張科備，王大軼，王有懿

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100190)

UKF位姿估計(jì)的超靜平臺(tái)耦合模型參數(shù)辨識(shí)

張科備1，王大軼2，王有懿1

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100190)

針對(duì)載荷無(wú)陀螺時(shí)辨識(shí)超靜平臺(tái)耦合動(dòng)力學(xué)參數(shù)存在位姿確定問題，設(shè)計(jì)了一種基于Schur分解以及無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF)的位姿確定及參數(shù)辨識(shí)方法。首先，建立加速度計(jì)和姿態(tài)敏感器組成的測(cè)量系統(tǒng)狀態(tài)模型和觀測(cè)模型，并給出測(cè)量系統(tǒng)的可觀性分析。然后，給出基于UKF的載荷位姿確定方法；在UKF中引入姿態(tài)修正信息，從而提高載荷角速度估計(jì)精度，實(shí)現(xiàn)載荷廣義位移、廣義速度、廣義加速度的準(zhǔn)確估計(jì)。通過Schur分解實(shí)現(xiàn)超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型解耦及辨識(shí)模型中動(dòng)力學(xué)參數(shù)顯式表達(dá)。以濾波器估計(jì)載荷位姿信息為依據(jù)，采用最小二乘法辨識(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)。仿真結(jié)果表明UKF能夠準(zhǔn)確估計(jì)載荷角速度以及超靜平臺(tái)支桿剛度系數(shù)，辨識(shí)誤差優(yōu)于百分之一。

Stewart超靜平臺(tái)；位姿確定；無(wú)跡卡爾曼濾波(UKF) ；參數(shù)辨識(shí)

0 引 言

空間觀測(cè)等航天任務(wù)要求載荷實(shí)現(xiàn)毫角秒級(jí)的指向精度和極高的姿態(tài)穩(wěn)定度[1]。而精密跟瞄Stewart平臺(tái)具有高性能隔振、高精度指向和高穩(wěn)定控制等優(yōu)點(diǎn)，使得Stewart超靜平臺(tái)成為實(shí)現(xiàn)這類航天任務(wù)必不可少的一環(huán)[2-3]。Stewart超靜平臺(tái)準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)參數(shù)是實(shí)現(xiàn)載荷高精度指向控制的可靠保障。同時(shí)，Stewart平臺(tái)屬于多通道耦合系統(tǒng)，準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)有利于通道解耦以及控制器設(shè)計(jì)。然而，結(jié)構(gòu)形變、安裝偏差等因素造就了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)實(shí)際值與理論值相差較大，這直接影響了Stewart超靜平臺(tái)控制性能。因此，辨識(shí)Stewart超靜平臺(tái)耦合模型動(dòng)力學(xué)參數(shù)是實(shí)現(xiàn)其高精度指向控制必要前提。

獲取超靜平臺(tái)載荷位姿信息是辨識(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)首要解決的問題。文獻(xiàn)[4-5]提出采用計(jì)算機(jī)視覺圖像處理算法獲取Stewart超靜平臺(tái)的位移和姿態(tài)信息。這種信息獲取方法僅適用于Stewart平臺(tái)位移和姿態(tài)估計(jì)精度要求較低的場(chǎng)合。而應(yīng)用于天文觀測(cè)等航天任務(wù)的精密跟瞄Stewart平臺(tái)，其要求運(yùn)動(dòng)范圍小精度高，此時(shí)采用視覺測(cè)量獲取載荷位姿具有以下局限性：1)很難獲得攝像機(jī)坐標(biāo)系與平臺(tái)基坐標(biāo)系之間的廣義轉(zhuǎn)移矩陣，2)無(wú)法精確實(shí)現(xiàn)攝像機(jī)坐標(biāo)系位姿向基坐標(biāo)系位姿轉(zhuǎn)化[4]。文獻(xiàn)[6]提出一種基于加速度測(cè)量的兩剛體間相對(duì)姿態(tài)信息估計(jì)方法。該方法在僅有加速度可觀測(cè)時(shí)，采用非線性Kalman濾波實(shí)現(xiàn)剛體間相對(duì)角速度和角加速度的估計(jì)。由于缺乏姿態(tài)測(cè)量信息，該方法無(wú)法對(duì)估計(jì)的角速度偏差進(jìn)行修正，造成角速度及積分獲得的姿態(tài)估計(jì)誤差較大。文獻(xiàn)[7]在研究火星進(jìn)入過程中平動(dòng)測(cè)量受限時(shí)，采用擴(kuò)展Kalman濾波(EKF)估計(jì)加速度計(jì)零偏以及載荷的平動(dòng)位移、速度信息。該算法需要精確獲得航天器姿態(tài)和角速度信息以及迭代估計(jì)過程中的各個(gè)零偏之間協(xié)方差信息。

設(shè)計(jì)解耦方法是Stewart超靜平臺(tái)參數(shù)辨識(shí)另一個(gè)需要解決的問題。Stewart超靜平臺(tái)屬于多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，平臺(tái)各通道之間耦合特性復(fù)雜，不利于超靜平臺(tái)控制器設(shè)計(jì)。通過模型解耦實(shí)現(xiàn)多輸入多輸出系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)閱屋斎雴屋敵?SISO)系統(tǒng)，將極大的簡(jiǎn)化控制器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[8-10]針對(duì)Stewart平臺(tái)高耦合動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種基于關(guān)節(jié)空間質(zhì)量-慣量解耦法，實(shí)現(xiàn)了Stewart平臺(tái)MIMO模型到SISO模型的轉(zhuǎn)換。同時(shí)采用最小方差約束和對(duì)稱正定法辨識(shí)解耦模型動(dòng)力學(xué)參數(shù)，從而提高Stewart平臺(tái)載荷控制性能。文獻(xiàn)[11-12]采用矩陣分解方法將Stewart超靜平臺(tái)由高度耦合的復(fù)雜多輸入多輸出系統(tǒng)變?yōu)槎鄠€(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的單輸入單輸出系統(tǒng)，從而簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)。

本文針對(duì)辨識(shí)Stewart超靜平臺(tái)耦合動(dòng)力學(xué)參數(shù)需要解決的兩個(gè)問題，設(shè)計(jì)了1)基于UKF的載荷位姿估計(jì)方法，實(shí)現(xiàn)了Stewart超靜平臺(tái)載荷廣義位移、廣義速度、廣義加速度信息準(zhǔn)確估計(jì)；2)基于Schur分解的動(dòng)力學(xué)模型解耦方法，實(shí)現(xiàn)辨識(shí)模型中超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)參數(shù)顯式表達(dá)。并將該方法應(yīng)用到Stewart超靜平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)中，仿真結(jié)果表明該方法正確可行。

1 問題的提出

1.1 辨識(shí)模型描述

針對(duì)Stewart超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用牛頓-歐拉法[13]、Kane[14]等方法給出了考慮不同因素的動(dòng)力學(xué)模型。這些動(dòng)力學(xué)模型都可采用多輸入多輸出的二階系統(tǒng)進(jìn)行描述。而工程實(shí)際中主要關(guān)心影響Stewart平臺(tái)頻率特性的剛度、阻尼等動(dòng)力學(xué)參數(shù)。因此本文只考慮Stewart平臺(tái)剛度和阻尼等因素進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，系統(tǒng)描述為：

(1)

式中：M=diag(mp,mp,mp,Ix,Iy,Iz,)，mp為載荷的質(zhì)量；Ix，Iy，Iz為載荷三軸主慣量；Ms為Stewart平臺(tái)支桿質(zhì)量參數(shù)陣，為對(duì)稱正定矩陣。Jp為Stewart支桿對(duì)載荷質(zhì)心作用力的雅克比矩陣；f為Stewart平臺(tái)六個(gè)支桿驅(qū)動(dòng)力；xp=[r,θ]為載荷的廣義位移，r為載荷平動(dòng)位移，θ為載荷姿態(tài)。fu為Stewart平臺(tái)載荷受到來(lái)自星體平臺(tái)干擾力；Cpp和Kpp分別為系統(tǒng)合成阻尼和剛度陣，定義為：

(2)

式中，C0=diag(c1,…,c6)，K0=diag(k1,…,k6)，ci、ki(i=1,2,…,6)分別為Stewart平臺(tái)第i個(gè)支桿的阻尼和剛度系數(shù)。

(3)

式中，Jb為Stewart支桿對(duì)星體平臺(tái)質(zhì)心作用力的雅克比矩陣；xb為星體平臺(tái)廣義位移；Fd為載荷受到廣義外作用力；Fc包含所有的科氏項(xiàng)；G包含所有的重力項(xiàng)。

對(duì)式(1)中的Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)，需要解決兩個(gè)問題。第一：載荷位姿信息確定方法。準(zhǔn)確辨識(shí)式(1)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，需要獲取載荷廣義位移、廣義速度、廣義加速度信息。加速度計(jì)能夠測(cè)量系統(tǒng)的加速度，同時(shí)能夠反映載荷的角速度信息。而且與陀螺相比，加速度計(jì)體積小、測(cè)量精度高，更適合Stewart平臺(tái)這種小范圍運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的測(cè)量。因此，有必要研究基于加速度測(cè)量的載荷位姿估計(jì)方法。第二：Stewart平臺(tái)耦合模型解耦方法。由式(1)可知，Stewart平臺(tái)載荷的位姿信息由六個(gè)支桿剛度和阻尼共同作用產(chǎn)生。因此，辨識(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)需要設(shè)計(jì)解耦方法，將耦合MIMO模型轉(zhuǎn)變?yōu)镾ISO模型進(jìn)行辨識(shí)。

1.2 測(cè)量系統(tǒng)描述

Stewart超靜平臺(tái)測(cè)量系統(tǒng)包括三個(gè)三軸加速度計(jì)A1、A2、A3和姿態(tài)敏感器。加速度計(jì)用于測(cè)量Stewart超靜平臺(tái)載荷平動(dòng)信息。姿態(tài)敏感器測(cè)量Stewart超靜平臺(tái)載荷姿態(tài)。如圖1所示，三個(gè)加速度計(jì)呈立體幾何安裝，三個(gè)加速度計(jì)測(cè)點(diǎn)在Stewart下平面坐標(biāo)系Ob-XYZ(原點(diǎn)為下平面中心點(diǎn)Ob)的矢量距為ri(i=1,2,3)。

考慮Stewart平臺(tái)載荷面安裝i個(gè)三軸加速度計(jì)，則第i個(gè)三軸加速度計(jì)測(cè)量模型為：

(4)

式中，hi為第i個(gè)加速度計(jì)的三軸測(cè)量輸出，Tib為Stewart平臺(tái)載荷坐標(biāo)系到第i個(gè)加速度計(jì)本體坐標(biāo)系的方向余弦陣，α=[αx,αy,αz]T為載荷的x,y,z方向的平動(dòng)加速度，ω=[ωx,ωy,ωz]T為載荷三軸角速度；=[x，y，z]T為載荷三軸角加速度；ηi=[ηix，ηiy，ηiz]T為第i個(gè)加速度計(jì)的測(cè)量噪聲，為均值為0，方差σu的高斯白噪聲；ω×為ω的反對(duì)稱陣，定義為：

(5)

2 系統(tǒng)測(cè)量模型

2.1 觀測(cè)系統(tǒng)建模

(6)

式中，I3×3為3×3的單位陣。

取三個(gè)加速度計(jì)測(cè)點(diǎn)矢量距分別為r1=[1,0,1],r2=[0,1,1],r3=[1,1,0]時(shí)，且方向余弦陣Ti=I3，則由式(4)知，由加速度計(jì)組成的測(cè)量系統(tǒng)的觀測(cè)方程為：

(7)

考慮加速度計(jì)安裝偏差，以及采用加速度計(jì)估計(jì)載荷角速度存在偏差等因素，需要在采用UKF估計(jì)載荷位姿信息基礎(chǔ)上，采用序貫估計(jì)方法，引入姿態(tài)修正UKF估計(jì)載荷角速度偏差，提高載荷角速度收斂速度和估計(jì)精度。載荷角速度等效偏差參數(shù)估計(jì)及載荷角速度修正方法如下：

載荷運(yùn)動(dòng)學(xué)模型為：

(8)

(9)

δx=A2δx+B2u2

(10)

當(dāng)采樣時(shí)間為ΔT時(shí)，對(duì)測(cè)量系統(tǒng)式(6)、式(7) 的連續(xù)模型進(jìn)行離散化，從而方便濾波器設(shè)計(jì)。式(6)的測(cè)量系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為：

x(k+1)=Φ1x(k)+Γ1u1

(11)

式(7)測(cè)量系統(tǒng)離散觀測(cè)方程為：

h(x(k-1))=[h1(x(k-1)) …h(huán)9(x(k-1))]T

(12)

式(10)誤差狀態(tài)方程離散形式為：

δx=Φ2δx+Γ2u2

(13)

測(cè)量系統(tǒng)離散模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣和輸入陣定義為：

2.2 系統(tǒng)可觀性分析

由系統(tǒng)可觀性定義可知，如果系統(tǒng)可觀測(cè)，則系統(tǒng)的狀態(tài)能夠通過有限觀測(cè)量和輸入量唯一確定。對(duì)于線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)可觀為全局可觀，系統(tǒng)中每個(gè)狀態(tài)量都可以唯一確定。而離散系統(tǒng)式(11)中狀態(tài)方程為線性模型，觀測(cè)方程為非線性模型。對(duì)于非線性模型，需要構(gòu)建可觀性空間。通過可觀性空間的秩準(zhǔn)則進(jìn)行可觀性分析。采用李導(dǎo)數(shù)的方法構(gòu)建系統(tǒng)的可觀性空間為[6][15]：

(14)

通過可觀性空間O對(duì)狀態(tài)x求導(dǎo)，構(gòu)建可觀性矩陣為：

(15)

通過判斷可觀性矩陣OM的秩分析系統(tǒng)的可觀性。記：

(16)

式(16)中的子矩陣為：

對(duì)式(16)中OM1的每列分析可知，對(duì)于任意狀態(tài)量x(x≠0)，矩陣OM1每一列是線性無(wú)關(guān)矢量，即rank(OM1)=9；

記

(17)

(18)

由式(16)、式(17)和式(18)可知，對(duì)于任意狀態(tài)量x(x≠0)，構(gòu)成觀測(cè)矩陣OM的每一列為線性無(wú)關(guān)矢量，即rank(OM)=9。表明采用三個(gè)加速度計(jì)和姿態(tài)敏感器組成的測(cè)量系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)Stewart超靜平臺(tái)載荷的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)信息全觀測(cè)。

2.3 基于UKF載荷位姿估計(jì)方法

無(wú)跡Kalman濾波摒棄了對(duì)非線性函數(shù)線性化的做法，采用無(wú)跡變換(UT)處理系統(tǒng)均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題，沒有忽略高階項(xiàng)的誤差，因此，UKF與EKF相比，估計(jì)精度更高。針對(duì)式(11)和式(13)的載荷位姿確定系統(tǒng)，文中采用UKF估計(jì)Stewart超靜平臺(tái)載荷平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)信息。如圖2所示，采用序貫估計(jì)方法實(shí)現(xiàn)載荷的廣義位移、廣義速度和廣義加速度準(zhǔn)確估計(jì)。其中，第1-3步為標(biāo)準(zhǔn)的UKF估計(jì)過程。圖2右側(cè)中第4步采用姿態(tài)信息修正UKF估計(jì)載荷角速度偏差參數(shù)，進(jìn)一步提高載荷姿態(tài)和角速度估計(jì)精度。

(19)

式中，qm為姿態(tài)敏感器測(cè)量的載荷姿態(tài)。Δqv為誤差四元素Δq的矢量部分。誤差系統(tǒng)的觀測(cè)陣H2=[I3×303×3]。

3 動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)

Stewart超靜平臺(tái)控制器帶寬設(shè)計(jì)與自身剛度、阻尼等系數(shù)息息相關(guān)。Stewart超靜平臺(tái)支桿剛度、阻尼系數(shù)等受到熱變形、外接線纜等的附加剛度等因素影響，使得Stewart超靜平臺(tái)支桿剛度、阻尼系數(shù)理論值與實(shí)際值差別較大。因此，辨識(shí)Stewart超靜平臺(tái)剛度、阻尼系數(shù)等動(dòng)力學(xué)參數(shù)，有利于提高Stewart超靜平臺(tái)控制器性能。

為準(zhǔn)確辨識(shí)動(dòng)力學(xué)參數(shù)，需要獲取載荷廣義位移、速度、加速度信息。通過上節(jié)的UKF實(shí)現(xiàn)Stewart載荷平動(dòng)加速度α，載荷姿態(tài)θ、角速度ω、角加速度的估計(jì)。通過對(duì)平臺(tái)加速度α的積分，可得到平動(dòng)速度v以及平動(dòng)位移r。則，式(1)中的模型中廣義加速度、廣義速度、廣義位移都可由UKF估計(jì)得到。Stewart超靜平臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型(1)中的剛度、阻尼等動(dòng)力學(xué)參數(shù)與載荷位姿存在相互耦合，需要對(duì)動(dòng)力學(xué)模型(1)進(jìn)行解耦。令則動(dòng)力學(xué)模型(1)改寫為：

(20)

(21)

由上式可知，Mp為對(duì)稱矩陣。采用Schur分解方法對(duì)Mp分解，則有：

Mp=V·u·VT

(22)

其中，V為單位正交陣，且滿足VVT=VTV=I3。U為對(duì)角陣。由式(2)可知，剛度和阻尼矩陣K0，C0為對(duì)角陣。則式(20)中的矩陣Mp，K0，C0經(jīng)過Schur分解可以轉(zhuǎn)換為相互獨(dú)立的對(duì)角陣。其中，VTMpV=u，VTK0V=K0，VTC0V=C0。

定義解耦模型中新的輸入輸出如下：

(23)

將上式(23)代入式(20)，則原系統(tǒng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型可轉(zhuǎn)換為：

(24)

顯然，上式中u=diag(u1，…，u6)，K0，C0都為對(duì)角陣。即采用Schur分解進(jìn)行模型解耦，原動(dòng)力學(xué)模型式(1)轉(zhuǎn)換為SISO時(shí)不變系統(tǒng)。從而實(shí)現(xiàn)辨識(shí)模型中動(dòng)力學(xué)參數(shù)顯示表達(dá)。

定義辨識(shí)模型中狀態(tài)量為Θ=[u1,…,u6,c1,…,c6，k1,…,k6]，將上述SISO模型式(24)改寫為：

(25)

通過Schur方法解耦，式(25)實(shí)現(xiàn)了辨識(shí)Stewart平臺(tái)剛度、阻尼等動(dòng)力學(xué)參數(shù)的顯式表達(dá)，采用遞推最小二乘法，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)。

4 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證基于UKF的Stewart平臺(tái)的姿態(tài)、角速度、角加速度估計(jì)的正確性，進(jìn)行采用加速度計(jì)結(jié)合姿態(tài)敏感器測(cè)量信息的載荷位姿估計(jì)數(shù)學(xué)仿真。仿真參數(shù)見表1。在0-10 s進(jìn)行Stewart超靜平臺(tái)載荷穩(wěn)態(tài)控制。在10 s以后進(jìn)行Stewart超靜平臺(tái)載荷沿x軸的姿態(tài)小角度機(jī)動(dòng)和x方向的平動(dòng)位移機(jī)動(dòng)。在載荷同時(shí)具有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)動(dòng)模式下，以載荷平動(dòng)加速度、姿態(tài)角速度等估計(jì)誤差為指標(biāo)，校驗(yàn)UKF估計(jì)的正確性。

表1 仿真參數(shù)Table 1 Simulation parameters

采用上述UKF估計(jì)器能夠?qū)崿F(xiàn)Stewart超靜平臺(tái)載荷平動(dòng)信息(包括加速度、速度、位移)和姿態(tài)信息(包括姿態(tài)角加速度、角速度、角位移)準(zhǔn)確估計(jì)。采用最小二乘法進(jìn)行Stewart平臺(tái)動(dòng)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)。其中，Stewart平臺(tái)支桿剛度系數(shù)直接關(guān)系著平臺(tái)的結(jié)構(gòu)頻率，因此，辨識(shí)參數(shù)中主要以剛度系數(shù)為主。圖7給出了Stewart平臺(tái)6個(gè)支桿剛度辨識(shí)誤差百分比仿真結(jié)果。由圖可知，六個(gè)支桿的剛度辨識(shí)誤差小于0.01。

5 結(jié) 論

針對(duì)辨識(shí)Stewart超靜平臺(tái)耦合動(dòng)力學(xué)參數(shù)需要獲取載荷廣義位移、速度、加速度信息的問題，文中提出了一種基于加速度計(jì)結(jié)合姿態(tài)敏感器估計(jì)載荷位姿的方法。在建立測(cè)量系統(tǒng)狀態(tài)模型和觀測(cè)模型的基礎(chǔ)上，采用UKF估計(jì)載荷平動(dòng)加速度、角加速度、角速度、姿態(tài)信息。其載荷角速度估計(jì)誤差優(yōu)于0.005(°/s)。以UKF估計(jì)的載荷位姿信息為依據(jù)，采用最小二乘辨識(shí)超靜平臺(tái)耦合模型動(dòng)力學(xué)參數(shù)，其六個(gè)支桿的剛度系數(shù)辨識(shí)誤差小于0.01。

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ParameterIdentificationforUltraquietPlatformCouplingModelBasedonUKF

ZHANG Ke-bei1, WANG Da-yi2, WANG You-yi1

(1. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100190, China; 2. Beijing Institute of Spacecraft Engineering, Beijing 100190, China)

A method based on Schur decomposition and unscented Kalman filter (UKF) is designed to identify the parameters of the Stewart coupling model. The state model, measurement model and observability are given. The UKF is adopted to determine the payload position and attitude. The attitude measurements are used in the UKF to correct the angular velocity error so that the estimation accuracy and convergence speed of the angular velocity can be improved. The payload generalized displacement, generalized velocity and generalized acceleration should be obtained. The parameter decoupling method is designed and the least squares method is used to identify the dynamics parameters. Numerical simulations results indicate that the angular velocity is estimated accurately by the UKF and the stiffness identification errors of the Stewart six struts are less than 0.01.

Stewart ultraquiet platform; Position and attitude determination; Unscented Kalman filter (UKF); Parameter identification

2017- 06- 15;

2017- 09- 25

國(guó)家杰出青年科學(xué)基金(61525301)；國(guó)家自然科學(xué)基金重大項(xiàng)目課題(61690215)

TB535

A

1000-1328(2017)12- 1289- 08

10.3873/j.issn.1000- 1328.2017.12.005

張科備(1985-)，男，博士生，主要從事航天器姿態(tài)高精高穩(wěn)控制。

通信地址：北京市中關(guān)村南三街北京控制工程研究所(100190)

E-mail:zhangkb.2008@163.com