程松林 上海電機(jī)學(xué)院

Matlab在《線性代數(shù)》課程教學(xué)中的應(yīng)用

程松林 上海電機(jī)學(xué)院

通過(guò)實(shí)例問(wèn)題的建模分析和計(jì)算探究了Matlab在線性代數(shù)課堂教學(xué)中的重要作用，為課堂矩陣的計(jì)算理論教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生深入理解和掌握計(jì)算方法，為后續(xù)課程理論與實(shí)踐結(jié)合奠定基礎(chǔ)。

線性代數(shù) Matlab 模型

線性代數(shù)是以矩陣計(jì)算為主要工具來(lái)研究數(shù)量間的線性關(guān)系的基礎(chǔ)理論課程，隨著計(jì)算機(jī)和信息技術(shù)的飛速發(fā)展與廣泛應(yīng)用，越來(lái)越多的工程問(wèn)題可以通過(guò)離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量地解決，使得主要以離散變量作為對(duì)象的線性代數(shù)課程發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。同時(shí)，隨著Matlab技術(shù)的推出和不斷推廣，Matlab作為線性代數(shù)課程自主學(xué)習(xí)的計(jì)算軟件，可以有效幫助學(xué)生強(qiáng)化實(shí)踐、機(jī)算（用計(jì)算機(jī)算題）和探索環(huán)節(jié)，為進(jìn)一步理解矩陣計(jì)算理論提供了天然的體驗(yàn)平臺(tái)。更重要的是，基于Matlab的線性代數(shù)計(jì)算廣泛應(yīng)用于信息、電子、通信、控制、金融、經(jīng)濟(jì)和管理等領(lǐng)域，因此為最大限度調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性在線性代數(shù)課程中，引入Matlab教學(xué)和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ铜h(huán)節(jié)是非常有必要的。

一、投入產(chǎn)出模型

設(shè)某國(guó)的經(jīng)濟(jì)由煤炭、電力和鋼鐵三個(gè)部門(mén)組成，各個(gè)部門(mén)之間的產(chǎn)出分配如下表所示：

部門(mén)的產(chǎn)出分配情況 采購(gòu)部門(mén)煤炭 電力 鋼鐵0.0 0.4 0.6 煤炭0.6 0.1 0.2 電力0.4 0.5 0.2 鋼鐵

表中第二列表示電力的總產(chǎn)出分配為：40%給煤炭部門(mén)，10%給電力部門(mén)，50%給鋼鐵部門(mén)，分別用x1, x2, x3表示煤炭、電力和鋼鐵部門(mén)產(chǎn)出的總價(jià)格，求使得每個(gè)部門(mén)收支平衡時(shí)的價(jià)格。

解：煤炭部門(mén)的產(chǎn)出為x1，投入為0.4 x2+0.6x3，收支平衡假設(shè)下有x1= 0 .4 x2+0.6x3；同理，電力和鋼鐵部門(mén)也分別由收支平衡可得

整理得齊次方程組并運(yùn)用矩陣的初等行變換方法將矩陣化成行最簡(jiǎn)形，再寫(xiě)出等價(jià)方程組來(lái)進(jìn)行求通解，在課堂講解這種“手算”方法后也可以在Matlab上通過(guò)命令來(lái)計(jì)算：

>> A=sym([1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]);

>> B=null(A)

輸出結(jié)果為B =[]31/33, 28/33, 1]T，即表示方程組有通解x = c(31,28,33)T，就是說(shuō)當(dāng)該國(guó)煤炭、電力和鋼鐵三個(gè)部門(mén)的產(chǎn)出分別為31、28和33個(gè)單位時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)投入產(chǎn)出的平衡。

二、交通流量分析模型

假設(shè)某城市有2組單行道，構(gòu)成了一個(gè)包含4個(gè)節(jié)點(diǎn)A,B,C,D的十字路口，如圖1所示。圖上帶方向箭頭旁邊的數(shù)字表示在交通繁忙時(shí)段的汽車(chē)從其他路段進(jìn)出此十字路口的流量情況（每小時(shí)的車(chē)流數(shù)）?，F(xiàn)在要求我們計(jì)算每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間該路段上的交通流量x1, x2, x3, x4具體為多少。

圖1 十字路口交通流量圖示

解：我們假定在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，進(jìn)入和離開(kāi)的車(chē)數(shù)相等，可以得到四個(gè)十字路口節(jié)點(diǎn)的流通方程：節(jié)點(diǎn)A：x1+ 4 50 = x2+610；節(jié)點(diǎn)B：x2+ 5 20 = x3+480；

節(jié)點(diǎn)C:x3+ 3 90 = x4+600；節(jié)點(diǎn)D:x4+ 6 40 = x1+310。

將方程進(jìn)行等價(jià)變換整理，寫(xiě)成非齊次方程組的標(biāo)準(zhǔn)形式，在課堂上講解運(yùn)用矩陣的初等行變換求得矩陣的行階梯形和行最簡(jiǎn)形后，我們可以引導(dǎo)學(xué)生基于Matlab軟件輸入命令并調(diào)用函數(shù)U=rref([A,b])，從而很快求得上述方程組對(duì)應(yīng)的增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形式。

>> A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];

>> b=[160;-40;210;-330];

>> U=rref([A,b])

輸出結(jié)果為

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：

矩陣U是所求增廣矩陣的行最簡(jiǎn)形，其中第1至4列分別代表變量x1, x2, x3, x4的系數(shù)，第5列則是代表等式右邊的常數(shù)項(xiàng)。把第4列移到等式右邊，其等價(jià)方程結(jié)果為：

由于有效方程數(shù)比未知數(shù)的數(shù)目少，三個(gè)有效方程只能解決三個(gè)變量的問(wèn)題，即沒(méi)有給出足夠多的約束信息來(lái)唯一地確定四個(gè)變量x1, x2, x3, x4，其原因在于，特別地如果有些車(chē)沿著這四方的單行道繞圈，不會(huì)影響總系統(tǒng)的輸入輸出流量，但可以大大增加這四條路上的流量。所以我們稱(chēng)x4為自由變量。

上面兩個(gè)模型分別是基于實(shí)際問(wèn)題建立齊次方程組模型和非齊次方程組模型，對(duì)于它們的解我們可以在課堂上演示“手算”方法的同時(shí)，在課堂上基于Matlab軟件進(jìn)行試驗(yàn)計(jì)算，并通過(guò)驗(yàn)證兩種算法的結(jié)果一致來(lái)激發(fā)大家對(duì)矩陣計(jì)算方法的學(xué)習(xí)熱情和應(yīng)用于實(shí)踐的興趣，為后續(xù)課程如運(yùn)籌學(xué)、離散數(shù)學(xué)、數(shù)值分析和矩陣分析等課程學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

[1]劉三明.線性代數(shù)及應(yīng)用.南京大學(xué)出版社,2012

[2]吳傳生,王衛(wèi)華.線性代數(shù).北京：高等教育出版社,2003.