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        環(huán)Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循環(huán)碼

        2018-01-03 09:44:49趙瑞瑞李秀麗
        山東科學 2017年6期
        關鍵詞:子模自同構碼字

        趙瑞瑞,李秀麗

        (青島科技大學數(shù)理學院,山東 青島 266061)

        環(huán)Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循環(huán)碼

        趙瑞瑞,李秀麗*

        (青島科技大學數(shù)理學院,山東 青島 266061)

        本文研究了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的2-D斜循環(huán)碼,對二元斜多項式的性質(zhì)和因式分解進行了討論。同時研究了線性碼是2-D斜循環(huán)碼的充要條件、2-D斜循環(huán)碼的性質(zhì)及其構造方法 。

        斜循環(huán)碼;斜多項式;2-D斜循環(huán)碼

        1 預備知識

        多項式環(huán)和理想通常被用來構造循環(huán)碼。斜多項式環(huán)是非交換環(huán),在代數(shù)碼的構造上應用廣泛。因為斜多項式環(huán)中的多項式不滿足乘法交換律,因此斜多項式環(huán)中比多項式環(huán)中存在更多的理想。文獻[1-2]中提出了利用斜多項式來構造循環(huán)碼的一種推廣形式——斜循環(huán)碼,并且構造出了許多好碼。近幾年,編碼領域的科學工作者以高斯環(huán)、Z2+uZ2+u2Z2、F4+vF4、Fp+vFp作為主要的研究對象,在斜循環(huán)碼的構造方面,文獻[1-6]做了很多卓有成效的工作。文獻[3]中討論了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼與多項式環(huán)理想的關系,并給出了斜循環(huán)碼的生成多項式。文獻[7]中介紹了在有限域上二維斜循環(huán)碼的一些基本性質(zhì)和構造方法,以及2-D斜循環(huán)碼和斜循環(huán)碼以及循環(huán)碼之間的關系。

        在本文中環(huán)R=Z2+uZ2+u2Z2={0,1,u,u2,1+u,1+u2,u+u2,1+u+u2},其中u3=1。對任意的兩個元素a=a0+ua1+u2a2,b=b0+ub1+u2b2∈R,定義加法規(guī)則如下:c=a+b=c0+uc1+u2c2,其中ci=ai+bi(mod 2),i=0,1,2。乘法定義為c=ab=c0+uc1+u2c2,其中c0=a0b0+a1b2+a2b1(mod 2),c1=a0b1+a1b0+a2b2(mod 2),c2=a0b2+a2b0+a1b1(mod 2)。

        c=(c0,c1,…,cn-1)∈C?Τσ(c)=(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2,))∈C,

        映射Τσ稱為σ-斜移位算子。如果σ是單位映射,那么C是R上的循環(huán)碼。

        設σ是R上的一個自同構映射,多項式集合R[x,σ]={∑aixi|ai∈R;i∈Z+}。在R[x,σ]上加法運算定義為普通多項式加法,乘法定義為axi·bxj=aσi(b)xi+j。由分配律和結(jié)合律可擴充為R[x,σ]上的任意元素之間的運算,因此R[x,σ]是一個環(huán) 。

        通常,如果f(x)∈R[x,σ]生成一個雙邊理想,那么R[x,σ]/的左理想是一個在R上長為deg(f(x))的線性碼。這樣的碼稱為斜線性碼,如果它是一個主左理想,那么稱它為主斜線性碼。

        設σ和θ是R上的兩個自同構映射,二元多項式集合

        R[x,y;σ,θ]={∑∑aijxiyj|aij∈R;(i,j)∈Z+2},

        在R[x,y;σ,θ]上加法運算定義為普通多項式加法,乘法定義如下:

        axiyj·bxryt=aσiθj(b)xi+ryj+t,

        由分配律和結(jié)合律可擴充為R[x,y;σ,θ]上的任意元素之間的運算,因此R[x,y;σ,θ]是一個環(huán)。

        定義1.2 設C是一個在R[x,y;σ,θ]上長度為n的線性碼,n=sl,寫成矩陣的形式,?c∈C有

        如果矩陣c的行在σ斜移位和列在θ斜移位下仍在C中,稱C是一個R上的在σ和θ下大小為sl的2-D斜循環(huán)碼。如果σ和θ是單位映射,C是2-D循環(huán)碼。

        2 二元斜多項式環(huán)R[x,y;σ,θ]

        設f,g∈R[x,y;σ,θ],且f,g的最高次項的系數(shù)在R上可逆,如果存在h∈R有f=h·g,那么g稱為f的右因子。左因子的定義類似。若g與任意多項式可交換,則g(x,y)∈Z(R[x,y;σ,θ]),稱g為中心多項式。

        與[5]中證明類似,可得到以下結(jié)論:

        引理2.1 如果g·h∈Z(R[x,y;σ,θ]),那么g·h=h·g。即一個中心多項式的右因子也是它的左因子。

        (xs-1)·f(x,y)=f(x,y)·(xs-1)和(yl-1)·f(x,y)=f(x,y)·(yl-1)。

        證明:設f(x,y)∈∑∑ai,jxiyj,ai,j∈R,

        另一等式同理可證。

        下面將文獻[4]中定理1推廣到到二元斜多項式環(huán)。

        定理2.3 設兩個非零多項式f1(x,y),f2(x,y)∈R[x,y;σ,θ],滿足deg(f1(x,y))≥deg(f2(x,y)),那么存在兩個多項式h(x,y)≠0,g(x,y)∈R[x,y;σ,θ]滿足f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y)有h(x,y)=0或deg(f2(x,y))!≤deg(g(x,y))deg(f1(x,y))。(其中!≤表示不嚴格小于)

        證明:設deg(f1(x,y))=(k1,λ1),deg(f2(x,y))=(k2,λ2)滿足(k1,λ1)≥(k2,λ2)。假如f1(x,y)和f2(x,y)的最高次項分別為ak1λ1xk1yλ1和bk2λ2xk2yλ2,ak1,λ1≠0且bk2λ2≠0,在R上可逆,存在h1(x,y)=ak1λ1(σk1-k2θλ1-λ2)-1(bk2λ2)xk1-k2yλ1-λ2和g1(x,y)=f1(x,y)-h1(x,y)·f2(x,y),顯然有g1(x,y)=0或deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。如果g1(x,y)≠0,deg(f2(x,y))!≤deg(g1(x,y))結(jié)論得證,否則deg(f2)≤deg(g1)。類似地,存在h2(x,y)和g2(x,y)有g1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y),滿足g2(x,y)=0或deg(g2(x,y))deg(g1(x,y))。如果g2(x,y)≠0,deg(f2(x,y))!≤deg(g2(x,y)),結(jié)論得證,否則deg(f2)≤deg(g2)。繼續(xù)按上述方法迭代,在有限次運算之后停止,我們得到h1(x,y),h2(x,y),…,ht-1(x,y)和g1(x,y),g2(x,y),…,gt(x,y)有

        f1(x,y)=h1(x,y)·f2(x,y)+g1(x,y),

        g1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y),

        …,

        gt-1(x,y)=ht(x,y)·f2(x,y)+gt(x,y),

        滿足gt(x,y)=0或f2(x,y)!≤gt(x,y)。如果gt(x,y)≠0,有

        deg(gt(x,y))deg(gt-1(x,y))…deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。

        例2.4 設f1(x,y)=x4y2-2xy+5,f2(x,y)=x2y-2x+2,滿足deg(f1(x,y))>deg(f2(x,y)),容易得出f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y),其中h(x,y)=x2y-2,g(x,y)=-xy-2x+9,滿足定理要求。

        3 2-D斜循環(huán)碼的結(jié)構

        且l是滿足上述條件的最小正整數(shù)。

        這意味著,在R上長為n=sl下標為l的斜準循環(huán)碼C是在映射Τσ,l下Rsl的不變的R-子模。

        設C是R上的長為n=sl的線性碼,它的碼字可以寫成s×l的矩陣形式:

        從定義中可知C是2-D斜循環(huán)碼的充要條件是:

        ①C1是一個在σ下長為sl指數(shù)為l的斜準循環(huán)碼;

        ②C2是一個在θ下長為sl指數(shù)為s的斜準循環(huán)碼。

        設F=R[x,y;σ,θ]/l,給出如下自同構映射:

        Rs×l→F,

        Rs×l記為s×l的矩陣的集合。那么一個碼字c∈C可以被記為在上述映射下的一個二元多項式。因此在R上的斜循環(huán)碼也可以認為是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

        定理3.2F上的碼C是一個2-D斜循環(huán)碼,當且僅當C是一個F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

        證明: “?”在F中的碼C是2-D斜循環(huán)碼,碼C中的任意碼字的行σ-移位和列θ-移位仍在C中。設f(x,y)是C中的碼字的二元多項式表示,對任何非負整數(shù)i,j{xiyjf(x,y)}R仍是C中碼字的二元多項式表示,{xiyjf(x,y)}R表示x的指數(shù)模s,y的指數(shù)模l。C是線性的有{r(x,y)f(x,y)}R∈F,對?f(x,y)∈R[x,y;σ,θ],所以C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

        “?”設C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模,那么對?f(x,y)∈F我們有{x·f(x,y)}R∈C,{y·f(x,y)}R∈C。因此C是一個2-D斜循環(huán)碼。

        例3.4 取R上的自同構映射σ、θ為:σ(a0+ua1+u2a2)=a0+u2a1+ua2,其中ai∈Zi,i=0,1,2,σ=θ。易知若a∈R,則θ2(a)=a,即θ的階為2。 設l=4,s=2,那么D=是F的一個左理想,D/是一個4×2的2-D斜循環(huán)碼。

        理想D有一個生成元為xiyj(x2+uxy+u2x2y)模,0≤i≤3,0≤j≤1的集合,相對應的碼字為:

        4 結(jié)語

        本文對2-D斜多項式環(huán)的性質(zhì)和因式分解進行了討論,給出了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的一個自同構,討論了其上的2-D斜循環(huán)碼的性質(zhì)及其構造,并給出了一個實例加以說明。由于Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼是廣義斜循環(huán)碼,其個數(shù)要比循環(huán)碼多,因此研究斜循環(huán)碼有利于找到更多的好碼。

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        [2]BOUCHER.,ULMER F. Coding with skew polynomial rings [J].Journal of Symbolic Computation,2009, 44: 1644-1656.

        [3]李錦,朱士信.Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼[J].合肥工業(yè)大學學報(自然科學版),2011,34(11):1745-1748.

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        [6]ABUALRUB T, GHRAYEB A, AYDIN N , et al. On the construction of skew quasi-cyclic codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 56: 2081-2090.

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        2-DskewcycliccodesovertheringZ2+uZ2+u2Z2(u3=1)

        ZHAORui-rui,LIXiu-li*

        (SchoolofMathematicsandPhysics,QingdaoUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266061,China)

        ∶In this paper, the2-Dskew cyclic codes over the ringZ2+uZ2+u2Z2was studied. The properties and factorizations of bivariate skew polynomial were also discussed. Then the necessary and sufficient condition for linear code to be 2-Dskew cyclic code were given. Finally,the properties and the structure of 2-Dskew cyclic code were researched.

        ∶skew cyclic codes; skew polynomial;2-Dskew cyclic codes

        10.3976/j.issn.1002-4026.2017.06.020

        2017-01-09

        山東省中青年科學家獎勵基金(BS2011DX011);山東省科技廳聯(lián)合專項(ZR2013AL011)

        趙瑞瑞(1992—),男,碩士研究生,研究方向為組合設計編碼。

        *通信作者,李秀麗,女,副教授,碩士生導師,研究方向為組合設計編碼。1436354481@qq.com

        O157

        A

        1002-4026(2017)06-0119-05

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