廣東省深圳外國語學校 (518083)

劉小梅

例析解析幾何中最值問題的求解方法

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劉小梅

解析幾何最值問題的求解是高考高頻考點，也是考試難點.教學中發(fā)現(xiàn)，解決該類問題通常有以下三種方法：即函數(shù)轉(zhuǎn)換法，均值不等式法及幾何法.下面列舉數(shù)例予以說明.

圖1

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(顯然用一次函數(shù)的單調(diào)性一步解決問題)

(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程

所以|PA||PQ|=-(k-1)(k+1)3.

接下來的處理有以下方法.

圖2

評析：從以上三種解法不難發(fā)現(xiàn)，如果能挖掘出題中圖形的一些幾何性質(zhì)，運用幾何法是求解此類問題最簡捷的方法.

注：本題也可以通過橢圓的參數(shù)方程將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解.設(shè)點P(acosθ,bsinθ)，通過兩點間的距離公式化簡后得到|PF|=|a+ccosθ|，由于-1≤cosθ≤1，a>c，易求|PF|max=a+c,|PF|min=a-c.

圖3

解法二：(幾何法)如圖3，根據(jù)三角形的性質(zhì)易得ΔPF1F2中，|PF1|<|PF2|+|F1F2|，當P,F1,F2三點共線時，|PF1|=|PF2|+|F1F2|或|PF1|=|PF2|-|F1F2|,所以|PF2|-|F1F2|≤|PF1|≤|PF2|+|F1F2|,令|PF1|=m,則|PF2|=2a-m，2a-m-2c≤m≤2a-m+2c，a-c≤m≤a+c,求得|PF|max=a+c,|PF|min=a-c.

注：本題還可以利用橢圓的第二定義及焦半徑公式求焦半徑的最值.在求離心率的取值范圍中經(jīng)常運用焦半徑的取值范圍.

解：令|PF1|=m,|PF2|=n，∠F1PF2=θ，則m+n=2a,|F1F2|=2c,ΔPF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncosθ，

評析：本題的求解結(jié)合了橢圓的定義、余弦定理、余弦函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式等多知識的交匯，說明并不是每一個解析幾何最值問題都只是用到以上介紹的三種方法.所以慢審題，快解題，選對方法就是上策.