扈保洪

1問(wèn)題呈現(xiàn)

命題1若n為正整數(shù)，則n+n+1+n+2為無(wú)理數(shù).

文[1]在證明命題1時(shí)，運(yùn)用了反證法，不妨摘錄其中的一段，如下：

“假設(shè)n+n+1+n+2為有理數(shù)，則存在互質(zhì)的正整數(shù)a和b，使n+n+1+n+2=ab，得n+1=ab-（n+n+2）.于是又得

n+1=（ab）2-2ab（n+2+n）+（n+n+2）2

=（ab）2-2ab（n+n+2）+n+n+2+

2n（n+2）……（1）”.

由于其后的證明過(guò)程迂回曲折，十分繁瑣，恕不抄錄.

筆者對(duì)文[1]的證法進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)該證明過(guò)程之所以冗長(zhǎng)繁瑣，是因?yàn)槠渲械哪承┘?xì)節(jié)處理不當(dāng)而產(chǎn)生了解題“繞彎”現(xiàn)象.那么，引發(fā)這種現(xiàn)象的具體原因是什么呢？

2分析診斷

先給出命題1的一個(gè)新證法：設(shè)n+n+1+n+2是有理數(shù)，且令n+n+1+n+2=k（k為正有理數(shù)），則n+1+n+2=k-n；①

①兩邊平方，得2n+3+2（n+1）（n+2）=k2-2kn+n ；②

由②移項(xiàng)，得2（n+1）（n+2）+2kn=k2-n-3 ；③

③兩邊平方，得4（n+1）（n+2）+

8kn（n+1）（n+2）+4k2n=（k2-n-3）2 .④

因?yàn)閗為正有理數(shù)，n為正整數(shù)，所以④表明n（n+1）（n+2）為有理數(shù).

考慮到兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的差為1，它們的最大公約數(shù)應(yīng)為其差1的約數(shù)，故n、n+2與n+1均互質(zhì)；而由n21），則n（n+1）（n+2）=a2b2，該式左邊與a2和b2互質(zhì)矛盾.因此，n+n+1+n+2不能是有理數(shù)，而應(yīng)為無(wú)理數(shù).

從上述的新證法來(lái)看，在證明命題1的過(guò)程中，關(guān)鍵是要減少根號(hào)的個(gè)數(shù)，從而促使問(wèn)題的迅速轉(zhuǎn)化.與命題1的上述新證法相比，盡管文[1]的證明思路也是如此，但它有兩點(diǎn)不當(dāng)之處：一是假設(shè)“n+n+1+n+2=ab”；二是把“n+n+1+n+2=ab”化為“n+1=ab-（n+n+2）”，然后通過(guò)平方去掉左邊的根號(hào).前者雖然是用反證法證明一個(gè)數(shù)為無(wú)理數(shù)時(shí)常用的假設(shè)形式，但根據(jù)命題1所含根號(hào)較多的特點(diǎn)，證明的關(guān)鍵在于要減少根號(hào)的個(gè)數(shù)，而不是要考察整數(shù)a與b之間的關(guān)系，反倒是“ab”使問(wèn)題的形式更加復(fù)雜化了；對(duì)于后者，其移項(xiàng)方法雖然屬于習(xí)慣做法，平方后也能去掉n+1=ab-（n+n+2）中左邊的根號(hào)，但卻使新等式中所含根號(hào)的總個(gè)數(shù)未能減少，因而導(dǎo)致以后的轉(zhuǎn)化過(guò)程更加艱難.分析造成這種狀況的原因，不難看出它是由思維定式的負(fù)效應(yīng)造成的.一般來(lái)說(shuō)，通性通法都有比較穩(wěn)固的思路和操作步驟，解題者在運(yùn)用通性通法解題時(shí)，往往會(huì)按照習(xí)慣了的思路或方式來(lái)進(jìn)行，但正是由于受這些習(xí)慣做法的負(fù)面影響，常常會(huì)使解題者的解題思路因循守舊、被動(dòng)模仿、生搬硬套，不能抓住細(xì)節(jié)隨機(jī)應(yīng)變，因而出現(xiàn)解題“繞彎”現(xiàn)象也就在所難免了.

3拓展延伸

對(duì)于與命題1類似的問(wèn)題，為了切實(shí)消除證明該類問(wèn)題時(shí)可能引發(fā)的解題“繞彎”現(xiàn)象，從而摸清其證法的規(guī)律性，提高解題的效率，筆者選擇了以下兩個(gè)命題進(jìn)行拓展延伸.

命題2若n為正整數(shù)，則3n+3n+1為無(wú)理數(shù).

思路分析利用反證法證明.先利用立方和公式把上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明3n（n+1）是無(wú)理數(shù)的問(wèn)題，再證明3n（n+1）是無(wú)理數(shù)即可.

證明設(shè)3n+3n+1=k（k為有理數(shù)），并兩邊立方，得2n+1+3k·3n（n+1）=k3 ，因易知k≠0，故該式表明3n（n+1）為有理數(shù).

因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)的正立方數(shù)之差大于1，所以n與n+1至少有一個(gè)不是立方數(shù)，又因?yàn)閚與n+1互質(zhì)，所以n（n+1）不是立方數(shù)，于是3n（n+1）不是整數(shù)；不妨令3n（n+1）=ba（a與b互質(zhì)，且a>1），得b3a3=n（n+1） ，該式顯然與a3、b3互質(zhì)矛盾.

因此，3n（n+1）應(yīng)是無(wú)理數(shù)，從而3n+3n+1也為無(wú)理數(shù).

命題3若n為正整數(shù)，則n+n+1+n+2+n+3為無(wú)理數(shù).

思路分析利用反證法證明.首先設(shè)n+n+1+n+2+n+3=2k（k為正有理數(shù)），但由于n+n+1+n+2+n+3=2k中所含根號(hào)較多，若通過(guò)對(duì)其兩端直接移項(xiàng)、再平方等措施來(lái)逐漸減少根號(hào)的個(gè)數(shù)，經(jīng)過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)，這是一種“繞彎”的思路，并不可??；其次考慮引入輔助元a（令n+3=a），把n+n+1+n+2+n+3=2k化為a2-3+a2-2+a2-1=2k-a，這樣先從形式上將根號(hào)減少到3個(gè)，再利用移項(xiàng)、平方等，則可進(jìn)一步減少根號(hào)的個(gè)數(shù)，直至推出矛盾.

證明（1）當(dāng)n+3為有理數(shù)時(shí)，根據(jù)上述命題1，知n+n+1+n+2+n+3為無(wú)理數(shù).

（2）當(dāng)n+3為無(wú)理數(shù)時(shí)，設(shè)n+n+1+n+2+n+3=2k（k為正有理數(shù)），且令n+3=a（a為正無(wú)理數(shù)），則有n=a2-3及n+n+1+n+2=2k-a.

兩式結(jié)合消去n ，得

a2-3+a2-2+a2-1=2k-a .①

把①式化為

img src="http://img1.qikan.com.cn/qkimages/zxsx/zxsx201706/zxsx20170622-1-l.jpg" alt="" />

a2-2+a2-1=（2k-a）-a2-3；②

把②式兩邊平方后，并整理，得

（a2-2）（a2-1）

=（2k2-2ka）-（2k-a）a2-3.③

把③式兩邊平方后，再整理，得[（4k3+2ka2）-6k2a]a2-3=（2k4+4k2a2-6k2-1）-（4k3+2ka2-6k）a ；④