姜銳紅 / 上海電機(jī)學(xué)院

點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)中兩車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題探討

姜銳紅 / 上海電機(jī)學(xué)院

理論力學(xué)是工程技術(shù)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，準(zhǔn)確理解基本概念及基本理論，是將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。其中動(dòng)參考系的選擇，以及牽連點(diǎn)的正確判斷分析往往是困擾學(xué)生的障礙。本文針對(duì)兩車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的求解，以及對(duì)其難點(diǎn)的剖析，指出容易造成解題錯(cuò)誤的原因，對(duì)學(xué)習(xí)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)具有一定的指導(dǎo)意義。

點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)；速度合成；加速度合成

1.引言

理論力學(xué)是機(jī)械工程、土木建筑、水利工程、航空航天等本科生必修的技術(shù)基礎(chǔ)課程，是后續(xù)力學(xué)課程以及專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課程的理論基礎(chǔ)[1]。然而對(duì)許多學(xué)生來(lái)講，學(xué)習(xí)理論力學(xué)的過(guò)程并不輕松，普遍存在對(duì)基本概念、基本理論以及分析方法等理解不透徹，不能靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。如何突破理論力學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)基本概念的理解，提高應(yīng)用所學(xué)理論知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，是理論力學(xué)教學(xué)研究的重要內(nèi)容。點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)部分的重點(diǎn)也是難點(diǎn)[2]，動(dòng)參考系的選擇，牽連點(diǎn)的位置確定，牽連速度、牽連加速度以及相對(duì)速度、相對(duì)加速度等重要的基本概念不清晰往往是學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)動(dòng)學(xué)的最主要障礙[4]。本文通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)中兩車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的分析，分別從牽連運(yùn)動(dòng)是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移運(yùn)動(dòng)兩個(gè)角度分析了點(diǎn)的速度合成與加速度合成方法，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)容易犯的錯(cuò)誤，對(duì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)合成知識(shí)的學(xué)習(xí)理解具有一定的指導(dǎo)意義。

2.兩車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度與加速度

文獻(xiàn)[3]第七章習(xí)題7-15的兩車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，可以分別從牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平移運(yùn)動(dòng)兩種情況作分析，基本概括了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)，因此選用該習(xí)題為例進(jìn)行分析。

如圖1所示，兩車(chē)在公路上行駛速度均恒為72km/h。圖示瞬時(shí)，B車(chē)中的人員觀察到A車(chē)的速度、加速度以及A車(chē)中的人員觀察到B車(chē)的速度、加速度分別為多大？

（1）B車(chē)人員觀察A車(chē)

在B車(chē)中的人員觀察到的A車(chē)運(yùn)動(dòng)即A車(chē)相對(duì)B車(chē)的運(yùn)動(dòng)，應(yīng)將動(dòng)參考系固定于B車(chē)，此時(shí)B車(chē)不再是個(gè)點(diǎn)，而是無(wú)限延伸的剛體，牽連運(yùn)動(dòng)為B車(chē)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)點(diǎn)的速度合成公式：

根據(jù)點(diǎn)的加速度合成公式

圖1 A、B兩車(chē)運(yùn)動(dòng)示意

圖2 A車(chē)相對(duì)B車(chē)運(yùn)動(dòng)速度圖解

圖3 A車(chē)相對(duì)B車(chē)運(yùn)動(dòng)加速度圖解

（2）A車(chē)人員觀察B車(chē)

A車(chē)人員觀察到的B車(chē)運(yùn)動(dòng)即B車(chē)相對(duì)于A車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況，應(yīng)將A車(chē)作為動(dòng)參考系，牽連運(yùn)動(dòng)為無(wú)限延伸后的A車(chē)作剛體平移運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度合成公式仍然為式(2-1)，其中，根據(jù)圖4-a所示速度合成矢量關(guān)系可以解得A車(chē)人員觀察到的B車(chē)速度：與水平軸的夾角

圖4 B車(chē)相對(duì)A車(chē)速度與加速度矢量圖解

由于此時(shí)B點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)，所以加速度合成公式(1-2)變形為：，其中：，如圖4-b，解得：

3.難點(diǎn)分析

上述兩車(chē)相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的正確解答關(guān)鍵在于：

（1）動(dòng)參考系的正確選擇。很多同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為無(wú)論A車(chē)相對(duì)B車(chē)還是B車(chē)相對(duì)A車(chē)，相對(duì)速度與加速度大小均應(yīng)相同，只是方向相反而已，所以動(dòng)參考系定在哪個(gè)車(chē)上都不會(huì)影響計(jì)算結(jié)果。事實(shí)上由上述計(jì)算結(jié)果得出，觀察者在不同的車(chē)上，得到的相對(duì)速度與相對(duì)加速度，無(wú)論大小還是方位均不同。其原因在于，選擇不同的動(dòng)參考系，牽連運(yùn)動(dòng)形式不同。

（2）牽連點(diǎn)，牽連速度與加速度的正確理解。當(dāng)觀察者在B車(chē)時(shí)，應(yīng)當(dāng)將B車(chē)看作剛體對(duì)待，這個(gè)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，牽連點(diǎn)與B車(chē)不重合時(shí)，牽連速度、加速度不等于B車(chē)速度、加速度，并且會(huì)有科氏加速度產(chǎn)生。此處特別容易犯的錯(cuò)誤是，直接把B車(chē)位置當(dāng)作牽連點(diǎn)，將B車(chē)速度、加速度當(dāng)作牽連速度、牽連加速度。而觀察者在A車(chē)時(shí)，將A車(chē)看作剛體，這個(gè)剛體做平移運(yùn)動(dòng)，雖然牽連點(diǎn)與A車(chē)不重合，牽連速度、加速度與A車(chē)速度、加速度分別相等，且沒(méi)有科氏加速度。

4.結(jié)束語(yǔ)

掌握理論力學(xué)的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解基本概念，不能盲目刷題，只要做到對(duì)解題過(guò)程中的每一步都思考清楚對(duì)應(yīng)所學(xué)的哪一個(gè)基本理論，理論力學(xué)的學(xué)習(xí)將會(huì)事半功倍。

[1]張世勛,賴永星.如何提高理論力學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)興趣[J].中州大學(xué)學(xué)報(bào),2012,29(4).

[2]唐紅春,王璐，史永高.理論力學(xué)點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)體系教學(xué)探索及實(shí)踐[J].江蘇建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2014,14(1).

[3]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2009,172-198.

姜銳紅：（1973.9—）女，博士，講師，任教于上海電機(jī)學(xué)院機(jī)械學(xué)院，主要教授《理論力學(xué)》與《材料力學(xué)》課程，從事機(jī)電設(shè)備故障診斷研究。