安徽省滁州中學(xué) (239000)

程潤(rùn)申 王 圣

一道2017年高考向量試題的多角度探究及啟示

安徽省滁州中學(xué) (239000)

程潤(rùn)申 王 圣

1.真題再現(xiàn)

上述試題是2017年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅲ理科選擇題第12題，主要考察了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量基本定理，應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)以及利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.考查內(nèi)容豐富，綜合性較強(qiáng).本文擬從不同的角度對(duì)此題作多角度的探究.

2.探究過(guò)程

2.1 探究角度一：通過(guò)“自乘”的方法，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解λ+μ的最大值

下面通過(guò)不同路徑研究λ+μ的最大值：

圖1

2.2 探究角度二：通過(guò)“它乘”的方法，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求解λ+μ的最大值

下面解法同法一.

2.3 探究角度三：通過(guò)向量系數(shù)分解回歸向量概念本質(zhì)，進(jìn)而求解λ+μ的最大值

由平行四邊形法則分解如圖2所示，在ΔPNC中由正弦定理可得

圖2 圖3

2.4 探究角度四：通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，把向量問(wèn)題代數(shù)化，進(jìn)而求解λ+μ的最大值.

2.5 探究角度五：挖掘向量背后的平面幾何意義，進(jìn)而求解λ+μ的最大值

3.探究過(guò)程的一點(diǎn)啟示

向量本身既有大小，又有方向，向量相關(guān)知識(shí)融合數(shù)形于一體，能夠較好的綜合考查代數(shù)，幾何，三角，不等式等各個(gè)章節(jié)的內(nèi)容，使得他們有機(jī)的聯(lián)系到一起.在具體解決問(wèn)題過(guò)程中，向量本身就成為了一個(gè)重要的工具，與平面向量相關(guān)的最值問(wèn)題，頻率較高的出現(xiàn)在各地的模擬試卷以及高考試卷中，經(jīng)久不衰.也是高中學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).

3.1 抓住向量概念中的代數(shù)特征，以數(shù)輔形

向量問(wèn)題解決的本質(zhì)在于概念本身的理解，有長(zhǎng)度方向，兩者需兼顧不可荒廢，但在具體的問(wèn)題中，顯現(xiàn)出的外在表征不同，促使我們同學(xué)在解決問(wèn)題的過(guò)程中有所傾向.抓住問(wèn)題本質(zhì)，建立坐標(biāo)也不失為是解決向量問(wèn)題的一個(gè)很好代數(shù)手段，同時(shí)，函數(shù)方程觀點(diǎn)，向量三角不等式，三角工具，數(shù)量積公式，極化恒等式等等都是可以作為輔助工具使用，也能較好的考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力.

3.2 抓住向量知識(shí)中的幾何特征，以形助數(shù)

向量的方向性決定了向量問(wèn)題中的幾何特征，但在具體的應(yīng)用過(guò)程中，包括我們的教師在高三復(fù)習(xí)的很多時(shí)候都強(qiáng)調(diào)能建立坐標(biāo)系的盡量建坐標(biāo)，這樣能減少“思維量”，這里所謂的“思維量”恐怕就是我們經(jīng)常所說(shuō)的平面向量背后所具有的幾何屬性.涉及到平面幾何相關(guān)性質(zhì)，我們的學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中確實(shí)有所“怵”，但這樣的“怵”是不是和我們或多或少的教學(xué)暗示或者走捷徑有關(guān)，可以讓學(xué)生去探究提煉相關(guān)幾何背景，比如投影的幾何意義，線圓等相關(guān)初中幾何知識(shí)和性質(zhì)的總結(jié)和應(yīng)用.在潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲中慢慢滲透向量的幾何特征，以幾何屬性提升化簡(jiǎn)運(yùn)算的能力.

對(duì)于向量的復(fù)習(xí)，我們不需要題海戰(zhàn)術(shù)，可以以經(jīng)典高考向量試題，通過(guò)不同角度的激發(fā)學(xué)生合作探究，直至最終解決問(wèn)題來(lái)構(gòu)建高三向量復(fù)習(xí)微專題，在數(shù)中顯形，在形中助數(shù).