童福林，李新亮，段焰輝,

1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所， 綿陽 621000 2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動力學(xué)重點實驗室，北京 100190 3.中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

超聲速壓縮拐角激波/邊界層干擾動力學(xué)模態(tài)分解

童福林1，李新亮2,3，段焰輝1,*

1.中國空氣動力研究與發(fā)展中心 計算空氣動力研究所， 綿陽 621000 2.中國科學(xué)院 力學(xué)研究所 高溫氣體動力學(xué)重點實驗室，北京 100190 3.中國科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院，北京 100049

壓縮拐角激波與邊界層干擾問題廣泛存在于高速飛行器的外部和內(nèi)部流動中，其非定常復(fù)雜流場結(jié)構(gòu)對飛行器氣動性能影響顯著。動力學(xué)模態(tài)分析將有助于進一步加深理解激波與邊界層干擾流場不同特征頻率對應(yīng)的流動結(jié)構(gòu)及動力學(xué)特性，為揭示其復(fù)雜流動機理提供參考。本文采用動態(tài)模態(tài)分解(DMD)方法對來流馬赫數(shù)為2.9、24°壓縮拐角內(nèi)激波與超聲速邊界層干擾下的非定常流動進行了模態(tài)分析。評估了稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法在壓縮拐角流動中的適用性，研究了湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾下典型特征頻率對應(yīng)的動力學(xué)模態(tài)空間結(jié)構(gòu)差異及其原因，分析了轉(zhuǎn)捩邊界層展向非均勻性對低頻/高頻模態(tài)動力學(xué)機制的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)，湍流干擾與轉(zhuǎn)捩干擾下拐角干擾區(qū)內(nèi)均存在兩類截然不同的動力學(xué)模態(tài)：低頻模態(tài)和高頻模態(tài)。低頻模態(tài)結(jié)構(gòu)集中在分離激波及分離泡剪切層的根部，表征為分離泡的大尺度膨脹和收縮運動；高頻模態(tài)空間分布則以平均聲速線附近正負交替結(jié)構(gòu)為主，對應(yīng)為邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波沿剪切層往下游的傳播。轉(zhuǎn)捩邊界層的展向結(jié)構(gòu)對低頻模態(tài)運動特性影響明顯，而對高頻模態(tài)的影響則相對較小。

壓縮拐角；激波/邊界層干擾；轉(zhuǎn)捩；動態(tài)模態(tài)分解；低頻/高頻模態(tài)

超聲速壓縮拐角激波與邊界層干擾問題中存在著復(fù)雜的非定常流動機理和非線性動力學(xué)運動機制，其運動特性以寬頻特征為主，時間尺度差異懸殊。研究表明[1-2]，對于激波與湍流邊界層的干擾問題，高頻運動的時間尺度約為湍流邊界層內(nèi)擾動的量級，而低頻運動的時間尺度可達高頻運動的10～100倍。激波與邊界層干擾問題的非定常運動特性一直以來都是流體力學(xué)基礎(chǔ)研究的熱點和難點問題[3-6]。目前，學(xué)術(shù)界對該問題的認識仍不充分，如在大尺度低頻振蕩的物理機制方面存在著兩種截然相反的認識，即上游機制及下游機制[7-9]。

模態(tài)分解方法是研究復(fù)雜流動現(xiàn)象及其機理的重要手段。通過模態(tài)分解方法，可以對復(fù)雜高維度的流場結(jié)構(gòu)進行低階近似，并提取出非定常流場中占優(yōu)的特征模態(tài)。近年來，Schmid[10-11]在線性Koopman映射的基礎(chǔ)上提出了基于瞬時流場預(yù)處理的動態(tài)模態(tài)分解(Dynamic Mode Decomposition, DMD)。該方法在保留了本征正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)方法優(yōu)勢的同時，可以直接通過分析實驗或者數(shù)值模擬得到的流場數(shù)據(jù)給出整個非定常運動演化過程中的特征模態(tài)頻率、增長率以及空間形態(tài)，非常適合于含有多尺度特征頻率的復(fù)雜流動問題機理分析。Rowley等[12]通過無限維線性算子理論還將該方法進一步推廣到非線性流動問題的預(yù)測中。最近，大量學(xué)者對這一方法進行不斷地改進和優(yōu)化，例如最優(yōu)化動態(tài)模態(tài)分解(Optimized DMD, Opt-DMD)和最優(yōu)模態(tài)分解[13](Optimal MD, Opt-MD)方法。為了更準確地提取出對流場發(fā)展影響顯著的特征模態(tài)，Jovanovic 等[14]結(jié)合優(yōu)化理論，通過添加罰函數(shù)構(gòu)造了稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解(DMDSP)方法。當前，DMD及其改進方法已在激波/邊界層干擾[15-17]、超聲速底部流動[18]、跨聲速抖振[19]、邊界層轉(zhuǎn)捩[20-23]等復(fù)雜流動問題中得到了廣泛應(yīng)用。

Grilli和Schmid[15]采用動態(tài)模態(tài)分解方法對超聲速壓縮拐角的大渦模擬數(shù)據(jù)進行了模態(tài)分析，并基于提取到的4個低頻動力學(xué)模態(tài)對干擾區(qū)內(nèi)非定常流場進行了低階重構(gòu)。研究發(fā)現(xiàn)，低頻動態(tài)模態(tài)的運動學(xué)機制表征為分離激波及分離泡的低頻振蕩運動。Stephan等[16]對壓縮拐角激波與超聲速湍流邊界層干擾問題進行了直接數(shù)值模擬，分別針對三維瞬態(tài)流場和展向平均二維流場數(shù)據(jù)進行了動力學(xué)模態(tài)分析。研究發(fā)現(xiàn)，兩種情況下提取到的低頻模態(tài)空間結(jié)構(gòu)較為類似，此外，分離激波的低頻振蕩與拐角內(nèi)離心不穩(wěn)定性存在較強關(guān)聯(lián)。另外，Tong等[17]研究了壁面溫度對壓縮拐角動力學(xué)模態(tài)的影響規(guī)律。結(jié)果表明，壁面溫度的降低對低頻和高頻模態(tài)結(jié)構(gòu)的能量影響較大，但對其空間結(jié)構(gòu)的分布規(guī)律影響較小，研究結(jié)果還進一步證實了低頻模態(tài)的運動學(xué)機制與分離泡膨脹/收縮運動密切相關(guān)。然而，以往模態(tài)研究主要針對激波與湍流邊界層干擾問題，對于轉(zhuǎn)捩干擾流場內(nèi)動力學(xué)模態(tài)的研究較為少見。同時，在分析各特征頻率動力學(xué)模態(tài)對整個非定常流場發(fā)展歷程的貢獻時，往往依據(jù)模態(tài)振幅或者能量(范數(shù))對特征模態(tài)進行提取和排序。但對于壓縮拐角流動問題，某些低振幅或低能量動態(tài)模態(tài)很可能包含流場演化的重要特征信息。

在本文作者前期的研究中[24-25]，對超聲速壓縮拐角湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾問題進行了大量的直接數(shù)值模擬。本文在此基礎(chǔ)上，采用稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法對拐角內(nèi)激波與湍流/轉(zhuǎn)捩邊界層干擾的非定常流場進行了動力學(xué)模態(tài)分析，系統(tǒng)地研究了不同干擾情況下典型特征頻率對應(yīng)的動態(tài)模態(tài)空間結(jié)構(gòu)及其運動學(xué)機制。深入開展激波/邊界層干擾流場的動力學(xué)模態(tài)分析，有助于進一步揭示激波低頻振蕩運動的物理機制，為建立相關(guān)物理模型提供理論依據(jù)。

1 計算設(shè)置

采用高精度差分求解器OpenCFD-SC對超聲速壓縮拐角激波邊界層干擾問題進行直接數(shù)值模擬?？刂品匠虨槿S可壓縮無量綱Navier-Stokes方程組，無黏項采用Martin等[26]優(yōu)化構(gòu)造的WENO格式以及Steger-Warming流通量分裂方法求解，黏性項采用八階中心差分格式進行離散，時間推進采用三階Runge-Kutta方法計算。

壓縮拐角計算模型如圖1所示，拐角為24°，來流方向從左往右，來流馬赫數(shù)Ma∞為2.9，基于單位長度的來流雷諾數(shù)為5 581.4 mm-1，來流靜溫為108.1 K，壁面溫度為307 K。計算工況包括湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾。兩種工況的計算域法向高度和展向?qū)挾染耆嗤?，而轉(zhuǎn)捩干擾流向計算域約為湍流干擾工況的一半。計算網(wǎng)格均采用代數(shù)方法生成，流向網(wǎng)格在拐角角部區(qū)域內(nèi)密集均勻分布，法向網(wǎng)格往壁面附近進行了加密處理，展向網(wǎng)格均勻分布。詳細幾何尺寸及網(wǎng)格尺度參見文獻[24]。

圖1 壓縮拐角示意圖
Fig.1 Illustration of compression ramp

計算域的入口采用層流邊界條件，取為距平板前緣200 mm處的層流數(shù)值解。出口邊界使用超聲速出口無反射邊界條件，物面邊界為無滑移條件和等壁溫，上邊界取為簡單無反射邊界條件，展向為周期性條件。對于湍流干擾，如圖1所示，在層流入口下游的壁面添加多頻正弦波擾動[27]促使流動發(fā)生轉(zhuǎn)捩，并在拐角入口處形成充分發(fā)展湍流邊界層。對于轉(zhuǎn)捩干擾，由于平板長度較短，此時進入拐角的邊界層仍處于轉(zhuǎn)捩的初期階段。圖1中ref分別對應(yīng)為湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾兩種情況下拐角入口的流向位置。另外，兩種工況下擾動的幅值和頻率均完全相同，具體參數(shù)見文獻[24]。

2 動態(tài)模態(tài)分解

利用上述直接數(shù)值模擬獲得壓縮拐角瞬時流場矩陣為

ψ0=v1v2…vN-1

ψ1=v2v3…vN

(1)

式中：vi為第i個瞬態(tài)流場數(shù)據(jù)；N為瞬態(tài)流場樣本的總數(shù)。假定這些瞬態(tài)流場數(shù)據(jù)之間的時間間隔Δt很小，且為恒定值，相鄰時刻的瞬態(tài)流場之間存在相同的線性映射關(guān)系：

vi+1=Avi

ψ1=Aψ0

(2)

DMD方法核心思想是通過求解矩陣A的特征值和特征向量來獲取流場動力學(xué)過程的特征信息，如特征頻率、特征模態(tài)結(jié)構(gòu)等。但由于矩陣A往往為高維矩陣，實際計算時常尋求低維矩陣來近似替代矩陣A。具體求解過程如下：

1) 對瞬時流場矩陣ψ0作奇異值分解：

ψ0=UΣVT

(3)

式中：U為左正交矩陣；V為右正交矩陣；Σ為奇異值構(gòu)成的對角矩陣。

2) 求解矩陣A的低維近似矩陣F：

A≈UFVT

(4)

該矩陣可通過求解如下最小化問題獲得，即

(5)

矩陣F的最優(yōu)形式為

FDMD=UTψ1VΣ-1

(6)

3) 求解矩陣F的特征值和特征向量：

Λj,μj=eiv(FDMD)

(7)

對矩陣F進行特征值分解得到的特征值將近似表征非定常流場的特征信息，其中特征模態(tài)頻率ωj和模態(tài)增長/衰減率gj分別為

(8)

此時第j個動態(tài)模態(tài)Φj=UΛj，Λj為特征值μj對應(yīng)的特征向量。

為了反映各動態(tài)模態(tài)對非定常流場的貢獻，以往研究常采用模態(tài)振幅或能量對典型模態(tài)進行提取和排序。模態(tài)振幅αj定義為[14]

αj=p-1q

(9)

式中：Vand為特征值μj構(gòu)成的Vandermonde矩陣。對于模態(tài)能量‖Φj‖，常采用如下矩陣范數(shù)表征[10-11]：

(10)

對于某些復(fù)雜流動問題，采用模態(tài)振幅或能量并不能準確提取出反映流場重要特征的動態(tài)模態(tài)，低振幅或是低能量模態(tài)很可能在整個流場的非定常演化過程中起著重要作用。Jovanovic 等[14]結(jié)合優(yōu)化理論，構(gòu)造了一種稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法。該方法的核心思想是在對目標函數(shù)添加罰函數(shù)的基礎(chǔ)上尋求最優(yōu)的稀疏結(jié)構(gòu)(模態(tài)振幅對角矩陣Dα)，進而實現(xiàn)以最優(yōu)的動態(tài)模態(tài)組合對復(fù)雜流場進行高精度低階重構(gòu)。目標函數(shù)J(α)及罰函數(shù)γcard(α)構(gòu)造為[14]

(11)

式中：γ為正則化參數(shù)；r為動態(tài)模態(tài)個數(shù)。新目標函數(shù)的求解是一個典型的凸優(yōu)化問題。

為了評估最優(yōu)動態(tài)模態(tài)組合對非定常流場的重構(gòu)誤差，Jovanovic 等[14]定義如下?lián)p失函數(shù)：

(12)

本文將上述稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法應(yīng)用到壓縮拐角湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾問題的動力學(xué)模態(tài)分析中，實現(xiàn)了對高維復(fù)雜流場的高精度低階重構(gòu)。

3 結(jié)果分析與討論

3.1 湍流干擾

圖2分別給出拐角上游無干擾區(qū)(x=-5.4δ)及分離點(x=-2.6δ)處脈動壓力的加權(quán)功率譜密度(Weighted Power Spectral Density,WPSD)曲線，δ為拐角入口湍流邊界層厚度。如圖2所示，在無干擾區(qū)內(nèi)，脈動壓力的無量綱峰值頻率出現(xiàn)在fδ/U∞=1附近，這與充分發(fā)展平板湍流邊界層內(nèi)脈動特征頻率一致，其中f和U∞分別為頻率和來流速度。在拐角干擾區(qū)，可以看到分離點附近脈動壓力信號的低頻能量急劇升高，在fδ/U∞<0.01的低頻區(qū)內(nèi)出現(xiàn)了能量峰值。計算結(jié)果與前人的風洞試驗[28]及數(shù)值結(jié)果[29]均吻合。

圖2 物面脈動壓力加權(quán)功率譜密度曲線
Fig.2 WPSD curves of wall pressure fluctuations

分離激波的低頻振蕩運動與拐角分離泡的膨脹/收縮運動密切相關(guān)[9,30]。為此，采用上述動態(tài)模態(tài)分解方法對拐角干擾區(qū)內(nèi)展向平均后的瞬時流向速度場進行模態(tài)分析。選取的壓縮拐角干擾區(qū)流場范圍為：流向-30 mm

圖3 動態(tài)模態(tài)特征值
Fig.3 Eigenvalues of dynamic modes

圖3給出了動力學(xué)模態(tài)的時間離散譜，其中橫軸為模態(tài)特征值的實部，縱軸對應(yīng)為虛部。圓圈對應(yīng)為采用DMD方法得到的399個動力學(xué)模態(tài)，圓圈大小代表模態(tài)振幅。如圖3所示，各特征值基本處于單位圓周附近，個別高振幅模態(tài)位于單位圓內(nèi)，這表明計算得到的模態(tài)都是準中性穩(wěn)定的。“+”為基于DMDSP方法提取的19個主模態(tài)，可以看到，這些特征模態(tài)均散布在單位圓附近。對于平均模態(tài)，其特征頻率為0，為靜態(tài)模態(tài)，表征了非定常流場的平均特性。此外，其余18個特征模態(tài)均為動態(tài)模態(tài)，且沿離散譜縱軸呈對稱分布，這主要是模態(tài)特征值為共軛復(fù)數(shù)的原因。

為了研究各動力學(xué)模態(tài)對非定常流場發(fā)展的貢獻，圖4給出了模態(tài)數(shù)目Nz與損失函數(shù)的關(guān)系。隨著提取的模態(tài)數(shù)目增大，損失函數(shù)逐步減小?？梢杂^察到，當選取上述19個特征模態(tài)時，損失函數(shù)小于6%，這表明本文采用DMDSP方法提取的這19個特征模態(tài)能夠近似表征拐角干擾區(qū)內(nèi)非常定流場的典型演化歷程。

圖4 損失函數(shù)隨模態(tài)數(shù)目的變化
Fig.4Variation of performance loss as a function of number of dynamic modes

圖5 模態(tài)振幅與頻率的關(guān)系
Fig.5Relationship between mode amplitudes and frequencies

圖6 模態(tài)能量與頻率的關(guān)系
Fig.6Relationship between mode energy and frequencies

圖5和圖6分別給出了模態(tài)分解得到的動態(tài)模態(tài)振幅及能量與特征頻率的關(guān)系。以往DMD研究中[15-17]，常采用模態(tài)振幅或能量對動態(tài)模態(tài)進行排列和選取。然而，在某些情況下，低振幅模態(tài)有可能會對流場發(fā)展起著重要作用[14]。本文的研究結(jié)果也進一步支持了上述結(jié)論。從圖5中DMDSP與DMD結(jié)果的比較來看，DMDSP提取的19個主模態(tài)，除平均模態(tài)以外，其余主模態(tài)的振幅散布在0.1～10的范圍內(nèi)，而DMD給出的高振幅模態(tài)的量值在10～100之間。圖6顯示了各動力學(xué)模態(tài)的能量分布。如圖中點線所示，稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解提取的9個主模態(tài)(其余9個模態(tài)對稱分布，未在圖中標出)呈寬頻特征分布，散布在從低頻區(qū)間到高頻區(qū)間的范圍內(nèi)。在低頻區(qū)間依次出現(xiàn)3個低頻模態(tài)LF1～LF3，特征頻率fδ/U∞分別為0.002、0.006和0.008，這與之前的壓力脈動功率譜密度分布規(guī)律一致。結(jié)果表明，對于壓縮拐角激波湍流邊界層干擾問題，流場的非定常演化歷程中存在明顯的低頻特性。對于高頻模態(tài)HF1～HF3，特征頻率fδ/U∞依次為0.139、0.159和0.392。由于瞬態(tài)流場的取樣頻率小于壓力脈動的取樣頻率，因此可分辨的高頻模態(tài)頻率值要低于壓力脈動的結(jié)果。此外，從圖中還可以清楚看到，DMDSP方法提取的模態(tài)也不并全是流場中的高能模態(tài)。

為了進一步解釋該現(xiàn)象，圖7還給出了各動力學(xué)模態(tài)振幅與增長率的關(guān)系。從圖中可以明顯看到，此時高振幅模態(tài)對應(yīng)著強衰減率，這表明高振幅模態(tài)只對流場演化的初期階段影響顯著，隨著時間推進，該模態(tài)很快就會被衰減耗散，因此它們在非定常流場的整個發(fā)展過程中并不起主導(dǎo)作用。然而，對于DMDSP提取的主模態(tài)，如圖7中“+”所示，盡管模態(tài)振幅較小，但是其增長/衰減均很小，說明主模態(tài)是穩(wěn)定的。通常對于穩(wěn)定模態(tài)，其增長率應(yīng)為0，但由于數(shù)值誤差的原因，本文結(jié)果維持在0附近很小的范圍內(nèi)。綜合上述分析，對于激波與湍流邊界層干擾這類復(fù)雜多尺度流動問題，模態(tài)振幅(能量)及其對應(yīng)的增長率是決定流場特征結(jié)構(gòu)動力學(xué)性質(zhì)的重要物理量。同時，相較于原始動態(tài)模態(tài)分解方法，稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法給出的最優(yōu)動態(tài)模態(tài)組合能夠準確表征流場演化的重要信息。

圖7 模態(tài)振幅與增長率的關(guān)系
Fig.7Relationship between mode amplitudes and growth rates

分析特征模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)有助于進一步加深理解不同特征頻率下非定常流場的演化規(guī)律。圖8(a)、圖8(c)和圖8(e)分別給出了上述低頻模態(tài)LF1～LF3對應(yīng)的實部。為了便于比較，圖中還給出時間平均流場結(jié)果，點劃線為聲速線，實線對應(yīng)拐角內(nèi)流線分布?？梢钥吹?，隨著特征頻率的增加，各低頻模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)分布規(guī)律較為一致，其特征結(jié)構(gòu)均主要集中在分離激波周圍和分離泡上方剪切層的根部附近，此外分離泡內(nèi)也有一定的結(jié)構(gòu)強度。

圖8(b)、圖8(d)和圖8(f)給出了高頻模態(tài)HF1～HF3對應(yīng)的實部?？梢悦黠@看到，高頻模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)與低頻模態(tài)完全不同。從上游湍流邊界層到干擾區(qū)下游，此時高頻模態(tài)的特征結(jié)構(gòu)沿平均聲速線附近呈現(xiàn)正負交替分布特征，尤其是在分離泡剪切層及其下游再附區(qū)，結(jié)構(gòu)強度明顯增強。另外，隨著特征頻率的增加，結(jié)構(gòu)尺度也逐漸減小。

為了進一步觀察上述特征模態(tài)的動力學(xué)性質(zhì)，本文還分別基于提取到的低頻和高頻模態(tài)進行了流場重構(gòu)。這里定義變量Ms來定量描述不同特征頻率下的運動學(xué)機制。

圖8 低頻和高頻模態(tài)的實部
Fig.8 Real part of low and high frequency modes

(13)

式中:Ure為基于特征模態(tài)重構(gòu)出的低階流場瞬時流向速度，該變量可以直觀地反映不同特征頻率下拐角內(nèi)分離泡的非定常運動過程。

圖9分別給出了基于低頻模態(tài)(LF1～LF3)和高頻模態(tài)(HF1～HF3)重構(gòu)計算得到的Ms隨無量綱時間的變化情況。流向位置取為拐角角點x=0 mm處。從低頻模態(tài)的結(jié)果，可以看到，此時分離泡的運動機制表征為大尺度膨脹和收縮過程，同時由于選用了3個不同量值的低頻模態(tài)進行重構(gòu)，分離泡的運動呈現(xiàn)非規(guī)則周期性，如圖中給出一個時間跨度為965的振蕩周期所示。高頻模態(tài)的結(jié)果與前者則完全不同，從圖中可以看到，此時分離泡表征為低幅值高頻脈動。研究表明，高頻模態(tài)的動力學(xué)特征與邊界層內(nèi)不穩(wěn)定波沿剪切層往下游的傳播過程有關(guān)。綜合上述分析，本文研究結(jié)果也支持了以往壓縮拐角內(nèi)低頻振蕩的下游機制[3]。同時，從低頻模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)來看，研究結(jié)果還進一步表明分離區(qū)剪切層(特別是根部附近的流動)與干擾區(qū)內(nèi)的低頻振蕩現(xiàn)象存在較強的關(guān)聯(lián)性，具體作用機制有待下一步深入研究。

圖9 M隨無量綱時間t的變化情況
Fig.9 Time series of variable M

圖10 基于低頻模態(tài)LF1～LF3重構(gòu)的瞬時流場
Fig.10Reconstruction of instantaneous flow field based on low frequency modes LF1-LF3

此外，圖10還給出了基于低頻模態(tài)重構(gòu)的拐角內(nèi)分離泡膨脹收縮演化歷程。圖10依次給出了圖9中4個瞬時時刻，其中深色區(qū)域代表分離泡，黑色箭頭代表分離區(qū)起始點?？梢郧宄吹?，在t=1 438時刻，對應(yīng)為圖9點劃線的波峰a，此時分離泡尺度最大，隨后在t=1 685和1 970時，分離泡逐漸收縮，到達t=1 970時，分離泡尺度最小，對應(yīng)為圖9點劃線的波谷c。隨后，分離泡開始膨脹，在t=2 403時又達到了波峰狀態(tài)d。

3.2 轉(zhuǎn)捩干擾

圖11 采用Q準則識別的轉(zhuǎn)捩干擾下瞬態(tài)渦結(jié)構(gòu)
Fig.11Instantaneous isosurface of Q criteria in transitional interaction

圖11給出了采用Q準則給出的壓縮拐角轉(zhuǎn)捩干擾下瞬態(tài)渦結(jié)構(gòu)，其中黑色區(qū)域表征瞬態(tài)分離泡。如圖11所示，拐角入口展向兩側(cè)存在大尺度的流向渦串，分離泡上層也存在大尺度渦結(jié)構(gòu)。此時分離泡沿展向存在強烈的三維結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)中間高兩邊低的山峰型，相關(guān)流動機理分析可參見文獻[24]。

為了深入分析轉(zhuǎn)捩邊界層結(jié)構(gòu)展向非均勻性對動力學(xué)模態(tài)運動機制的影響，本文分別在z=2.07 mm和z=5.74 mm處截取瞬態(tài)流場xOy剖面，前者對應(yīng)為分離泡尺度最小位置，后者對應(yīng)為分離泡尺度最大位置，如圖11中陰影剖面所示。瞬態(tài)流場的時間取樣間隔為4.0L/U∞，L為單位特征長度，mm;樣本總數(shù)為400。

圖12給出了轉(zhuǎn)捩干擾下?lián)p失函數(shù)隨模態(tài)數(shù)目的變化情況。與湍流干擾類似，隨著模態(tài)數(shù)目的增加，損失函數(shù)急劇減少。不同展向位置的結(jié)果差別較大，z=5.74 mm剖面損失函數(shù)要明顯高于z=2.07 mm剖面。當模態(tài)數(shù)目Nz=15，前者損失函數(shù)約為22%；后者略低，約為18%。

圖13分別給出不同剖面下各動態(tài)模態(tài)的能量與特征頻率的關(guān)系?？梢钥吹?，轉(zhuǎn)捩干擾工況的各模態(tài)頻率也呈寬頻特征分布，這與湍流干擾的分布規(guī)律一致。從DMDSP提取到的主模態(tài)分布情況來看，計算結(jié)果也進一步支持了之前湍流干擾的研究結(jié)論：模態(tài)能量并不是決定特征模態(tài)選取的唯一因素。此外，盡管不同剖面內(nèi)提取到的特征模態(tài)頻率與能量均有所差別，但頻率范圍均集中在0.01～0.1區(qū)間內(nèi)，如圖中Mode 1～Mode 3所示。在前期的壓力脈動功率譜密度分析中[25]，研究發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)捩干擾下非定常流場仍存在明顯的低頻特性。本文的研究結(jié)果進一步證實了上述結(jié)論，可以看到，Mode 1對應(yīng)的特征頻率與壓力脈動的低頻峰值較接近，具體比較見文獻[25]。造成兩者的差異主要是由于DMDSP針對的是全局流場，而壓力脈動功率譜分析則是基于局部流場。

圖12 轉(zhuǎn)捩干擾下?lián)p失函數(shù)隨模態(tài)數(shù)目的變化
Fig.12 Variation of performance loss as a function of number of dynamic modes in transitional interaction

圖13 轉(zhuǎn)捩干擾下模態(tài)能量與頻率的關(guān)系
Fig.13Relationship between mode energy and frequency in transitional interaction

圖14分別給出了不同剖面內(nèi)模態(tài)Mode 1～Mode 3的實部。該圖能夠很好地反映出轉(zhuǎn)捩邊界層展向結(jié)構(gòu)對動力學(xué)模態(tài)的影響規(guī)律。為了便于分析比較，圖中還給出轉(zhuǎn)捩干擾的時間平均結(jié)果，實線表示流線分布，點劃線代表平均聲速線。對于低頻模態(tài)Mode 1，如圖14(a)和圖14(b)所示，不同剖面內(nèi)模態(tài)結(jié)構(gòu)特征差異明顯。在z=2.07 mm剖面內(nèi)，低頻模態(tài)結(jié)構(gòu)主要集中在干擾區(qū)-20～-4 mm內(nèi)，在干擾區(qū)的下游也有一定的小尺度高能結(jié)構(gòu)；而在z=5.74 mm剖面，模態(tài)結(jié)構(gòu)集中在拐角分離泡內(nèi)，干擾區(qū)上游及下游范圍內(nèi)則相對要小得多。本文認為造成這種結(jié)構(gòu)差異的主要原因有以下兩個方面。首先，從圖11的瞬態(tài)渦結(jié)構(gòu)中可以清楚看到，由于轉(zhuǎn)捩邊界層結(jié)構(gòu)的展向強非均勻性，此時z=2.07 mm剖面處于大尺度發(fā)卡渦串中，這使得低頻模態(tài)在干擾區(qū)上游出現(xiàn)較強的結(jié)構(gòu)分布；z=5.74 mm剖面處于中間的層流區(qū)，因而其干擾區(qū)上游的結(jié)構(gòu)強度則要低得多。另一個方面，從圖14中的時均結(jié)果比較來看，z=5.74 mm剖面內(nèi)存在大范圍的分離泡，而z=2.07 mm剖面內(nèi)流場沒有出現(xiàn)明顯的分離現(xiàn)象。結(jié)合之前的模態(tài)分析，低頻模態(tài)與分離泡存在著密切關(guān)系,這也定性解釋了在z=5.74 mm剖面的拐角內(nèi)出現(xiàn)了較強的結(jié)構(gòu)能量，而在z=2.07 mm剖面卻并沒有類似結(jié)構(gòu)的現(xiàn)象。

對于高頻模態(tài)Mode 2和Mode 3，不同剖面內(nèi)模態(tài)結(jié)構(gòu)的分布規(guī)律有一定的差異，但總體來看，其分布規(guī)律仍較為一致。與湍流干擾的高頻模態(tài)結(jié)構(gòu)的比較來看，轉(zhuǎn)捩干擾下高頻模態(tài)也以聲速線附近正負交替結(jié)構(gòu)為主，此外隨著模態(tài)頻率的升高，結(jié)構(gòu)尺度也在逐漸減小。綜上所述，轉(zhuǎn)捩干擾下邊界層結(jié)構(gòu)的展向非均勻?qū)Φ皖l模態(tài)影響顯著，對高頻模態(tài)的影響則相對較小。

為了分析比較轉(zhuǎn)捩干擾和湍流干擾特征模態(tài)運動機制的差異，圖15還分別基于z=5.74 mm剖面的Mode 1和Mode 3對轉(zhuǎn)捩干擾流場進行了低階重構(gòu)。這里仍然采用之前湍流干擾工況中定義的變量Ms進行定量化分析。圖15(a)給出了分離泡內(nèi)3個不同流向位置處Ms的脈動量，其中〈Ms〉為時間平均量。與湍流干擾不同之處在于，此時是基于單一的低頻模態(tài)Mode 1進行重構(gòu)， 如圖15所示， 不同位置處脈動量的分布規(guī)律類似，均呈現(xiàn)規(guī)則的周期分布，但不同位置處脈動量的峰值略有差別。但是從Ms曲線的整體變化趨勢來看，兩種工況下低頻重構(gòu)的非定常流場演化歷程是一致的，這表明轉(zhuǎn)捩干擾下低頻模態(tài)的運動機制同樣表征為分離泡的膨脹和收縮運動。在圖15(b)高頻模態(tài)Mode 3的結(jié)果中，可以清楚看到，不同流向位置處的結(jié)果均以小幅高頻脈動為主，與湍流干擾的高頻結(jié)果相比，脈動幅值則要低得多，但基本規(guī)律是一致的，這也表明轉(zhuǎn)捩干擾下高頻模態(tài)的運動機制與湍流干擾工況類似。

圖14 轉(zhuǎn)捩干擾下特征模態(tài)的實部
Fig.14 Real part of dynamic modes in transitional interaction

圖15 轉(zhuǎn)捩干擾下M隨無量綱時間變化情況
Fig.15Time series of variable M in transitional interaction

4 結(jié) 論

本文采用稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法對來流馬赫數(shù)為2.9、24°壓縮拐角內(nèi)激波邊界層干擾問題進行了動力學(xué)模態(tài)分析。從特征模態(tài)的排序和選取方面，評估了稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法在壓縮拐角流動問題中的適用性。通過分析特征模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)和重構(gòu)流場的非定常演化歷程，系統(tǒng)研究了湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾下各動力學(xué)模態(tài)的差異及其原因，分析比較了轉(zhuǎn)捩干擾下邊界層展向非均勻性對流場低頻/高頻模態(tài)動力學(xué)機制的影響規(guī)律。

1) 基于稀疏改進動態(tài)模態(tài)分解方法提取的特征模態(tài)能夠準確對壓縮拐角高維復(fù)雜流場進行高精度低階重構(gòu)。模態(tài)能量及其對應(yīng)的增長率是決定流場特征結(jié)構(gòu)動力學(xué)性質(zhì)的重要物理量。

2) 湍流干擾和轉(zhuǎn)捩干擾下的壓縮拐角內(nèi)均存在兩類截然不同的動力學(xué)模態(tài)：低頻模態(tài)和高頻模態(tài)。前者表征為分離泡的大尺度膨脹和收縮運動；后者表征為分離泡的小尺度高頻脈動。

3) 轉(zhuǎn)捩邊界層的展向非均勻結(jié)構(gòu)對低頻模態(tài)運動特性影響顯著，而對高頻模態(tài)的影響則相對較小，這與轉(zhuǎn)捩邊界層內(nèi)渦結(jié)構(gòu)分布特征有一定的關(guān)聯(lián)。轉(zhuǎn)捩干擾下的動力學(xué)模態(tài)研究進一步支持了以往湍流干擾下低頻振蕩機理研究中的下游機制。

致 謝

感謝國家超級計算天津中心、國家超級計算廣州中心、中國科學(xué)院網(wǎng)絡(luò)中心超級計算中心以及山西呂梁超級計算中心提供計算機時。

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Dynamicmodedecompositionofshockwaveandsupersonicboundarylayerinteractionsinacompressionramp

TONGFulin1,LIXinliang2,3,DUANYanhui1,*

1.ComputationalAerodynamicsInstitute,ChinaAerodynamicsResearchandDevelopmentCenter,Mianyang621000,China2.KeyLaboratoryofHighTemperatureGasDynamics,InstituteofMechanics,ChineseAcademyofSciences,Beijing100190,China3.SchoolofEngineeringScience,UniversityofChineseAcademyofSciences,Beijing100049,China

Shockwaveandboundarylayerinteractionsexistwidelyintheinternalandexternalflowofhighspeedvehicles.Thecomplicatedunsteadyflowfieldhassignificanteffectontheaerodynamicperformanceofaircraft.Dynamicmodalanalysesofunsteadymotionsarehelpfultodeeplyunderstandtheflowstructuresanddynamicalpropertiesofcharacteristicfrequenciesintheinteractions,providinginformationtorevealthecomplexmechanismoftheflow.Amodalanalysisoftheunsteadyflowfieldinshockwaveandboundarylayerinteractionfora24°compressionrampataMachnumber2.9isperformedbyusingDynamicModeDecomposition(DMD).Theapplicabilityofsparsity-promotingDMDinthecompressionrampissystematicallyevaluated.Thedifferencesofandreasonsforthespatialstructuresofthedynamicmodecorrespondingtocharacteristicfrequenciesbetweenturbulentandtransitionalinteractionsarestudied.Theinfluenceofspanwisenon-uniformityofthetransitionalboundarylayeronthedynamicsmechanismofthehighandlowfrequencymodesisanalyzedandcompared.Itisfoundthatlowfrequencymodesarecharacterizedbytheseparationshockandthefootofseparatedshearlayer,exhibitingthebreathingmotionoftheseparationbubble.Thespatialstructuresofhighfrequencymodesaredominatedbythealternatingstructuresaroundthemeansonicline,correspondingtothepropagationofinstablewavespasttheshearlayerabovetheseparationbubble.Additionally,thespanwisenon-uniformityhassignificanteffectonthedynamicpropertiesoflowfrequencymodes,whilealittleeffectonthoseofhighfrequencymodes.

compressionramp;shockwave/boundarylayerinteraction;transition;dynamicmodedecomposition;lowandhighfrequencymodes

2017-05-02；

2017-06-05；

2017-06-19；Publishedonline2017-06-270958

URL：http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171208.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(91441103,11372330);NationalKeyResearchandDevelopmentProgramofChina(2016YFA0401200)

.E-mailduanyanhui@foxmail.com

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.121376

2017-05-02；退修日期2017-06-05；錄用日期2017-06-19；網(wǎng)絡(luò)出版時間2017-06-270958

http://hkxb.buaa.edu.cn/CN/html/20171208.html

國家自然科學(xué)基金(91441103,11372330)； 國家重點研發(fā)計劃(2016YFA0401200)

.E-mailduanyanhui@foxmail.com

童福林,李新亮,段焰輝.超聲速壓縮拐角激波/邊界層干擾動力學(xué)模態(tài)分解J． 航空學(xué)報,2017,38(12):121376.TONGFL,LIXL,DUANYH.DynamicmodedecompositionofshockwaveandsupersonicboundarylayerinteractionsinacompressionrampJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(12):121376.

V211.3; O241.3

A

1000-6893(2017)12-121376-12

李明敏)