北京市第十二中學(xué) (100071)

劉 剛 趙 毅

對一道高三期末最值試題的探究與推廣*

北京市第十二中學(xué) (100071)

劉 剛 趙 毅

極坐標(biāo)與參數(shù)方程是全國課標(biāo)卷必考內(nèi)容之一，多以直線、圓為主.下面以一道高三期末試題為例，剖析題目解法，探究一般結(jié)論，積累解題經(jīng)驗，從而鞏固所學(xué)知識.

1.試題

(Ⅰ)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；

試題考查了直線、圓的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、線段比值的最值問題，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想及坐標(biāo)法的運用，檢驗了運算求解及分析問題與解決問題的能力.試題解法多樣，內(nèi)涵豐富，是一道好題.

2.解法探究

(Ⅰ)C1:ρ(cosθ+sinθ)=4，C2的普通方程為(x-1)2+y2=1，所以ρ=2cosθ.

點評:解法利用極坐標(biāo)表示出了所求線段的長，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)使問題得以解決.在解題過程中，遇到從一點出發(fā)的幾條線段長度的問題都可以借助極坐標(biāo)解決.

圖1

點評:坐標(biāo)法是解決解析幾何問題的基本方法.解法2首先通過添加輔助線，分析圖形特點，然后借助點的坐標(biāo)以及均值不等式使問題得以解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

圖2

點評:解法挖掘圖形特點，運用平行線分對應(yīng)線段成比例、解直角三角形等知識使問題得以解決，體現(xiàn)了問題的本質(zhì)特點.

圖3

3.推廣

經(jīng)過對該題一般化探究，可以得到下面的結(jié)論.

[1]劉剛，趙毅.一道高考斜率最值試題的探究與推廣[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版)，2016，8.

[2]劉剛，趙毅.一道以圓為背景的高三聯(lián)考試題的探究歷程[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2016，10.

* 本文系北京市豐臺區(qū)“十三五”重點課題《新課程背景下高中數(shù)學(xué)競賽教學(xué)研究》(課題批準(zhǔn)號：2016237-J)階段成果之一.