王飛 王銜 陳濤 顧浩聲

摘要：為充分體現(xiàn)結構阻尼對結構振動響應的影響，在結構動力響應有限元分析中加入經(jīng)典的瑞利阻尼，并在Abaqus中進行勻質梁的彎曲和軸向簡諧振動分析，然后與結構動力學理論解進行對比，研究瑞利阻尼在Abaqus中的實現(xiàn)方法。結果表明：有限元動力響應分析結果與理論結果吻合良好，該方法可以準確實現(xiàn)在Abaqus中添加瑞利阻尼。

關鍵詞：瑞利阻尼；結構阻尼；勻質梁；簡諧振動；動力響應

中圖分類號：TU311.3

文獻標志碼：B

0 引 言

結構振動不可避免地會受到阻尼的作用[1]，能量在振動中不斷耗散。經(jīng)典阻尼是結構所有部位都具有相似阻尼機制時的一種合理抽象，瑞利阻尼是根據(jù)振型阻尼比建立結構經(jīng)典阻尼矩陣的重要方法。[2]

作為結構動力學分析的重要手段，有限元在復雜結構中應用廣泛。因此，本文探究如何在商業(yè)有限元軟件中實現(xiàn)瑞利阻尼，并利用經(jīng)典的結構動力學算例，證明該方法的可行性。

1 瑞利阻尼

瑞利阻尼假定結構阻尼與質量矩陣和剛度矩陣的組合成一定比例，是對質量比例阻尼和剛度比例阻尼的一種改進[3]，其認為圓頻率與阻尼比的關系式為

瑞利阻尼圓頻率與阻尼比的關系見圖1。

在應用中，ωm通常取多自由度體系的基頻，ωn在對結構振動有顯著貢獻的高階振型中選取。這樣，具有高頻率的振型反應將因其高阻尼比而被有效地消除。[3]

2 單自由度黏滯阻尼體系簡諧振動

單自由度黏滯阻尼體系簡諧振動見圖2。根據(jù)結構動力學理論[2]，單自由度黏滯阻尼體系在簡諧載荷下的運動方程為

由此可以完全確定體系在簡諧載荷下的振動情況。

3 有阻尼簡支勻質梁彎曲簡諧振動

3.1 有阻尼簡支勻質梁的彎曲振動微分方程

簡支勻質梁及其阻尼組成示意見圖3。

假定該簡支勻質梁內的阻尼由與絕對速度有關的外阻尼力fD和材料應變的黏滯阻尼力σD這2種成分組成。

當梁各點以橫向位移u（x，t）彎曲振動時，設黏滯阻尼系數(shù)為C（x），則外阻尼力

可以使得勻質梁各階振型相互獨立，并且在廣義坐標（將在第3.2節(jié)詳述）下各階阻尼如式（1）形式。

3.2 有阻尼簡支勻質梁彎曲簡諧振動理論解

簡諧載荷下的簡支勻質梁見圖4。

由式（3）可得第j階振型對應的廣義坐標下的qj（t），其系數(shù)可由式（7）～（10）獲得，再將結果代入式（17）中可得到u（x，t）。

假設勻質梁截面為圓形，參數(shù)見表1。若總振動時間為20 s，則可在MATLAB中通過簡單程序實現(xiàn)各階振型下的振動疊加。理論上，結構振動應該是無窮階振型的疊加，但實際計算發(fā)現(xiàn)，第7階振型振動的最大值已經(jīng)是基礎振型下的振動最大值的0.01%左右，故本文只疊加前7階振型，結果將在第3.3節(jié)討論。

3.3 有阻尼簡支勻質梁彎曲簡諧振動有限元模型

在Abaqus中采用梁單元建立勻質梁模型，見圖5。在詳細計算前，利用Abaqus結構頻率分析確定合適的單元尺寸。改變單元尺寸，并將Abaqus得到的頻率與式（20）進行比較，結果發(fā)現(xiàn)當單元尺寸為梁長度的1%時，Abaqus模型的前5階振型誤差在3‰以內，簡支勻質梁彎曲頻率分析結果與理論解對比見表2。因此，采用的單元長度為0.1 m。

在模型的材料屬性中添加瑞利阻尼，選項“Alpha”和“Beta”分別對應式（1）中的a0和a1。經(jīng)過計算，a0=0.102 4，a1=0.015 6。將a0和a1輸入并添加載荷，進行20 s動力學模擬，與前文計算結果進行比較，結果見圖6。由此可知：在Abaqus中施加瑞利阻尼的結果與理論解吻合良好；在阻尼比僅為0.05的弱阻尼體系中，振動后半段的阻尼也會對振動峰值和相位產(chǎn)生較大影響。

4 有阻尼簡支勻質梁軸向簡諧振動

4.1 有阻尼簡支勻質梁的軸向簡諧振動振型分析

簡諧載荷下的勻質懸臂梁見圖7。依據(jù)文獻[5]，僅考慮軸向簡諧振動時懸臂梁的第j階自振圓頻率為

4.2 有阻尼簡支勻質梁的軸向簡諧振動理論解

其余步驟完全同第3.2節(jié)。

4.3 有阻尼簡支勻質梁軸向簡諧振動有限元模型

假設勻質梁截面為正方形，參數(shù)見表3，總振動時間為20 s。在Abaqus中采用實體單元建立模型，見圖8。將得到的前5階振型頻率與式（25）進行比較，見表4。由此可以發(fā)現(xiàn)，當實體單元尺寸為梁長度的0.2%時，誤差穩(wěn)定在0.7%以內，故采用的單元尺寸為0.002 m。瑞利阻尼的施加與第3.3節(jié)相同。此處考慮到文獻相關理論推導中軸向載荷都是均勻分布在末端界面上的，所以將末端集中載荷變?yōu)榫級簭娸d荷。Abaqus數(shù)值模擬結果與第4.2節(jié)理論解的比較見圖9，結果再次顯示添加的瑞利阻尼的正確性。

6 結束語

瑞利阻尼是根據(jù)振型阻尼比建立結構阻尼矩陣的經(jīng)典方法。本文探究如何在商業(yè)有限元軟件Abaqus的結構振動分析中實現(xiàn)瑞利阻尼。

采用簡支勻質梁的彎曲簡諧振動和勻質懸臂梁的軸向簡諧振動算例，與結構動力學理論解進行對比，證明有限元動力響應分析結果與理論結果吻合良好。由此可見，本文提出的方法可以準確實現(xiàn)在Abaqus中添加瑞利阻尼。

參考文獻：

[1] 朱慈勉， 張偉平. 結構力學（下冊）[M]. 2版. 北京： 高等教育出版社， 2009： 84-137.

[2] CHOPRA A K. 結構動力學： 理論及其在地震工程中的應用[M]. 4版. 謝禮立， 等譯. 北京： 高等教育出版社， 2016.

[3] CLOUGH R W， PENZIEN J. 結構動力學[M]. 2版. 王光遠， 等譯. 北京： 高等教育出版社， 2011： 183-187.

[4] 張相庭， 王志培， 黃本才， 等. 結構振動力學[M]. 2版. 上海： 同濟大學出版社， 2005： 109-116.

[5] CRAIG R R. 結構動力學[M]. 常嶺， 等譯. 北京： 人民交通出版社， 1996： 154-156.

（編輯 武曉英）