施 強，袁長清，孫云龍，于海莉

(空軍航空大學飛行器與動力系，吉林 130022)

共線三星庫侖編隊動力學與自適應控制研究*

施 強，袁長清，孫云龍，于海莉

(空軍航空大學飛行器與動力系，吉林 130022)

針對地球同步軌道處共線三星庫侖編隊隊形保持的自適應控制問題進行研究,建立共線三星庫侖編隊在地球同步軌道的非線性相對運動動力學模型，研究僅使用庫侖力作為控制力，實現(xiàn)共線三星庫侖編隊徑向靜態(tài)穩(wěn)定的控制方案，并在庫侖力建模中考慮德拜效應的影響.基于建立的非線性化動力學模型，同時考慮到外部擾動力的影響，設計三星共線庫侖編隊在地球同步軌道的構型保持自適應控制律，并利用Lyapnuov穩(wěn)定性理論證明系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，進行數(shù)值仿真.

庫侖編隊；地球同步軌道；構型保持；自適應控制

0 引 言

近年來，庫侖力衛(wèi)星編隊作為一種新興的近距離編隊技術受到越來越多的關注[1-2].庫侖力編隊利用衛(wèi)星間的靜電引力或斥力作為控制力，通過設計適當?shù)目刂坡蓙砜刂凭庩牭臉嬓?、姿態(tài)以及編隊中衛(wèi)星間的距離[3].庫侖力作為一種非接觸作用力，它源于帶電衛(wèi)星間靜電力的相互作用，其比沖高達1013s[4]，因此它是一種十分高效的控制力.在給衛(wèi)星充電時只需消耗幾瓦特的功率，且它可以利用太陽帆板提供的電能不需要消耗燃料，不會對鄰近衛(wèi)星產(chǎn)生羽化污染，因此庫侖力編隊技術能夠被用于執(zhí)行高軌道或深空長任務周期的近距離或極近距離衛(wèi)星編隊任務.

三星及多星庫侖力編隊動力學模型的強耦合性和非線性特點，給其穩(wěn)定性分析及控制律的設計帶來了諸多難題.國內(nèi)外學者多對二星庫侖力編隊進行研究，Inampudi等[5-6]人運用拉格朗日函數(shù)建立兩星庫侖編隊在地-月平動點處的動力學模型，并分別討論在地-月系平動點處兩星庫侖編隊在徑向方向、軌道切線方向和軌道面法線方向的穩(wěn)定性問題.Wang等[7]研究了地球同步軌道兩衛(wèi)星自旋庫侖虛擬結(jié)構控制問題，設計全狀態(tài)反饋電荷控制器，并應用Lyapunov穩(wěn)定性理論，證明閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.黃靜[8]針對于平動點附近處二星虛擬繩系庫侖力系統(tǒng)姿軌耦合控制問題，首先采用歐拉-拉格朗日方程對二體衛(wèi)星建模，設計了非線性二次型最優(yōu)控制器實現(xiàn)了對二體繩系系統(tǒng)的長周期穩(wěn)定控制.張皓等[9]提出了一種使用航天器間庫侖力實現(xiàn)懸停軌道的方法，并通過對開環(huán)控制和閉環(huán)控制的分析，給出了利用庫侖力技術實現(xiàn)懸停軌道的實施方案.

在三星庫侖編隊方面，Schaub等[10-11]針對3個航天器對稱編隊構形，應用線性控制理論，設計反饋控制律，并討論閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性.Hussein等[12]于2007年首次研究庫侖虛擬結(jié)構的反饋控制問題，考慮三結(jié)點共線虛擬結(jié)構，應用線性化相對動力學方程設計了電荷反饋控制律.Hogan等[13]研究了在深空環(huán)境下的旋轉(zhuǎn)三星庫侖編隊在二維平面內(nèi)的相對運動模型，并以等質(zhì)量共線三星編隊為例進行分析.Jones[14]在文獻[13]的基礎上，基于非線性平面外解耦模型對深空環(huán)境下共線三星庫侖編隊的面外運動穩(wěn)定性進行了分析，并設計了非線性控制律.文獻[15]對六星庫侖-繩系編隊的雙四面體對頂雙錐型結(jié)構進行了研究，運用拉格朗日方程建立了其相對動力學方程，并對其開環(huán)控制進行分析.王婷等[16]研究了等質(zhì)量五星庫侖編隊的靜態(tài)構型問題.

上述研究在建立庫侖力三星相對動力學模型時，既沒有考慮地球等天體間引力對三星編隊的影響，也沒有考慮外界環(huán)境對于編隊的干擾影響.本文選取地球同步軌道環(huán)境為研究背景.考慮地球引力、外界干擾、以及德拜效應的影響，以庫侖衛(wèi)星編隊系統(tǒng)為研究對象，運用拉格朗日方程，建立了共線三星庫侖力編隊的非線性相對運動動力學模型.本文利用庫侖力作為控制力，設計了共線三星庫侖編隊自適應控制律，同時考慮到未建模的擾動力的影響，并進行數(shù)值仿真驗證.

1 動力學模型的建立

假設地球的質(zhì)量為M，為了描述衛(wèi)星之間的相對運動，建立Hill軌道坐標系H：{Or,Oθ,Oh}，Or沿地球半徑指向背離地心方向，Oθ指向衛(wèi)星編隊質(zhì)心的速度方向，Oh指向衛(wèi)星軌道角速度方向，Oh與Or,Oθ構成右手系(如圖1所示).用ri表示庫侖力編隊中第i顆衛(wèi)星在地心慣性坐標系中的位置，rc為編隊質(zhì)心在慣性坐標中的位置矢量，第i顆衛(wèi)星相對編隊質(zhì)心的位置矢量ρi=ri-rc，則第i顆衛(wèi)星在Hill坐標系中的位置矢量為：

(1)

這里左上角標“H”表示矢量在Hill坐標系中的投影.

下面以整個庫侖衛(wèi)星編隊系統(tǒng)為研究對象，建立多顆庫侖力衛(wèi)星編隊飛行的非線性相對運動動力學模型.該模型也可以用來描述其他類型的非接觸力衛(wèi)星編隊的相對運動.

1.1 系統(tǒng)動能

設第i顆衛(wèi)星的質(zhì)量為mi，第i顆衛(wèi)星在慣性坐標系下的位置矢量可以表示為

(2)

式中，rc為庫侖力衛(wèi)星編隊質(zhì)心在慣性坐標中的位置矢量.

第i顆衛(wèi)星的絕對速度可表示為

vi=vρ+vo

(3)

(4)

則第i顆衛(wèi)星的動能為

(5)

從而我們可以得到由N顆衛(wèi)星組成的庫侖力衛(wèi)星編隊的系統(tǒng)動能為

(6)

1.2 系統(tǒng)勢能

對于地球同步軌道處的多星庫侖力衛(wèi)星編隊系統(tǒng)，其系統(tǒng)勢能包括由地球引力產(chǎn)生的重力勢能和衛(wèi)星間的庫侖力勢能.

對于N星庫侖力編隊系統(tǒng)，其重力勢能可以表示為

(7)

(8)

式中，ti為ρi的單位向量，u是rc的單位向量.

對于N星庫侖力編隊系統(tǒng)，其庫侖力勢能為

(9)

1.3 共線三星庫侖編隊相對運動動力學方程

對徑向共線三星庫侖編隊進行分析，假設該三星庫侖編隊為徑向方向相連的剛體結(jié)構，建立坐標系B:{b1,b2,b3}如圖2所示，其中b1始終沿ρ13方向，若衛(wèi)星編隊無位置和速度偏差，b2沿軌道切線方向，b3與b2、b1構成右手系，則坐標系B與Hill軌道坐標系H完全重合.將繞b1軸的轉(zhuǎn)角定義為偏航角φ，假定零姿態(tài)角情形b2標稱方位指向飛行方向，則繞該軸的轉(zhuǎn)角定義為滾轉(zhuǎn)角θ，繞b3軸的轉(zhuǎn)角定義為俯仰角ψ.

設3顆衛(wèi)星的質(zhì)量分別為m1、m2、m3，根據(jù)質(zhì)心條件可以得到

m1ρ1+m2ρ2+m3ρ3=0

(10)

由圖3知

(11)

式中：ρ1b1、ρ2b1、ρ3b1分別為星1、星2、星3在B坐標系下b1軸上的坐標；l1為衛(wèi)星1與衛(wèi)星2之間的距離，l2為衛(wèi)星2與衛(wèi)星3之間的距離.

聯(lián)立式(10)～(11)可求得，在圖2構型中，在坐標系B下，ρ1、ρ2、ρ3為

(12)

本文采用3-2-1(ψ-θ-φ)的歐拉角旋轉(zhuǎn)，由于假設衛(wèi)星視為質(zhì)點，該共線三星編隊為剛體結(jié)構.因此，繞b1方向轉(zhuǎn)動的偏航角φ可以忽略，即φ=0，則坐標系B與希爾坐標系H之間的坐標轉(zhuǎn)換矩陣為

(13)

在希爾坐標系H中，衛(wèi)星i的位置向量為

(14)

將式(12)～(13)代入式(14)我們可知在希爾坐標系H中3顆衛(wèi)星的位置矢量為

(15)

求導得速度矢量分別為

(16)

式中：

將式(4)、(15)、(16)分別代入式(6)、(8)、(9)可以得到徑向共線三星庫侖編隊的系統(tǒng)動能T為

(17)

重力勢能為

(18)

庫侖力勢能Ve為

(19)

共線三星庫侖力編隊的系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為[5]:

L=T-(Vg+Ve)

(20)

拉格朗日方程為：

(21)

其中Qi為第i顆星所受到的廣義力(不包括地球重力項和庫侖力項).

將式(17)～(19)代入式(21)得共線三星庫侖編隊相對運動方程為

(22)

式中，L1=m4l1+m5l2，L2=m5l1+m6l2，

這里Q12、Q13、Q23為衛(wèi)星間電荷乘積 ，即Q12=q1q2，Q13=q1q3，Q23=q2q3.本文均選取地球高軌道附近，上述式(22)為徑向共線三星庫侖編隊在地球同步軌道處耦合的非線性常微分動力學方程.式(22)中衛(wèi)星1與衛(wèi)星2之間的距離l1、衛(wèi)星2與衛(wèi)星3之間的距離l2與滾轉(zhuǎn)角θ和俯仰角ψ高度耦合，這使得可以通過控制衛(wèi)星的電荷量來實現(xiàn)對衛(wèi)星間距的直接控制和姿態(tài)角的間接控制，從而使系統(tǒng)漸進穩(wěn)定.

2 共線三星庫侖編隊隊形保持自適應控制

考慮到外界干擾力(如地球擾動力、太陽光壓等)和庫侖力靜電場近似模型的不確定性，針對共線三星庫侖編隊構型保持設計了自適應控制律.

式(22)可簡化為

(23)

考慮到在地球同步軌道處衛(wèi)星會受到未知擾動力的影響，則式(23)可表示為

(24)

式中d為干擾項.

δX=X-Xd

(25)

速度誤差為

(26)

不確定參數(shù)的估計誤差為

(27)

復合誤差可記為

(28)

對式(28)求導

(29)

令控制加速度控制律如下：

(30)

利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明編隊控制系統(tǒng)穩(wěn)定性.定義Lyapunov函數(shù)為

(31)

式中Γ為對角矩陣.

對式(31)求導：

(32)

取自適應控制律為：

(33)

式中M=Kd.

將式(30)和(33)代入式(32)可得到：

(34)

3 數(shù)值仿真

本節(jié)應用Matlab/Simulink軟件進行仿真校驗.考慮衛(wèi)星在編隊飛行過程中受到的外界干擾力作用和衛(wèi)星間靜電場模型誤差，對共線三星庫侖編隊在地球同步軌道上構型保持的自適應控制律進行仿真驗證.

在地球同步軌道處，外部環(huán)境干擾力主要地球攝動和太陽光壓產(chǎn)生，其相對干擾加速度選取為：d=[5.67×10-8sin(ωst) 3.34×10-8sin(ωst) 0 0][17].式中：ωs=Ω-ωB=(7.291×10-5-1.991×10-7) rad/s，ωB為地球繞太陽的旋轉(zhuǎn)角速度[6].

自適應控制參數(shù)設計為：

Λ=diag{10，0.1，0.01}，
Kp=diag{0.1，0.01，0.1}，
Γ=diag{1，0.1，1，0.1，0.01，0.1}.

仿真結(jié)果如圖4～8所示，其中圖4～5為衛(wèi)星編隊中各衛(wèi)星的相對運動軌跡，在初始時刻衛(wèi)星編隊受到外界擾動力影響，其相對位置出現(xiàn)偏差，在4小時后衛(wèi)星編隊恢復原有構型；圖6～7分別給出了在共線三星庫侖編隊自適應控制律的作用下，衛(wèi)星間距和編隊姿態(tài)角隨時間的變化情況.在自適應控制律的控制下，約4h后，衛(wèi)星間距離l12和l23分別收斂到40 m和30 m，面外俯仰角θ和面內(nèi)偏航角ψ均收斂到0； 圖8、圖9分別給出了在自適應控制律的作用下，衛(wèi)星間電荷乘積和衛(wèi)星間作用力隨時間的變化情況.在控制器作用過程中，衛(wèi)星間電荷Q12與Q23為負值，Q13為正值，其數(shù)值先減小后增大最后分別收斂到-21.13 μC2、-18.72 μC2和33.24 μC2.仿真結(jié)果表明在共線三星庫侖編隊自適應控制律的作用下，編隊構型能夠達到期望構型，說明所設計的編隊構型保持控制律是有效的.

4 結(jié) 論

本文研究了共線三星庫侖衛(wèi)星編隊在地球同步軌道處相對運動動力學與控制問題.針對三星庫侖編隊模型的復雜性以及外界干擾和德拜效應的影響，提出了運用繩系編隊的建模思想，來建立了共線三星庫侖編隊相對運動動力學模型的方法，并利用泰勒級數(shù)展開式對其進行線性化處理.本文設計了共線三星庫侖編隊自適應控制律，考慮到了未建模的擾動力，并通過數(shù)值仿真驗證了其有效性.該方法也可用于其他類型的非接觸力衛(wèi)星編隊在高軌的近距離航天任務.

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AdaptiveControlResearchofTwo-CraftCoulombFormationinTrackRadial

SHI Qiang, YUAN Changqing, SUN Yunlong， YU Haili

(AviationUniversityofAirForce,Changchun130022，China)

In this paper, the adaptive control problem of the collinear three-craft coulomb formation configuration keeping at geostationary orbit is investigated. The non-linear relative kinetic model of the collinear three-craft Coulomb formation in geosynchronous orbit is established, and the control strategy of only using the Coulomb force as the control force is studied to keep the radial static stability of the collinear three-craft Coulomb formation. Based on the non-linear dynamic model, considering the unmodeled disturbance force at space environment, the adaptive control law is designed. Finally, the numerical simulation is carried out.

coulomb formation； geostationary orbit； configuration keeping； adaptive control

*國家自然科學基金資助項目(11372353).

2017-09-17

V448.2

A

1674-1579(2017)06-0013-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.06.003

施強(1993—)，男，碩士研究生，研究方向為衛(wèi)星庫侖力編隊動力學與控制;袁長清(1974—)，男，教授，研究方向為航天器動力學與控制;孫云龍(1993—)，男，碩士研究生，研究方向為衛(wèi)星庫侖力編隊動力學與控制;于海莉(1973—)，女，副研究館員，研究方向為圖書情報學.