郭 婧，何幼樺

（上海大學(xué) 理學(xué)院，上海 200444）

0 引言

傳統(tǒng)的線性回歸模型是對響應(yīng)變量的條件均值進行建模，它描述了解釋變量在均值上對響應(yīng)變量的影響。用普通最小二乘方法對回歸參數(shù)進行統(tǒng)計分析要求模型的誤差項的分布具有正態(tài)假設(shè)。但很多實際經(jīng)濟金融數(shù)據(jù)常常并不滿足這些假設(shè)，例如數(shù)據(jù)出現(xiàn)尖峰或厚尾的分布，存在顯著的異方差性以及不對稱性等。此時的最小二乘法估計將不再具有穩(wěn)健性。為了能夠更好地刻畫解釋變量在分布各個位置上對被解釋變量的影響，以及在數(shù)據(jù)不滿足均值回歸的假設(shè)時提高估計的穩(wěn)健性，Koenker和Bassett（1978）[1]提出了分位數(shù)回歸的思想。他們在模型中將響應(yīng)變量的條件分位數(shù)表示為協(xié)變量的線性函數(shù)，通過最小化樣本的絕對殘差的非對稱函數(shù)，得到隨機變量y的條件分位數(shù)的估計。類似于一般的線性模型，分位數(shù)回歸模型對誤差項的分布也有相應(yīng)的假設(shè)：對于固定的分位數(shù)，誤差項的條件分位數(shù)為零。

在分位數(shù)模型的基礎(chǔ)上，R.Koenker和Z.Xiao（2006）[2]提出了分位數(shù)自回歸模型，給出了模型的估計方法,以及在不同分位數(shù)上的平穩(wěn)性檢驗統(tǒng)計量。Hideo Kozumi和Genya Kobayashi（2011）[3]最先給出了分位數(shù)回歸有效的Gibbs抽樣方法。而在實際應(yīng)用方面,陳耀輝等（2015）[4]使用分位數(shù)回歸基本思想,引入自回歸分布滯后效應(yīng)，借助非對稱Laplace分布進行貝葉斯估計，構(gòu)建基于Gibbs抽樣的貝葉斯自回歸分布滯后分位數(shù)回歸模型。之前學(xué)者對各類分位數(shù)模型的研究表明，使用貝葉斯方法可以很好地解決該類模型復(fù)雜的參數(shù)估計問題。

近二十年來,關(guān)于變點問題研究在理論和應(yīng)用等方面都有了快速的發(fā)展。LY Vostrikova（1981）[5]提出的二分分段法能夠同時檢測出變點的數(shù)量和位置，并能夠節(jié)省計算時間。陳希孺（1988）[6]利用局部法，研究了變點的檢驗問題；1991年又對變點問題的研究進行了綜述[7-10]。

近年來對于變點問題的貝葉斯方法研究，都是基于對聯(lián)合概率密度求積分而得到各個參數(shù)的邊際后驗。但是當(dāng)模型比較復(fù)雜，或者對于分布假設(shè)更加一般的情況下，對聯(lián)合概率密度求積分的方法就不可行了。本文將研究分位數(shù)自回歸變點模型貝葉斯分析方法，由于假設(shè)分布的復(fù)雜性，擬采用MCMC抽樣方法得到參數(shù)的后驗分布。

1 模型

Koenker和Xiao（2006）[2]提出可以將分位數(shù)自回歸模型當(dāng)作特殊的隨機系數(shù)自回歸模型，考慮模型：

如果等式右邊的函數(shù)都關(guān)于隨機變量Ut單調(diào)遞增，具有函數(shù)依賴關(guān)系,并設(shè)隨機變量Ut～U（0，1），則上式可以寫為：

為解決滯后項之間的共線性問題，陳耀輝等（2015）[4]使用ADF檢驗的模型形式：

考慮有變點的分位數(shù)自回歸模型。假設(shè)序列在時刻k滯后項的回歸系數(shù)發(fā)生了突變，模型表示為：

設(shè)yt服從非對稱的拉普拉斯分布：

f（x;μ，σ，τ）=στ exp（- σρ（x- μ））

記為 x～ALD（μ，σ，τ）,其中0＜ τ＜1是偏度參數(shù),σ＞0是尺度參數(shù),-∞＜μ＜∞ 是位置參數(shù),函數(shù) ρτ（u）=u（τ-I（u≤0））。可以證明,如果隨機變量 x 服從 ALD（μ，σ.τ）,則有即位置參數(shù)μ就是分布的τ分位數(shù)。所以在序列yt服從ALD的假設(shè)下,估計模型的參數(shù)與求序列的τ分位數(shù)是等價的。

在序列存在變點的假設(shè)下,使用非對稱的拉普拉斯分布

2 貝葉斯分析

為了得到更容易抽樣的后驗分布,Tsionas（2003）[11]對非對稱的拉普拉斯分布進行了研究。如果一個隨機變量服從三參數(shù)的拉普拉斯分布,x～ALD（μ，σ，p）,那么 x可以等價表示成

得到給定參數(shù)下樣本的聯(lián)合密度函數(shù)：

所以參數(shù)的聯(lián)密度函數(shù)：

根據(jù)上述得到的參數(shù)聯(lián)合后驗密度函數(shù),結(jié)合文獻[4]和文獻[11]的計算結(jié)果,通過推導(dǎo)計算可以得到變點分位數(shù)模型各參數(shù)的后驗核密度函數(shù)。

2.1 回歸系數(shù) α1（α2）

假設(shè)先驗，α1～N（α10，Σ10），得到其后驗：

α2有類似的結(jié)論。

2.2 尺度參數(shù)參數(shù) σ1（σ2）

由于 zt|σ ～E（1 σ）,σ1的后驗:

π（σ1|y， α1， α2， k， zt）

即σ1服從逆伽馬分布有類似的結(jié)論。

2.3 參數(shù)zt

設(shè)zt的先驗分布為參數(shù)λ=1的指數(shù)分布,得到后驗:

其中:

即zt從廣義逆高斯分布

2.4 變點時刻k

假設(shè)k先驗密度為π（k）,則其后驗分布:

由于k的后驗核密度函數(shù)較復(fù)雜,所以在MCMC抽樣中k的抽取使用M-H方法。在各參數(shù)的滿條件分布的基礎(chǔ)上,給出了MCMC抽樣算法。

（6）計算接受概率

（7）從均勻分布 U（0，1）中抽取 ui,如果 ui＜a（k（*），k（i-1）），接受 k（*），記 k（i）=k（*）；否則，拒絕 k（*），記 k（i）=

（8）重復(fù)步驟（2）到步驟（7），直到完成設(shè)定的抽樣次數(shù)。

3 仿真模擬

3.1 仿真數(shù)據(jù)

為了驗證上述MCMC抽樣方法的有效性,在實證研究之前先進行仿真實驗。仿真數(shù)據(jù)根據(jù)模型產(chǎn)生：

其中,Ut～U（0，1）,滯后項階數(shù)為2,記樣本量為 n,每次抽樣變點時刻k設(shè)為n 2。模型變點前后僅滯后項系數(shù)之和 α1變化,變點前各個分位數(shù)上| α1（τ）|的值都小于1。而在變點之后,高分位數(shù)上| α1（τ）|接近甚至超過1。本文使用無信息先驗,選取τ=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,共9個分位數(shù)進行抽樣。

3.2 抽樣結(jié)果

在抽樣過程中,預(yù)設(shè)MCMC抽樣次數(shù)為2500次。截去前500數(shù)據(jù),使用后2000抽樣樣本對參數(shù)的后驗密度進行估計。為了驗證抽樣鏈條可以有效地估計參數(shù)的后驗密度,使用Geweke統(tǒng)計量[12]對MCMC抽樣鏈條的收斂性進行檢驗,檢驗方法是將抽樣鏈條作為時間序列數(shù)據(jù),取前10%數(shù)據(jù)作為子序列1,后50%數(shù)據(jù)作為子序列2,比較兩條子序列均值差異程度。檢驗統(tǒng)計量為:

其中μ1和μ1分別是兩序列的均值;N1和N1為兩子序列的樣本量;S1（·）和 S2（·）為兩子序列的譜密度函數(shù)估計。如果統(tǒng)計量絕對值大于2,就說明鏈條不收斂。表1給出了樣本量為500時變點時刻k在各分位數(shù)上抽樣鏈條的檢驗結(jié)果，表明鏈條均是收斂的。

表1 參數(shù)k抽樣鏈條的Geweke檢驗結(jié)果

圖1給出了樣本量為500時的抽樣結(jié)果,可以看出抽樣鏈條比較穩(wěn)定。

圖1 樣本量n=500時k在各分位數(shù)（tau）下的MCMC抽樣結(jié)果

表2給出了在樣本量分別為200、300和500時,在各分位數(shù)上變點相對位置k/n估計的均方誤差（MSE）。使用數(shù)據(jù)k/n是為了保證不同樣本量下得到估計結(jié)果的MSE的可比性。

表2 不同樣本量下抽樣鏈條的MSE

同之前所有分位數(shù)模型的估計方法一樣,當(dāng)樣本量較少時,在高低兩側(cè)分位數(shù)上會存在有效樣本量過少的問題。隨著樣本量增加，各分位數(shù)上的MSE明顯下降，而當(dāng)樣本量大于或等于500時，MSE已經(jīng)非常小了。

4 實證分析

4.1 數(shù)據(jù)

本文針對2013年8月底到2015年底的中小板綜合指數(shù)極差數(shù)據(jù)建立具有單個變點的分位數(shù)自回歸模型。在非主板市場中，中小板股票市場一直是波動性較大的板塊。從表3可以看出,相對于中小板綜指極差數(shù)據(jù)的均值,標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值表明了市場的波動性比較大;通過偏度和峰度可以知道數(shù)據(jù)具有右偏以及尖峰厚尾的性質(zhì)。而Jarque-Bera統(tǒng)計量在1%的水平上是顯著的,說明數(shù)據(jù)并不服從正態(tài)分布。而傳統(tǒng)條件均值模型無法刻畫出這些特征,對極端值也沒有很強的穩(wěn)健性。下頁圖2給出極差數(shù)據(jù)的時間圖。

表3 中小板極差數(shù)據(jù)基本描述統(tǒng)計量

圖2 中小板極差時間圖

根據(jù)Koenker和Xiao（2006）所使用BIC信息準(zhǔn)則對變量進行選擇。用4階分位數(shù)自回歸對數(shù)據(jù)進行建模是合適的（見表4）。

表4 BIC變量選擇

4.2 實證結(jié)果

在對實證數(shù)據(jù)建模時,MCMC抽樣次數(shù)預(yù)設(shè)為5000次,參數(shù)后驗密度使用鏈條后4000數(shù)據(jù)進行估計。

表5給出了對實證數(shù)據(jù)建模得到的估計結(jié)果（由于篇幅原因，表中只給出了變點時刻和各階滯后項系數(shù)之和，即模型單位根的估計值），表6是鏈條收斂性的Geweke檢驗結(jié)果。記變點時刻前的系數(shù)為 θ1=（a0，a1，a2，a3，a4）,變點時刻后的系數(shù)記為 θ2=（b0，b1，b2，b3，b4）。結(jié)果表明各參數(shù)的抽樣鏈條都是收斂的。

表5 估計結(jié)果

表6 參數(shù)k抽樣鏈條的Geweke檢驗結(jié)果

圖3表明，在高分位數(shù)上變點發(fā)生時刻較早,從0.6到0.9位數(shù)上均為2015年3月16日。而在從中間分位數(shù)一直到低分位數(shù)上,變點的估計時間滯后了一到四周,在最低分位數(shù)τ=0.1上為2015年4月14日。圖4畫出了在不同分位數(shù)上變點時刻前后的自回歸模型單位根的估計?？梢悦黠@地看出，在較高的分位數(shù)上，中小板極差數(shù)據(jù)有相應(yīng)較高的單位根；在變點后單位根（b1）比變點前（a1）大，并且在不同分位數(shù)上，表現(xiàn)出分位數(shù)越高差別越大的趨勢。在變點后的0.8和0.9分位數(shù)上，單位根已經(jīng)分別達到0.978和1.104。

圖3 在各分位數(shù)（tau）上變點時刻k的估計結(jié)果

圖4 在各個分位數(shù)（tau）上變點時刻前后單位根的估計結(jié)果

5 結(jié)果分析

不同于主板市場,中小板市場通常會出現(xiàn)比如信息披露不及時、公司利潤數(shù)據(jù)造假以及一直較高的IPO抑價率等現(xiàn)象,所以對于中小板市場的學(xué)術(shù)研究大多都關(guān)注于該市場收益的波動性。作為我國資本市場的重要組成部分,中小板市場給企業(yè)和投資者帶來了更多的直接融資和投資的機會。也正因為如此,該市場投機氛圍對市場波動性的影響也一直受到廣泛關(guān)注。

對圖3和圖4中估計結(jié)果的解釋如下:隨著分位數(shù)的增高,各自回歸項系數(shù)之和增大,說明在波動性增加的情況下,市場的大幅波動有更強的滯后性,并且伴隨著更高的膨脹（單位根非平穩(wěn)）性,突變也較早地發(fā)生在高分位數(shù),即在市場波動較大時;在低分位數(shù)上,自回歸滯后項系數(shù)相應(yīng)較小,說明市場在波動幅度較小時,波動程度的滯后性較弱,相應(yīng)檢測出的變點位置也更遲一些。

從高分位數(shù)到低分位數(shù)，對變點時刻的估計從2015年3月16日到4月14日。在這近一個月的時間內(nèi)，中小板綜指開啟了劇烈的漲勢。事實上從2015年初該指數(shù)已經(jīng)開始呈現(xiàn)較為平穩(wěn)的上漲趨勢，而投資者在此期間表現(xiàn)出非常積極的投機情緒。圖5是中小板綜指的成交量數(shù)據(jù)時間圖，圖中實心三角符表示對該板塊估計出的最早的變點時刻。

圖5 中小板綜指成交量數(shù)據(jù)時間圖

在變點時刻之前，指數(shù)的成交量數(shù)據(jù)從2014年下半年以來已經(jīng)處于漲勢，表明了市場的投機情緒一直處于積極上漲狀態(tài)，而市場的波動數(shù)據(jù)在各個分位數(shù)上是平穩(wěn)的（圖2）；而在變點時刻之后，成交量數(shù)據(jù)波動突然變大，說明了在這段時間內(nèi)，投資者的投機情緒是十分不穩(wěn)定的。數(shù)據(jù)向上和向下的波動幅度都很大，說明市場中同時存在正負(fù)兩向態(tài)度差別很大的投機情緒。由于不同態(tài)度的投資者對收益預(yù)期、風(fēng)險容忍度以及投資策略的異質(zhì)性給市場帶來了劇烈變化，在變點時刻之后市場的波動性開始大幅增加，特別是在高分位數(shù)上，數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性已經(jīng)被打破（圖4）。

6 總結(jié)

用分位數(shù)自回歸模型在對時間序列數(shù)據(jù)進行建模時，能較好地捕捉到數(shù)據(jù)動態(tài)的非對稱性，以及在長期保持平穩(wěn)的前提下，出現(xiàn)的局部單位根非平穩(wěn)現(xiàn)象。研究加入變點的分位數(shù)自回歸模型，不僅可以刻畫模型在不同分位數(shù)上結(jié)構(gòu)的突變情況，而且可以反映出數(shù)據(jù)的信息滯后性和非平穩(wěn)性在變點出現(xiàn)前后的差異。

由于分位數(shù)自回歸模型分布假設(shè)的復(fù)雜性，使得對加入變點之后的模型進行貝葉斯分析時，一般很難寫出各參數(shù)后驗分布的解析表達式。本文給出模型參數(shù)的MCMC抽樣算法，解決了這一問題。通過仿真實驗，驗證了MCMC抽樣方法對于分位數(shù)自回歸變點模型估計的有效性。

對于中小板綜指的極差數(shù)據(jù)，成功地檢測出了序列結(jié)構(gòu)在不同分位數(shù)上的突變時刻，并估計出變點前后各分位數(shù)上模型的滯后項系數(shù)，表明在變點時刻前后數(shù)據(jù)的信息滯后性和各分位數(shù)上的單位根非平穩(wěn)性的變化。結(jié)合中小板綜指的成交量數(shù)據(jù)，分析了在中小板市場投資者的投機情緒的變化和市場波動性突變之間的相互影響和作用，從市場投機層面解釋系數(shù)變點檢測結(jié)果的經(jīng)濟意義。

[1]Koenker Roger,Gilbert Bassett.Regression Quantiles[J].Econometri?ca,1978,46（1）.

[2]Koenker Roger,Xiao Z.Quantile Autoregression[J].Journal of the American Statistical Association,2006,101（475）.

[3]Hideo Kozumi,Genya Kobayashi.Gibbs Sampling Methods for Bayes?ian Quantile Regression[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2011,81（11）.

[4]陳耀輝,郭俊峰,殷文超.人民幣升值對中小板市場波動的影響——基于貝葉斯分位數(shù)回歸的分析[J].系統(tǒng)工程,2015,33（1）.

[5]LY Vostrikova,Detecting’Disorder’in Multidimensional Random Processes[J].Soviet Mathemat-ics Doklady,1981,（24）.

[6]陳希孺.只有一個轉(zhuǎn)變點的模型的假設(shè)檢驗和區(qū)間估計[J].中國科學(xué),1988,（8）.

[7]宿成建,陳潔.應(yīng)用變點模型來研究滬深股股市波動性突變行為[J].重慶大學(xué)學(xué)報,2003,26（10）.

[8]葉五一,繆柏其,譚常春.基于分位點回歸模型變點檢測的金融傳染分析[J].數(shù)量經(jīng)濟技術(shù)經(jīng)濟研究,2007,24（10）.

[9]葉五一,繆柏其.基于Copula變點檢測的美國次級債金融危機傳染分析 [J].中國管理科學(xué),2009,17（3）.

[10]王維國,宿成建,王霞.基于貝葉斯推斷的上證指數(shù)突變點研究[J].中國管理科學(xué),2009,17（3）.

[11]Efthymios G.Tsionas.Bayesian Quantile Inference[J],Journal of Sta?tistical Computation and Simulation,2003,73（9）.

[12]J Geweke.Ecaluating the Accuracy of Sampling-based Approaches to the Calculation of Posterior Moments[J].Sta Report,1991,（4）.