劉維兵

【摘要】動點幾何問題一直是中考的熱點，突破這類試題的關(guān)鍵在于教師會應(yīng)用幾何畫板編寫動點幾何的綜合題，用案例的形式說明編寫試題的四個步驟——畫基本圖、增添動點、尋找特例、取舍試題，以啟迪他人.

【關(guān)鍵詞】動點幾何；幾何畫板；編寫試題

動點幾何問題一直是中考的熱點，這類問題綜合性強、題目靈活多變、難度較大，學(xué)生常感到困難甚至無從入手，問題出現(xiàn)在學(xué)生身上，但問題的根源卻在教師，本文結(jié)合自己教學(xué)案例來介紹這類問題的求解策略——畫基本圖、增添動點、尋找特例、取舍試題，供同仁們學(xué)習(xí)參考.

一、一般選擇特殊的圖形入手，這樣可以避免繁難的計算

已知一個直角三角形紙片ABC，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3.

畫圖：如圖1所示.

畫出線段AC=4：應(yīng)用“線段直尺工具”畫出線段AC，選中AC應(yīng)用“度量”中“長度”度量AC，選中AC長度單擊右鍵，選中“屬性”下“數(shù)值”中“精確度”修改為“十分之一”，應(yīng)用“移動箭頭工具”單擊A點，再應(yīng)用鍵盤中箭頭鍵左右調(diào)整，使AC=4.

畫出線段BC=3：應(yīng)用“移動箭頭工具”單擊C點和線段AC，應(yīng)用“構(gòu)造”中“垂線”做出垂線，應(yīng)用“點工具”在直線上取一點B使BC=3，選中直線BC應(yīng)用“顯示”中“隱藏對象”.

畫出線段AB：應(yīng)用“線段直尺工具”連接AB兩點，就得到直角三角形ABC.

二、應(yīng)用幾何畫板中“變換”進行幾何作圖

點E，F(xiàn)分別是直角三角形紙片ABC中AC，AB邊上點，連接EF，將紙片中∠BAC沿EF折疊，折疊后點A落在直角三角形紙片ABC邊上的點D處.

思考：點A落在直角三角形紙片ABC邊上可能有三種情況：分別落在AB，AC，BC.

畫圖：點A落在AB上，如圖2所示，點A落在AC上，如圖3所示，點A落BC在上，如圖4所示.

應(yīng)用“點工具”在邊上取一點D，應(yīng)用“線段直尺工具”連接AD兩點，應(yīng)用“構(gòu)造”中“中點”做出中點，選中線段AD和中點應(yīng)用“構(gòu)造”中“垂線”做出垂線分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接DE，DF，EF.

三、拖動動點，觀察點的變化，尋找特殊位置，思考關(guān)聯(lián)知識

如圖2所示，點A落在AB上，當(dāng)F為AC的中點時，EF的長由三角形相似求出.

如圖3所示，點A落在AC上，當(dāng)F為AC的中點時，EF的長度由中位線求出.

如圖4所示，點A落在BC上，當(dāng)DE∥AC時，四邊形AEDF是一個菱形，考查菱形的知識.

如圖5所示，點A落在線段BC上，AF的長是在一定范圍變化的，考查求取值范圍的方法.

點A落在直線BC上，讓學(xué)生學(xué)會分類思考：當(dāng)DB=1，點D可能在線段BC上，如圖5所示，要運用全等三角形的知識，也可能在CB延長線上，如圖6所示，要運用勾股定律解決.

四、根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，按照由易到難，合理取舍題目，適當(dāng)增加逆向思考試題

如圖5所示，試題選擇折疊后點A落在直線CB上的點D處.

（1）當(dāng)D運動到DE∥AC時，試判斷四邊形AEDF的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）當(dāng)DB=1時，求AF的長；

（3）當(dāng)D在BC邊上時，求AF的取值范圍.

解析（1）如圖4所示，當(dāng)D運動到DE∥AC時，四邊形AEDF為菱形.

由題意得AE=ED，AF=DF，∠AFE=∠DFE.

由DE∥AC，得∠AFE=∠DEF，∠DEF=∠DFE，DE=DF.

∴AE=ED=DF=AF，∴四邊形AEDF為菱形.

設(shè)計目的：讓學(xué)生掌握平行線的性質(zhì)、三角形全等、等腰三角形的判定、菱形的判定等知識，并會靈活應(yīng)用.

（2）如圖5所示，當(dāng)DB在線段B上.

∵DC=3-1=2，設(shè)AF=DF=x，CF=4-x，

在Rt△CDF中，22+（4-x）2=x2，解得x=2.5=AF.

如圖6所示，當(dāng)DB在BC的延長線上.

∵DC=4=AC，∠A=∠D，DE=AE，

∴△CDE≌△CAE，

由折疊得△FDE≌△FAE得CE=EF，AF=4.

設(shè)計目的：讓學(xué)生掌握三角形全等、勾股定律等知識，會運用勾股定律列方程求線段的長，讓學(xué)生學(xué)會分類思考的數(shù)學(xué)思想方法.

（3）如圖5所示，設(shè)AF=DF=y，CF=4-y，DC=x.

在Rt△CDF中，x2+（4-y）2=y2，y=0.125（x2+16）.

∵0≤x≤3，y隨x增大而增大，

∴當(dāng)x=0時，AF=2；當(dāng)x=3時，AF=3.125，

∴2≤AF≤3.125.

設(shè)計目的：讓學(xué)生掌握求取值范圍可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)來求.

逆向變式訓(xùn)練設(shè)△DFG的面積為S1，△ACD的面積為S2，p=S1∶S2，當(dāng)516≤p≤13時，求CD的變化范圍.

設(shè)計目的：通過逆向思維訓(xùn)練，讓學(xué)生靈活地掌握求取值范圍的常用方法：幾何特殊值法、函數(shù)最值法.

此題巧妙地利用幾何畫板把幾何多種情況集中到一起，做到化繁為簡，轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，從變換和運動的角度來研究幾何圖形，通過幾何畫板中“變換”“構(gòu)造”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理，培養(yǎng)學(xué)生的分析、解決問題的能力、空間觀念和推理能力.

【參考文獻】

[1]芮炳輝.幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用例談[J].中國教育技術(shù)裝備，2011（19）：145.

[2]張建軍，陳唐明.巧用幾何畫板開展數(shù)學(xué)實驗教學(xué)[J].中國現(xiàn)代教育裝備，2011（10）：36-38.