蔡井偉，陳 萍，梅 霞

（1.江蘇農(nóng)林職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 鎮(zhèn)江 212400；2.南京理工大學(xué) 理學(xué)院，南京 210094）

0 引言

擴(kuò)散模型在金融統(tǒng)計(jì)中已發(fā)揮重要作用。迄今為止，擴(kuò)散模型的統(tǒng)計(jì)推斷依然是統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融數(shù)學(xué)以及計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)關(guān)注的一個(gè)焦點(diǎn)。

考慮如下的一類(lèi)擴(kuò)散模型：

眾所周知，波動(dòng)率（擴(kuò)散函數(shù)）在衍生證券定價(jià)中是非常重要的，其正確估計(jì)是合理定價(jià)衍生證券的基礎(chǔ)。鑒于非參數(shù)方法在模型設(shè)定中所體現(xiàn)出的穩(wěn)健性和準(zhǔn)確性，很多學(xué)者用這種方法來(lái)估計(jì)波動(dòng)率。然而，大多數(shù)波動(dòng)率的非參數(shù)估計(jì)工作都是圍繞積分波動(dòng)率而展開(kāi)的[1-4]，一般地，積分波動(dòng)率可以被定義為這里T是時(shí)間跨度。最近，越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始考慮瞬時(shí)波動(dòng)率（即期波動(dòng)率）的估計(jì)問(wèn)題[5,6]。繼積分波動(dòng)率之后，瞬時(shí)波動(dòng)率推理問(wèn)題已經(jīng)成為回歸動(dòng)態(tài)研究方面的一個(gè)熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[7]用兩步平滑的技巧研究了狀態(tài)相依擴(kuò)散模型漂移函數(shù)和擴(kuò)散函數(shù)的估計(jì)問(wèn)題，給出了穩(wěn)健又可靠的瞬時(shí)波動(dòng)率估計(jì)量。

本文利用兩步平滑的技巧考慮了時(shí)間相依擴(kuò)散模型瞬時(shí)波動(dòng)率的估計(jì)問(wèn)題并得出了估計(jì)量的一致性和漸近正態(tài)性。與文獻(xiàn)[7]中考慮的狀態(tài)相依擴(kuò)散模型不同，這里考慮的隨機(jī)模型是時(shí)間相依的。文中兩步平滑估計(jì)量的收斂率是是兩個(gè)相鄰樣本觀察值間的時(shí)距；ε是第一步平滑的時(shí)間跨度，當(dāng)δ→0時(shí),ε→0；b是核函數(shù)的帶寬），該收斂率優(yōu)于（文獻(xiàn)[8，9]中估計(jì)量所得到的收斂率）。

1 瞬時(shí)波動(dòng)率的非參數(shù)估計(jì)

考慮任意的一個(gè)分劃：0=t0＜t1＜t2＜…＜tn=T，對(duì)于任意的正整數(shù)i（0≤ i≤n），定義 δi=ti-ti-1。為了討論的方便，假設(shè)樣本觀察值是等距選取的，這樣兩個(gè)相鄰樣本觀察值間的時(shí)距可以表示為：δ=T n，因此有：ti=iT n。

定義：

給定i（0≤ i≤n），再定義：

這里：

下面給出必須的一些技術(shù)條件，它們?cè)诓▌?dòng)率的估計(jì)中是很常見(jiàn)的。

T1：過(guò)程{μt}t≥0二階可微并可測(cè)的,即：

T2：過(guò)程{σt}t≥0是可微的且滿(mǎn)足：

和

T3：帶寬b 滿(mǎn)足b～δ12/log（1/δ）

T4：核函數(shù) K（?）是支撐集為 [-1，1]的二階可微的函數(shù)且滿(mǎn)足：

2 估計(jì)量的一致性和漸近正態(tài)性

定理1：假設(shè)條件T3和T4成立,則對(duì)于任意的t∈[0，T]，有：

證明：

這里：

為了便于推理，這里假設(shè)μ=0（對(duì)于μ≠0的情形，會(huì)得出相同的結(jié)果，只不過(guò)增加了一些冗繁的計(jì)算而已）。這樣就有：

明顯地：

利用分部積分法有：

這 里 Ui，j～N（0，1）。 給 定 任 意 的 i ，當(dāng) j≠k 時(shí) ，是相互獨(dú)立的。從而容易得到E[C]=0。

令：

則：

進(jìn)一步地：

定理3：在條件T1-T4下，給定：

和

則有：

證明：由定理2的證明知：

對(duì)于F2，有：

上面的最后一個(gè)等式之所以成立，是由于ε=oP（b）以及是單調(diào)遞增的函數(shù)。

令：

則：

所以：

忽略高階無(wú)窮小的影響,有：

進(jìn)而：

由帶有Lyapunov條件的Lindberg定理可知：

進(jìn)一步地有：

3 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用于狀態(tài)相依擴(kuò)散模型的兩步平滑的技巧同樣可以應(yīng)用于時(shí)間相依擴(kuò)散模型。應(yīng)用該技巧所得波動(dòng)率的估計(jì)量是真實(shí)函數(shù)的一致估計(jì)量且是漸近正態(tài)的，估計(jì)的精度（從收斂率方面考慮）相較于一步平滑的方法也有所提高。

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