江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) (337000)

黃賢鋒

探究一道高考題幾何背景的心路歷程

江西省萍鄉(xiāng)中學(xué) (337000)

黃賢鋒

眾所周知，解析幾何首先是幾何.“代數(shù)”只是我們解決幾何問題時用到的工具，學(xué)生在解答過程中，首先要將幾何圖形的性質(zhì)用代數(shù)的語言來描述，最終是通過坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算來研究幾何圖形的性質(zhì)，“幾何”是我們思考的起點(diǎn)和終點(diǎn)，也是問題的緣起和歸宿.歷年高考中的圓錐曲線解答題除考查解析幾何基本思想之外，均富有深刻的幾何內(nèi)涵，下面就2017年高考全國Ⅱ卷第20題為例，談?wù)剬ζ鋷缀伪举|(zhì)的探究過程.

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程；

試題考查了動點(diǎn)軌跡問題、直線在運(yùn)動變化過程中過定點(diǎn)的問題，結(jié)論的“幾何味”頗濃，而題設(shè)條件卻是“向量的數(shù)乘、數(shù)量積”等代數(shù)關(guān)系式，這些數(shù)量關(guān)系是如何影響或決定圖形中的點(diǎn)、線位置關(guān)系的呢？該試題的幾何本質(zhì)特征是什么呢？筆者帶著這些問題開啟了探究之路.

一、轉(zhuǎn)化條件，揭示幾何特征

圖1

圖2

類似地，在雙曲線中也有如下結(jié)論.

圖3

(證明過程從略)

二、弱化條件，探究幾何規(guī)律

當(dāng)筆者想把結(jié)論推廣到拋物線中時，似乎遇到了障礙，反思上述結(jié)論，突然發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間僅僅是數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系，和曲線的形狀好像無關(guān)，于是，決定淡化圓錐曲線這個“背景”，探究更一般的規(guī)律，于是得到：

探究至此，深感這道高考試題的綜合性之強(qiáng)，幾何背景之深厚，試題的本質(zhì)最終回歸到平面幾何中的重要定理——圓冪定理，凸顯了平面幾何與解析幾何之間的交融.