朱永國，張文博，劉春鋒，趙爽

1.南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063 2.中航工業(yè)江西洪都航空工業(yè)集團有限責任公司，南昌 330024

基于SDT和間接平差的中機身自動調姿精度分析

朱永國1,*，張文博1，劉春鋒2，趙爽2

1.南昌航空大學 航空制造工程學院，南昌 330063 2.中航工業(yè)江西洪都航空工業(yè)集團有限責任公司，南昌 330024

以4定位器式中機身調姿機構為研究對象，提出了一種飛機部件動態(tài)調姿精度的分析方法。首先，使用小位移旋量(Small Displacement Torsors, SDT)對定位器各關鍵公差建模，建立了定位器4層次誤差SDT模型。其次，基于微分變換推導出定位器制造誤差與中機身位姿誤差之間的顯式函數關系，給出了制造誤差傳遞與累積系數矩陣。在此基礎上，結合5次多項式軌跡規(guī)劃方法，建立了單個定位器動態(tài)誤差傳遞數學模型。然后，針對多定位器的誤差耦合，綜合運用間接平差法和加權最小二乘法，提出了多定位器球鉸中心點動態(tài)誤差耦合計算方法，并推導出了誤差補償量計算表達式。試驗結果表明，依據該方法計算定位器驅動修正值，對調姿機構實施誤差補償，能較好地降低調姿誤差，提高調姿部件的定位精度，為保證大部件對接裝配協(xié)調準確度提供了有效途徑。

飛機；裝配；機身；小位移旋量(SDT)；間接平差；誤差傳遞；誤差耦合

依靠經緯儀測量，手工操作的傳統(tǒng)飛機大部件對接裝配方法已不能滿足現代飛機高精度、高效、經濟性等制造要求。需采用數字化對接裝配系統(tǒng)，使飛機大部件對接裝配朝著自動化和數字化的方向發(fā)展[1-3]。飛機大部件數字化對接裝配系統(tǒng)主要由數控位置和姿態(tài)(以下簡稱位姿)調整機構、高精度數字化測量系統(tǒng)、運動控制系統(tǒng)等組成。其中，數控位姿調整機構往往采用三坐標POGO或定位器來實現大部件位姿的精確定位[4-7]。位姿能否精確定位既是大部件對接裝配成功的關鍵因素，也是影響對接裝配質量的重要因素。因此，需明晰調姿系統(tǒng)的誤差源，建立位姿調整(以下簡稱調姿)機構的誤差傳遞與累積計算表達式，并在裝配過程實施動態(tài)誤差補償，以提高大部件的定位精度。

目前，已有不少學者對大部件調姿精度進行了研究。李晨等運用多體運動學理論對三坐標定位器式調姿機構的誤差進行了分析，采用蒙特卡羅模擬法對誤差分布進行了仿真[8]。郭飛燕等針對滾珠絲杠傳動系統(tǒng)的安裝誤差，建立了柔性工裝立柱單軸運動的定位誤差模型[9]。郭志敏等研究了POGO柱受力變形引起的調姿誤差[10]。朱永國等利用齊次變換矩陣分析了調姿機構各誤差源與調姿部件位姿誤差的關系[11-12]。以上研究成果為大部件調姿精度分析提供了基礎，但仍存在以下3個亟待完善的方面：① 以往的研究沒有顧及到調姿機構運動對調姿精度的影響，只進行了靜態(tài)誤差分析；② 以往的研究只關注于誤差的傳遞與累積，沒有提出驅動機構誤差補償的顯式計算方法；③ 以往的研究僅分析了單個定位器對部件調姿精度的影響，沒有給出多個定位器的耦合誤差與調姿部件位姿誤差之間的顯式函數關系，也沒有顧及到定位器球鉸副中心坐標誤差與調姿部件位姿誤差的非線性強耦合關系。

小位移旋量(SDT)是表示剛體微小位移的6個運動分量所構成的矢量，Bourdet等首次將SDT引入到公差領域，并將其成功應用于不同類型的公差分析中[13-15]。文獻[16-18]借助SDT對幾何要素的形狀、位置、方向和尺寸誤差進行了定量的描述。工程實際中，調姿機構的制造誤差均相比其幾何尺寸是微小量，且調姿機構剛性大，調姿過程中受力變形相對于其幾何尺寸也是微小量，因此，可以引入基于剛體假設的SDT公差建模方法進行調姿機構的誤差分析。

基于以上分析，三坐標定位器式調姿機構已在飛機機身、機翼等大部件自動調姿中獲得成功應用，為此，本文以中機身自動調姿機構為具體研究對象，其誤差分析過程具有典型意義。引入SDT，用小位移旋量表示調姿機構制造誤差；結合微分變換和5次多項式軌跡規(guī)劃方法建立單個定位器動態(tài)誤差的傳遞表達式；針對多個定位器誤差耦合，引入測量學中的間接平差理論，將工藝接頭球鉸中心的位置坐標視為測量點，結合測量學

中的改正數計算式和加權最小二乘法，推導調姿機構動態(tài)誤差耦合計算表達式，以獲得裝配部件位姿參數的波動區(qū)間和實時誤差補償量。

1 中機身調姿坐標系構建

圖1和圖2所示為三坐標定位器式中機身調姿機構，該調姿機構由4個三坐標定位器組成，利用鉤頭螺栓將中機身與調姿機構托架固連，定位接頭與定位器通過球鉸副連接，各定位器結構相同， 均由z向伸縮柱和滾珠絲杠驅動的x、y向導軌組成。中機身的位姿調整由4個定位器并聯驅動。

圖1 4定位器式中機身調姿機構
Fig.1Mechanism for fuselage posture adjustment with four positioners

為描述方便，建立圖1和圖2所示的坐標系：① 中機身坐標系Ofxfyfzf；② 定位接頭坐標系Ojxjyjzj，4個定位接頭坐標系分別記為Oj1xj1yj1zj1、Oj2xj2yj2zj2、Oj3xj3yj3zj3和Oj4xj4yj4zj4；③z向伸縮柱坐標系Opxpypzp，z向伸縮柱坐標系的坐標原點和定位接頭坐標系的坐標原點重合，均為定位接頭球鉸中心點； ④x向導軌坐標系Os1xs1ys1zs1； ⑤y向導軌坐標系Os2xs2ys2zs2。各坐標系之間的位姿關系用φ、θ、ψ、x、y、z等6個參數表示。φ、θ、ψ是歐拉角，表示兩坐標系之間的姿態(tài)關系，如果調姿機構沒有制造誤差，Opxpypzp、Os1xs1ys1zs1、Os2xs2ys2zs2之間的姿態(tài)角均為0°；x、y、z是坐標值，表示兩坐標系之間的位置關系。

2 中機身自動調姿機構誤差分析與建模

圖3 定位器零部件形位誤差
Fig.3 Shape and position errors of positioner parts

分析中機身自動調姿工藝可知，影響中機身調姿精度的因素主要包括：①調姿機構零部件制造誤差；②數控驅動；③調姿機構零部件磨損；④溫度變化引起的變形；⑤調姿機構受力變形。某型號飛機A類位姿測量點球形位置公差帶的半徑為0.3 mm[19]，與調姿精度要求相比：調姿機構零部件強度剛度均較大；裝配車間內溫度波動較小，溫度影響可忽略不計；零部件磨損引起的誤差也較小。為此，本文以調姿機構制造誤差為分析對象，圖3所示為影響中機身調姿精度的調姿機構零部件制造誤差項。

2.1 基于SDT的調姿機構誤差建模

利用基于SDT的公差建模方法，將調姿機構各零部件幾何特征的形位、尺寸、裝配間隙等誤差統(tǒng)一用τ表示，τ=[dδ]T，其中，d=[dxdydz]為平動分量集，δ=[ΔθxΔθyΔθz]為轉動分量集。各誤差項傳遞時，將τ寫成齊次變換矩陣：

2.2 基于SDT的零件幾何特征誤差累積

利用SDT的齊次變換矩陣形式，可得

(1)

(2)

(3)

結合式(1)～式(3)可知，零件裝配位姿誤差為零件上各幾何特征SDT誤差參數的對應項直接累加。

3 單個定位器誤差傳遞與累積

3.1 定位接頭

3.1.1 基于SDT的定位接頭誤差建模

如圖3所示，將定位接頭各誤差項的SDT分別記為

(4)

式中：上標j表示定位接頭；下標R表示圓度誤差，PO表示位置度誤差，RO表示圓跳動誤差，TC表示球鉸間隙誤差，DT表示尺寸誤差。

利用式(3)，可得定位接頭各誤差項SDT旋量參數累積表達式為

(5)

3.1.2 基于微分變換的定位接頭誤差傳遞

在定位接頭坐標系Ojxjyjzj中，有

(6)

化簡式(6)，可得

(7)

式中:

在中機身坐標系Ofxfyfzf中

(8)

整理式(8)，可得

(9)

式中:

(10)

(11)

式中:

經計算

(12)

(13)

(14)

式中：

化簡式(14)，可得

(15)

(16)

3.2 z向伸縮柱和x、y向導軌

依據定位器接頭誤差分析方法進行z向伸縮柱和x、y向導軌的誤差傳遞與累積。

3.2.1z向伸縮柱

將圖3所示z向伸縮柱各誤差項的SDT分別表示為

式中：上標p表示z向伸縮柱；下標C表示圓柱度誤差；V表示垂直度誤差；A表示同軸度誤差。

再次利用式(3)，可得z向伸縮柱各誤差項SDT旋量參數累積為

(17)

3.2.2x向導軌

將圖3所示x向導軌各誤差項的累積SDT分別表示為

式中：上標s1表示x向導軌；下標S表示直線度誤差，F表示平面度誤差，P表示平行度誤差。

(18)

3.2.3y向導軌

將圖3所示y向導軌各誤差項的累積SDT分別表示為

式中：上標s2表示y向導軌。

(19)

3.3 5次多項式調姿軌跡規(guī)劃

調姿過程中應避免啟動和停止沖擊，中機身起始位姿為標定值，終止位姿為對接裝配目標位姿，因此，中機身調姿需滿足以下約束條件：① 起始速度、終止速度分別為“0”；②起始加速度、終止加速度分別為“0”；③ 調姿初始位姿Xs=[xsyszsφsθsψs]T，調姿終止位姿Xe=[xeyezeφeθeψe]T。由調姿約束條件可知，調姿軌跡規(guī)劃有6個約束，可用5次多項式實現調姿過程中的軌跡擬合：

f(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5

(20)

式中：a0～a5為多項式系數，t表示時間。利用約束條件求解式(20)，可得中機身運動軌跡方程為

(21)

式中：t0為調姿初始時間；te為調姿終止時間。

利用式(21)，可求得定位接頭球心Pi的坐標為

Pi=RPfi+Po

(22)

式中：Pfi為定位接頭球心在坐標系Ofxfyfzf中的坐標；Po為坐標系Ojxjyjzj相對于坐標系Ofxfyfzf的位置；R為旋轉矩陣。

利用式(22)，可求得定位器各局部坐標系的位置坐標

(23)

3.4 單個定位器誤差傳遞與累積

3.4.1 單個定位器4層次誤差傳遞與累積

聯立式(14)、式(17)～式(19)，可求得單個定位器各零部件制造誤差引起的中機身調姿累積誤差為

(24)

式中：df=[dfxdfydfz]、δf=[ΔθfxΔθfyΔθfz]分別為中機身位置誤差和姿態(tài)誤差。

由于伸縮柱坐標系Opxpypzp原點與定位接頭坐標系Ojxjyjzj重合，經簡單計算可得

(25)

(26)

3.4.2 誤差分析

從式(26)可看出中機身位姿誤差與單個定位器制造誤差的關系為：①中機身姿態(tài)誤差僅與各誤差項的姿態(tài)誤差相關，與位置誤差無關，姿態(tài)誤差的傳遞系數為各誤差項所在坐標系相對于中機身部件坐標系的齊次變換矩陣；②中機身位置誤差與各誤差項的位置、姿態(tài)誤差均有關。

由式(26)可知，df、δf均為各誤差項SDT的線性累加。如果定位器為批量生產，各誤差項為相互獨立的正態(tài)分布，df、δf也應服從正態(tài)分布。則df、δf的數學期望E((df)T)、E((δf)T)計算表達式為

根據多個觀測值線性函數的協(xié)方差陣計算方法[20]，df、δf的協(xié)方差陣D((df)T)、D((δf)T)計算表達式為

式中：D((dj)T)、D((dp)T)、D((ds1)T)、D((ds2)T)、D((δj)T)、D((δp)T)、D((δs1)T)、D((δs2)T)均為方差陣。

4 基于間接平差法的多定位器誤差耦合

4.1 多定位器制造誤差耦合

(27)

式中：

(28)

(29)

利用rR、Pt、Pr將式(29)進行擴展，得

(30)

圖4 調姿實際位姿與調姿理論位姿關系模型
Fig.4Model for relationship between real posture and theoretical posture

4.2 基于間接平差法的多定位器耦合誤差求解

利用式(30)可求得定位器制造誤差耦合的間接平差方程為

(31)

式中：V為改正數；ΔP=Pr-Pt。

利用式(27)，可求得點pi的坐標誤差ΔPi為

(32)

式中：Δθix、Δθiy、Δθiz為點pi引起的姿態(tài)誤差；dti為點pi引起的位置誤差。

利用式(32)，對ΔPi進行擴展，構建所有球鉸中心點的坐標誤差矩陣為

(33)

(34)

化簡式(34)，得

(rR)TWV=0

(35)

(36)

由于各定位器均為獨立制造，其制造安裝精度指標均相同，可取W為單位陣，并將式(36)改寫為

(37)

對式(37)求一階、二階導數，可求得中機身調姿速度誤差和加速度誤差。

4.3 定位器驅動誤差反饋

(38)

利用式(38)進行定位器x、y、z方向驅動量的動態(tài)補償，可提高裝配部件的位姿精度。對式(38)求一階、二階導數，可求得定位器x方向、y方向和z方向的速度誤差和加速度誤差。

5 試 驗

依據圖1所示的調姿機構原理圖，搭建圖5所示的調姿試驗機構，中機身用模擬件代替。該試驗機構4個定位器x向、y向導軌行程均為500 mm，z向伸縮柱行程均為400 mm。表1所示為調姿機構制造誤差檢測值；表2所示為坐標系Ojxjyjzj相對坐標系Ofxfyfzf的位置；表3所示為坐標系Ojxjyjzj相對坐標系Ofxfyfzf的姿態(tài)角。表4所示為模擬件調姿試驗初始位姿和目標位姿，各調姿試驗模擬件的初始位姿、目標位姿均相同。試驗總調姿時間均為200 s。試驗過程中采用輔助測量桿對z向伸縮柱進行初始位置標定，利用測量靶球實現x、y向導軌初始位置的標定。利用型號為AT402的萊卡激光跟蹤儀進行模擬件位姿測量。萊卡AT402激光跟蹤儀的距離分辨率≤0.1 μm；絕對距離測量精度全量程范圍內不超過10 μm；絕對距離重復性為5 μm。

圖5 中機身調姿試驗機構
Fig.5Experiment mechanism for fuselage posture adjustment

-

Continued

表2 坐標系Ojxjyjzj相對坐標系Ofxfyfzf的位置

表3 坐標系Ojxjyjzj相對坐標系Ofxfyfzf的姿態(tài)角

表4 調姿初始位姿和目標位姿Table 4 Initial and target postures of adjustment

5.1 試驗機構驅動修正值計算

試驗前，結合式(37)和式(38)，利用MATLAB計算出各定位器驅動誤差，依據驅動誤差得到如圖6所示的各定位器驅動修正值。

由圖6可明顯看出，各定位器補償量曲線具有很好的連續(xù)性、平緩、無突變，易于由運動控制系統(tǒng)實現。調姿過程中，各定位器的補償量不是常量，隨著調姿部件位姿的變換而改變；補償量存在較大差異，補償量范圍為-0.675～0.814 mm。

圖6 各定位器驅動修正值
Fig.6 Driving correction values of positioners

5.2 調姿試驗

首先，對沒有實施驅動補償的調姿機構進行試驗，利用激光跟蹤儀測量不同調姿時刻中機身上4個測量靶球的坐標值，利用靶球的測量坐標值求解出中機身的位姿誤差；依據位姿誤差，繪制圖7所示的位置和姿態(tài)誤差曲線圖。然后，依據圖6所示的各定位器驅動修正值對試驗機構各方向驅動量進行補償，利用激光跟蹤儀測量靶球的坐標值，求解不同調姿時刻中機身的位姿誤差；依據位姿誤差，繪制實施驅動補償后的位姿誤差曲線圖，如圖8所示。

由圖8可看出，調姿過程中，試驗機構的位姿誤差是個動態(tài)值。位姿誤差不僅與各定位器的制造精度、定位器的分布、定位器數量等存在強非線性耦合關系，還與運動軌跡存在耦合關系。對比試驗位姿誤差可知，無驅動修正時，位置誤差波動范圍為-0.163～0.222 mm，姿態(tài)角誤差波動范圍為-9.2×10-4～6.0×10-4(°)。實施驅動修正后，位置誤差波動范圍為-0.122～0.158 mm，姿態(tài)角誤差波動范圍為-4.8×10-4～3.1×10-4(°)。

利用圖7和圖8所示的調姿位姿誤差試驗數據，可得實施驅動修正前后的位姿誤差的絕對平均誤差、標準偏差和終點誤差(表5)。

由表5可知，實施驅動修正后，到達目標位姿時，模擬件位置誤差范圍由修正前的-0.100～0.127 mm降低為-0.069～0.084 mm，角度誤差范圍由-5.6×10-4～1.22×104(°)降低為-8.5×10-5～1.22×10-4(°)，各位姿參數的絕對平均誤差和標準差也均有較大幅度的減少。

綜合以上試驗結果可知，利用本文提出的裝配部件動態(tài)調姿精度預測與驅動補償量計算方法，能實現裝配部件的調姿精度量化預測和誤差補償量的實時計算與反饋。調姿精度量化分析為數字化自動調姿機構的公差設計提供了理論依據，動態(tài)誤差補償為保證飛機大部件裝配協(xié)調準確度提供了可行途徑。

圖7 無驅動補償的中機身調姿誤差
Fig.7 Errors of fuselage posture-adjusting without driving compensation

圖8 驅動補償后的中機身調姿誤差
Fig.8 Errors of fuselage posture-adjusting with driving compensation

PositionandposeerrorPositionandposeFinalpositionerrorMeanabsoluteerrorStandarderrorx/mm-0．0670．0820．087y/mm0．1270．1710．185Withoutdrivingcompensationz/mm-0．1000．1320．142φ/(°)1．3×10-41．6×10-45．7×10-5θ/(°)4．7×10-45．4×10-41．9×10-4ψ/(°)-5．6×10-47．4×10-42．6×10-4x/mm-0．0640．0820．088y/mm0．0840．1100．124Withdrivingcompensationz/mm-0．0690．0870．094φ/(°)3．62×10-53．40×10-53．2×10-5θ/(°)1．22×10-41．26×10-41．0×10-4ψ/(°)-8．10×10-51．31×10-41．4×10-4

6 結 論

1) 針對飛機中機身自動調姿誤差傳遞及其精度分析，綜合運用小旋量理論、微變齊次變換、間接平差法和加權最小二乘法，提出了一套完整的中機身調姿精度預測與動態(tài)誤差補償計算方法。

2) 試驗結果表明，利用提出的裝配部件動態(tài)調姿精度預測與驅動補償計算方法能實現裝配部件的調姿精度量化預測和誤差補償量實時計算與反饋，依據誤差補償量對調姿機構實施誤差補償，能提高試驗件的定位精度，減少調姿誤差。

3) 飛機各大部件調姿機構的定位器數量、結構和誤差項可能會存在差異，但本文提出的誤差傳遞與耦合模型的推導過程具有較好的通用性，可以推廣到具有不同數量定位器和不同誤差項的飛機大部件調姿機構，也可應用于其他類似的并聯機構。

致 謝

本文涉及的試驗系統(tǒng)研制得到了南京航空航天大學黃翔教授及其帶領團隊的協(xié)助，特此致謝。

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AccuracyanalysisforautomaticaladjustmentofaircraftfuselageposturebasedonSDTandindirectadjustment

ZHUYongguo1,*,ZHANGWenbo1,LIUChunfeng2,ZHAOShuang2

1.SchoolofAeronauticalManufacturingEngineering,NanchangHangkongUniversity,Nanchang330063,China2.AVICJiangxiHongduAviationIndustryGroupCompanyLtd.,Nanchang330024,China

Thispaperdiscussesthemechanismforadjustingaircraftfuselagewithfourpositioners.Acalculationmethodisproposedtoanalyzedynamicposture-adjustingaccuracyofaircraftparts.TheSmallDisplacementTorsor(SDT)isusedtomodelthecriticaltolerancesofthepositioner,andtheSDTmodeloffourlevelerrorsisestablishedforthepositioner.Anexplicitfunctionrelationshipbetweenmanufacturingerrorsandfuselage’spostureerrorisbuiltbasedondifferentialtransformmethod,andthetransferandaccumulationcoefficientmatricesofmanufacturingerrorsarealsoderived.Amathematicalmodelfordynamicerrortransferofasinglepositionerisestablishedusingthefive-orderpolynomialtrajectoryplanningmethod.Then,toovercomeerrorcouplingofmulti-positioner,amethodforcalculatingdynamicerrorcouplingofmulti-positionersphericalcentersisproposedbyusingindirectadjustmentmethodandweightedleastsquaremethod,andtheexpressionforerrorcompensationisalsoderived.Thetestdatashowthatpositionandposeerrorscanbereduced,andposture-adjustingaccuracycanbeimprovedwithdrivingcompensationaccordingtotheproposedmethod,whichcanthusprovideaneffectivewaytoensureassemblecoordinationaccuracyoflargecomponents.

aircraft;assembly;fuselage;SmallDisplacementTorsor(SDT);indirectadjustment;errortransfer;errorcoupling

2017-04-05；

2017-05-10；

2017-07-03；Publishedonline2017-08-211928

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171228.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(51565042)；FocusonResearchandDevelopmentPlansinJiangxiProvince(20161BBE53005，20171BBE50007)

.E-mailzhuyongguo_2003@163.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.421301

2017-04-05；退修日期2017-05-10；錄用日期2017-07-03；網絡出版時間2017-08-211928

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171228.html

國家自然科學基金(51565042)； 江西省重點研發(fā)計劃(20161BBE53005,20171BBE50007)

.E-mailzhuyongguo_2003@163.com

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V262.4

A

1000-6893(2017)12-421301-14

李世秋)