到同步運動，圖1為3個節(jié)拍器達到同步時的實驗照片.上述仿真結果均與實物實驗的運動特性吻合.

圖6 3個節(jié)拍器耦合系統(tǒng)Φ的時間歷程圖

值得指出的是，多個節(jié)拍器耦合系統(tǒng)有豐富的動力學行為.兩個節(jié)拍器的耦合系統(tǒng)，不僅有同向同步 (如本文給出的運動)，還會有反向同步；三個節(jié)拍器的耦合系統(tǒng)還會出現(xiàn)混沌運動；具體是哪種運動形式，與系統(tǒng)的參數(shù)有關，也與系統(tǒng)的初始條件有關；詳細仿真與分析可參閱文獻[11-12].

本文將多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)作為質(zhì)點系動量(矩)定理的應用實例，在課堂教學的實施過程中有以下特點：(1)該系統(tǒng)易于在課堂上演示，其力學現(xiàn)象易激發(fā)學生的興趣；(2)通過講解該系統(tǒng)動力學建模過程，有助于進一步提高學生分析和解決問題的能力；(3)通過數(shù)值仿真與實物實驗在課堂上的演示與對比，可說明模型建立的合理性.綜上所述，在課堂教學中講解該系統(tǒng)的動力學建模與仿真分析過程，在某種程度上能讓學生體會解決實際問題的全過程，有助于培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際的能力和綜合應用所學知識解決實際問題的能力.

1賈書惠,質(zhì)系動量矩定理應用二例.力學與實踐，2003,25(5):64-66

2劉延柱,楊海興,朱本華.理論力學，第 2版.北京：高等教育出版社，2001

3謝傳鋒,王琪.理論力學.北京：高等教育出版社，2014

4朱照宣,周起釗,殷金生.理論力學 (下).北京:北京大學出版社，1994

5杜茂林,方秦,陳國良.建議不引入對動點的絕對動量矩定理.力學與實踐,2008,25(4):189-191

6朱仁貴.對動點的動量矩定理在剛體平動中的應用.力學與實踐，2013,35(1):80-82

7周又和.關于“動矩心”的幾種動量矩定理的一致性.力學與實踐，1990,12(1):59-61

8梅鳳翔，關于對動點的動量矩定理——理論力學札記之八.力學與實踐,2011,33(3):67-69

9吳海龍,滾仰式穩(wěn)定平臺質(zhì)量不平衡分析.西安交通大學學報.2015,49(5):108-115

10劉延柱,趣談半爿自行車.力學與實踐,2016,38(4):467-468

11 Kapitaniak M,Czolczynski1 K,Perlikowski P,et al.Synchronization of clocks.Physics Report,2012,517(1-2):1-69 12 Czolczynski K,Perlikowski P,Stefanski A,et al.Clustering of Huygens’clocks.Progress of Theoretical Physics,2009,122(4):1027-1033

O313

A

10.6052/1000-0879-17-337

2017–09–28收到第1稿，2017–11–08 收到修改稿.

1)王曉軍，副教授，主要研究方向為動力學與控制.E-mail:wangxiaojunpz@163.com

2)呂敬,通訊作者，副教授，主要研究方向為動力學與控制.E-mail:lvjing@buaa.edu.cn

王曉軍,呂敬,王琪.多節(jié)拍器耦合系統(tǒng)的動力學建模與分析——動量(矩)定理的應用.力學與實踐,2017,39(6):606-609

Wang Xiaojun,Lu¨ Jing,Wang Qi.Dynamic modeling and analysis of multi-metronome coupling systems—application of momentum(angular momentum)theorem.Mechanics in Engineering,2017,39(6):606-609

(責任編輯:胡 漫)