仲維昆，屈泉酉，原勁鵬，武文斌

(1.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094; 2.中國(guó)兵器工業(yè)第203研究所，西安 710065)

基于高斯偽譜法的高超聲速飛行器再入制導(dǎo)研究

仲維昆1，屈泉酉1，原勁鵬1，武文斌2

(1.北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094; 2.中國(guó)兵器工業(yè)第203研究所，西安 710065)

針對(duì)高超聲速飛行器再入標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)方法中存在的制導(dǎo)準(zhǔn)備周期長(zhǎng)、彈上需存儲(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)軌跡參數(shù)、制導(dǎo)魯棒性較差等缺點(diǎn)，提出一種基于高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制技術(shù)相結(jié)合的高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方案;其中，在線高斯偽譜法采用縱/側(cè)向結(jié)合、全程一體化的制導(dǎo)算法思路，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高超聲速飛行器再入彈道的全程預(yù)測(cè)制導(dǎo);同時(shí)結(jié)合滾動(dòng)時(shí)域控制技術(shù)從工程上實(shí)現(xiàn)了高超聲速飛行器再入制導(dǎo)中對(duì)開(kāi)環(huán)制導(dǎo)信息的閉環(huán)應(yīng)用，完成了飛行器預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方案;通過(guò)對(duì)高超聲速飛行器再入制導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行仿真分析，結(jié)果表明應(yīng)用文章設(shè)計(jì)的基于高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制技術(shù)相結(jié)合的高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方案，飛行器再入過(guò)程中具有良好的制導(dǎo)性能。

高超聲速飛行器； 預(yù)測(cè)-校正； 高斯偽譜法； 滾動(dòng)時(shí)域控制

0 引言

高超聲速飛行器再入制導(dǎo)方法根據(jù)是否存儲(chǔ)制導(dǎo)信息可以分為標(biāo)準(zhǔn)軌跡制導(dǎo)方法和預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法兩大類(lèi)。預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法由于具有無(wú)需存儲(chǔ)標(biāo)稱(chēng)軌跡參數(shù)、制導(dǎo)魯棒性強(qiáng)以及制導(dǎo)準(zhǔn)備周期短等優(yōu)點(diǎn)，逐漸成為未來(lái)高超聲速飛行器再入制導(dǎo)發(fā)展的重點(diǎn)方向。文章將結(jié)合高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制方法，研究高超聲速飛行器再入一體化制導(dǎo)方案。這里的一體化是指兩方面，其一是再入飛行器縱/側(cè)向制導(dǎo)的一體化設(shè)計(jì)；其二是再入飛行器全程彈道無(wú)分段的一體化設(shè)計(jì)。飛行器再入過(guò)程中基于在線預(yù)測(cè)制導(dǎo)模型，應(yīng)用高斯偽譜法快速計(jì)算得到的縱/側(cè)向通道制導(dǎo)指令，結(jié)合滾動(dòng)時(shí)域控制技術(shù)不斷實(shí)時(shí)更新、輸出制導(dǎo)指令，完成有約束情況下的高超聲速飛行器再入制導(dǎo)[1]。

1 高斯偽譜法

高斯偽譜法是求解最優(yōu)控制方法中直接法的一種，又可稱(chēng)為正交配點(diǎn)法。它首先將原系統(tǒng)狀態(tài)變量以及控制變量在一系列的Gauss點(diǎn)上進(jìn)行離散化。其次應(yīng)用Largrange插值多項(xiàng)式對(duì)已離散的系統(tǒng)狀態(tài)變量及控制變量進(jìn)行擬合逼近。以此將原系統(tǒng)微分方程、約束方程等轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程約束。而原連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)也通過(guò)對(duì)離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)變量全局插值多項(xiàng)式的求導(dǎo)代替[2]。同時(shí)對(duì)于原連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題中積分項(xiàng)，則通過(guò)對(duì)原系統(tǒng)相應(yīng)狀態(tài)量、控制量的插值多項(xiàng)式進(jìn)行高斯積分求得到。

經(jīng)過(guò)上述一系列變換，高斯偽譜法已將原系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種非線性規(guī)劃問(wèn)題。針對(duì)非線性規(guī)劃問(wèn)題，文章利用成熟的非線性規(guī)劃求解器對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行求解。具體表示基于高斯偽譜法求解最優(yōu)控制問(wèn)題的相關(guān)步驟可得：

1)時(shí)域變換

首先對(duì)原連續(xù)系統(tǒng)時(shí)間進(jìn)行高斯變換，將時(shí)間區(qū)間由t∈[t0,tf]轉(zhuǎn)換到τ∈[-1,1]，因此引入時(shí)域變換：

(1)

則原連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)時(shí)間歸一化后，性能指標(biāo)函數(shù)即為：

(2)

則原連續(xù)系統(tǒng)經(jīng)時(shí)間歸一化后，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程即為：

(3)

則原系統(tǒng)經(jīng)時(shí)間歸一化后，系統(tǒng)邊界條件和約束即為：

(4)

2)狀態(tài)變量和控制變量的離散化

高斯偽譜法基于K階的Legendre插值多項(xiàng)式Pk(τ)去逼近經(jīng)時(shí)間離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量，其中：

(5)

因?yàn)樵谶M(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)變量、控制變量離散時(shí)，Legendre-Gauss點(diǎn)僅分布在區(qū)間(-1,1)上。所以為了近似原系統(tǒng)狀態(tài)變量、控制變量量的初值，需在離散時(shí)間區(qū)間內(nèi)增加一個(gè)點(diǎn)τ0=-1。由此構(gòu)成K+1階的Lagrange插值多項(xiàng)式Lagi(τ)(i=0,···,K)將作為基函數(shù)在時(shí)間區(qū)間內(nèi)逼近原系統(tǒng)狀態(tài)變量和控制變量。綜上所述，可得原系統(tǒng)狀態(tài)量離散形式為：

(6)

原系統(tǒng)控制變量離散形式為：

(7)

其中:Lagrange插值基函數(shù)為：

(8)

3)微分方程變換

因?yàn)樵到y(tǒng)狀態(tài)變量已經(jīng)由Lagrange插值多項(xiàng)式在時(shí)間區(qū)間內(nèi)離散化，所以原系統(tǒng)狀態(tài)方程亦可以表示為相應(yīng)代數(shù)方程形式，即：

(9)

其中:D∈RK×(K+1)為系統(tǒng)微分矩陣，可以通過(guò)離線計(jì)算得到。則可得原系統(tǒng)微分方程的代數(shù)表達(dá)形式為：

(k=1,···,K)

(10)

4)性能指標(biāo)變換

原系統(tǒng)狀態(tài)變量、控制變量均已有Lagrange插值多項(xiàng)式在時(shí)間區(qū)間內(nèi)離散化。則原連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制性能指標(biāo)亦可由相應(yīng)變量離散形式表示。而性能指標(biāo)函數(shù)中存在的積分可由插值多項(xiàng)式的Gauss積分近似。

則原系統(tǒng)性能指標(biāo)函數(shù)可表示為：

(11)

5)終端狀態(tài)變換

(12)

由式(12)可知，系統(tǒng)終端狀態(tài)可由初始狀態(tài)的Gauss積分近似求解。綜上可知系統(tǒng)終端狀態(tài)表達(dá)式為：

(13)

通過(guò)上述系統(tǒng)變量離散化、微分方程代數(shù)化等步驟，已把原系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換為非線性規(guī)劃問(wèn)題。而非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解已經(jīng)具備足夠多的求解方法，例如可以采用序列二次規(guī)劃(SQP)的方法進(jìn)行求解。由于非線性規(guī)劃問(wèn)題不是文章研究的重點(diǎn)，所以不做詳細(xì)論述。僅應(yīng)用基于Matlab軟件平臺(tái)的GPOPS-2軟件包對(duì)最優(yōu)控制問(wèn)題、非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解[3-4]。

2 滾動(dòng)時(shí)域控制

考慮高超聲速飛行器再入制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)微分方程可以通過(guò)非線性微分方程加以描述：

(14)

基于高斯偽譜法在線求解高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)制導(dǎo)指令后，由于求解得到的制導(dǎo)指令為開(kāi)環(huán)形式，無(wú)法直接作用于飛行器制導(dǎo)控制回路。所以需要對(duì)已生成的開(kāi)環(huán)制導(dǎo)指令進(jìn)行處理，而滾動(dòng)時(shí)域控制恰好解決開(kāi)環(huán)制導(dǎo)指令如何進(jìn)行閉環(huán)制導(dǎo)的問(wèn)題。

因?yàn)闈L動(dòng)時(shí)域控制方法需要在線實(shí)時(shí)獲得偽譜法計(jì)算所需初始狀態(tài)并應(yīng)用其計(jì)算所得制導(dǎo)指令，這就對(duì)在線高斯偽譜法的軌跡優(yōu)化時(shí)間以及滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)更新周期做出了限制。高超聲速飛行器再入制導(dǎo)過(guò)程中的為了加快在線軌跡優(yōu)化算法收斂速率，通常選取第一次軌跡優(yōu)化結(jié)果作為偽譜法軌跡規(guī)劃中狀態(tài)變量、控制變量的參考值，并在再入優(yōu)化過(guò)程中不斷迭代更新參考值，以達(dá)到減小在線軌跡規(guī)劃時(shí)間的目的。

而對(duì)于滾動(dòng)時(shí)域制導(dǎo)更新周期，Ross通過(guò)合理的假設(shè)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推倒，建立了滾動(dòng)時(shí)域控制中制導(dǎo)信息更新最大時(shí)間間隔和Lipschitz常數(shù)之間的關(guān)系。但是這只是從數(shù)學(xué)理論上推倒得到的滾動(dòng)時(shí)域控制時(shí)間間隔條件。由于在實(shí)際應(yīng)用中相關(guān)公式所需參數(shù)不易獲得，所以滾動(dòng)時(shí)域控制時(shí)間間隔將采用仿真試湊與分析的方法加以確定[6]。

3 預(yù)測(cè)-校正再入制導(dǎo)方法

結(jié)合文章前兩小節(jié)內(nèi)容，可知應(yīng)用基于高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制相結(jié)合的高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法具體步驟如下：

1)初始參數(shù)裝訂：建立高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-校正算法數(shù)學(xué)模型，確定高超聲速飛行器再入點(diǎn)、目標(biāo)點(diǎn)狀態(tài)信息。建立高超聲速飛行器再入過(guò)程約束模型及其計(jì)算方法，確定高超聲速飛行器再入過(guò)程約束、終端狀態(tài)約束參數(shù)值。其中在線軌跡規(guī)劃算法滿足高超聲速飛行器再入過(guò)程中的過(guò)載、熱流、動(dòng)壓以及平衡滑翔條件等約束。同時(shí)需離線設(shè)計(jì)滿足在線計(jì)算時(shí)間、制導(dǎo)魯棒性要求的滾動(dòng)時(shí)域控制指令更新周期；

2)飛行器在線制導(dǎo)指令計(jì)算：高超聲速飛行器再入后需實(shí)時(shí)測(cè)量在線軌跡優(yōu)化算法所需系統(tǒng)狀態(tài)量和控制量，應(yīng)用高斯偽譜進(jìn)行在線軌跡規(guī)劃，生成制導(dǎo)指令。其中，在線軌跡規(guī)劃算法規(guī)劃的彈道為由當(dāng)前高超聲速飛行器所處狀態(tài)至目標(biāo)點(diǎn)的彈道參數(shù)，制導(dǎo)指令為縱/側(cè)向一體化計(jì)算結(jié)果；

3)飛行器制導(dǎo)指令的應(yīng)用：基于高斯偽譜法在線計(jì)算所得高超聲速飛行器再入縱/側(cè)向制導(dǎo)指令為由當(dāng)前狀態(tài)至終端狀態(tài)的制導(dǎo)參數(shù)。而應(yīng)用滾動(dòng)時(shí)域控制后，在當(dāng)前制導(dǎo)指令更新周期內(nèi)，飛行器再入過(guò)程中僅應(yīng)用偽譜法計(jì)算所得制導(dǎo)指令的前T秒。通過(guò)不斷的高超聲速飛行器不斷在線計(jì)算、更新，以此達(dá)到閉環(huán)制導(dǎo)效果。

4 仿真驗(yàn)證與分析

高超聲速飛行器再入大氣層后采用無(wú)動(dòng)力滑翔方式攻擊指定目標(biāo)。而飛行器再入過(guò)程中采用傾斜轉(zhuǎn)彎控制方法，因此再入過(guò)程中具有較強(qiáng)的側(cè)向機(jī)動(dòng)能力和較大的側(cè)向位移。這就要求在設(shè)計(jì)高超聲速飛行器再入制導(dǎo)方法時(shí)，要充分考慮高超聲速飛行器再入過(guò)程中地球自轉(zhuǎn)以及飛行器傾側(cè)對(duì)再入過(guò)程制導(dǎo)效果的影響[7]。因此，建立高超聲速再入軌跡優(yōu)化模型時(shí)將考慮地球自轉(zhuǎn)以及飛行器傾側(cè)的影響，所以再入制導(dǎo)三自由度模型如下所示：

(15)

(16)

(17)

其中：ωe為地球旋轉(zhuǎn)角速度；σ為速度偏角，即為飛行器速度方向與正北方向的夾角；υ為飛行器側(cè)傾角，即飛行器升力方向與飛行器所處鉛錘面的夾角；λ為飛行器所處經(jīng)度值；φ為飛行器所處緯度值。

文章在研究高超聲速飛行器再入制導(dǎo)中，對(duì)飛行器橫向機(jī)動(dòng)能力沒(méi)有特殊的要求，同時(shí)再入過(guò)程中未考慮飛行器禁飛區(qū)等因素對(duì)再入飛行器射程的影響。因此在高超聲速飛行器其再入過(guò)程中，其再入下降段和平衡滑翔段的橫向射程相較其縱向射程而言是一個(gè)小量[8]。所以再入飛行器射程可近似按下列公式計(jì)算，即：

(18)

其中:R0為地球半徑。

(19)

再入軌跡優(yōu)化過(guò)程約束為：

(20)

再入軌跡優(yōu)化性能指標(biāo)為：

(21)

應(yīng)用高斯偽譜法求解最優(yōu)控制問(wèn)題時(shí)，選取飛行器初狀態(tài)參數(shù)為：

初始速度：V0=3 700 m/s；

初始高度：H0=70 km；

初始彈道傾角：Θ0=0°；

初始彈道偏角：ψv 0= 90°。

制導(dǎo)仿真要求末狀態(tài)為：

終端速度：Vf=1 000 m/s；

終端高度：Hf=0 km；

終端速度傾角：Θf=-80°；

終端射程：Lf=3 000 km。

高超聲速飛行器再入過(guò)程中為了保證在線軌跡優(yōu)化的快速性、實(shí)際制導(dǎo)指令的連續(xù)性以及對(duì)參數(shù)不確定的魯棒性，選取的制導(dǎo)指令更新周期應(yīng)本著綜合考慮再入制導(dǎo)指令計(jì)算時(shí)間、再入制導(dǎo)誤差影響等因素的思路，折中選取具有較高快速性、較小制導(dǎo)誤差、較強(qiáng)制導(dǎo)魯棒性的制導(dǎo)指令更新周期[10]。

因此在綜合考慮以上因素后，文章中選取滾動(dòng)時(shí)域控制中制導(dǎo)指令更新周期為10 s。

應(yīng)用高超聲速飛行器再入初始狀態(tài)、終端狀態(tài)、過(guò)程約束等參數(shù)，進(jìn)行高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法仿真驗(yàn)證。其仿真結(jié)果如圖1～5所示。

圖1 高度隨時(shí)間變化、經(jīng)緯度變化示意圖

圖2 速度、彈道傾角隨時(shí)間變化示意圖

圖3 彈道偏角、攻角隨時(shí)間變化示意圖

圖4 傾側(cè)角、射程隨時(shí)間變化示意圖

圖5 攻角導(dǎo)數(shù)、傾側(cè)角導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間變化示意圖

對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行分析可知，應(yīng)用基于高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制相結(jié)合的高超聲速飛行器再入制導(dǎo)方法，飛行器高度、速度隨時(shí)間變化平緩，再入過(guò)程中彈道無(wú)劇烈抖動(dòng)情況出現(xiàn)。飛行器高度、速度參數(shù)滿足再入過(guò)程中對(duì)動(dòng)壓、熱流約束的要求。而高超聲速飛行器再入過(guò)程中攻角、傾側(cè)角導(dǎo)數(shù)指令雖在圖中有較大調(diào)變，但是由于在設(shè)計(jì)時(shí)已考慮攻角、傾側(cè)角導(dǎo)數(shù)變化率對(duì)實(shí)際攻角、傾側(cè)角指令的影響，設(shè)計(jì)了其變化率最大值約束。所以即使攻角、傾側(cè)角導(dǎo)數(shù)變化劇烈，卻不影響實(shí)際再入制導(dǎo)指令攻角、傾側(cè)角的連續(xù)以及可實(shí)現(xiàn)性。通過(guò)對(duì)圖1～圖5彈道仿真結(jié)果的分析可知，高超聲速飛行器再入過(guò)程中，其彈道參數(shù)滿足過(guò)載約束要求。

綜上可知，應(yīng)用高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制相結(jié)合的再入飛行器預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法，其制導(dǎo)指令具有較高的可實(shí)現(xiàn)性，飛行器彈道平緩，滿足過(guò)載、動(dòng)壓、熱流以及平衡滑翔約束要求。

高超聲速飛行器再入過(guò)程終端狀態(tài)如表1所示。

表1 末端狀態(tài)情況

高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法滿足再入制導(dǎo)過(guò)程滿足對(duì)過(guò)載、動(dòng)壓以及熱流的約束限制，制導(dǎo)精度滿足高超聲速飛行器再入制導(dǎo)要求，再入過(guò)程可是實(shí)現(xiàn)對(duì)終端速度、速度傾角的控制。其中：速度控制誤差為10/s；速度傾角控制誤差為0.5°；射程控制誤差為2.7 km；可見(jiàn)應(yīng)用基于高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制相結(jié)合的飛行器再入預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法，對(duì)飛行器再入終端狀態(tài)具有良好的控制效果，其終端參數(shù)控制誤差滿足設(shè)計(jì)要求，制導(dǎo)效果良好。

5 結(jié)論

文章以高超聲速飛行器再入制導(dǎo)問(wèn)題為研究對(duì)象，通過(guò)建立高超聲速滑翔飛行器再入預(yù)測(cè)制導(dǎo)模型，再入飛行器過(guò)程約束模型以及飛行器再入終端狀態(tài)約束模型，應(yīng)用高斯偽譜法在線實(shí)時(shí)規(guī)劃高超聲速飛行器再入剩余彈道，并生成飛行器開(kāi)環(huán)制導(dǎo)指令。其指令生成算法滿足高超聲速飛行器縱/側(cè)向、全程再入彈道一體化設(shè)計(jì)要求，制導(dǎo)指令具有較高連續(xù)性、較強(qiáng)可實(shí)現(xiàn)性。同時(shí)，文章結(jié)合滾動(dòng)時(shí)域控制技術(shù)，應(yīng)用基于偽譜法實(shí)時(shí)解算出的開(kāi)環(huán)制導(dǎo)信息更新高超聲速滑翔飛行器再入制導(dǎo)指令，用分段開(kāi)環(huán)的制導(dǎo)指令的方式達(dá)到高超聲速飛行器再入整體閉環(huán)制導(dǎo)的效果。經(jīng)彈道仿真驗(yàn)證可知，這種基于高斯偽譜法與滾動(dòng)時(shí)域控制相結(jié)合的高超聲速飛行器再入預(yù)測(cè)-制導(dǎo)方法，再入彈道平緩滿足飛行器再入過(guò)程約束要求，同時(shí)此制導(dǎo)方法對(duì)飛行器終端狀態(tài)具有良好的控制效果，其制導(dǎo)性能滿足再入飛行器對(duì)落點(diǎn)精度等性能指標(biāo)的要求。

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Research on Reentry Integrated Guidance Law of Hypersonic Velocity Aircraft Based on the Gauss Pseudo-spectral Method

Zhong Weikun1，Qu Quanyou1，Yuan Jinpeng1，Wu Wenbin2

(1.Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094, China；2.No.203 Research Institute of China Ordnance Industries, Xi′an 710065, China)

In order to solve the problems of the re-entry process of hypersonic velocity aircraft by using the standard trajectory method. Article gives a Gauss pseudo-spectral method to solve the re-entry problem of hypersonic velocity aircraft. The guidance combines the Gauss Pseudo-spectral Method and the Rolling-time Control Method. For the Gauss Pseudo-spectral Method which based on the integration idea that includes the vertical and the lateral side. And the integration includes All-trajectory integration also. By using the Rolling-time Control method, the guidance could realize the open-loop orders. As the result of the simulation, the data shows that after combine the two methods of Gauss Pseudo-spectral and the Rolling-time Control in hypersonic aircraft guidance control, the aircraft achieve a satisfactory result in re-entry trajectory.

hypersonic velocity aircraft；prediction-rectification；Gauss pseudo-spectral method；rolling-time control

2017-05-14；

2017-06-08。

仲維昆(1986-)，男，山東曹縣人，碩士生，工程師，主要從事航天器項(xiàng)目管理、星務(wù)數(shù)據(jù)管理、姿軌控制等方向的研究。

1671-4598(2017)12-0106-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.12.028

V411.8

A