劉彥永

(東北師范大學附屬中學 130021)

對2014年高考湖北卷理科第9題的深入探究

劉彥永

(東北師范大學附屬中學 130021)

本文對一道高考解析幾何填空題進行了深入探索，從不同的思路獲得多種解法.

試題；解法；探究

2014年高考湖北卷理科第9題，題目雖不新穎，但是內(nèi)涵豐富，引起了筆者的深入探索和思考.

題目如下：

一、試題分析

本題屬于傳統(tǒng)題，考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)、正弦定理和余弦定理等知識點.以圓錐曲線為載體，考查了數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化能力和函數(shù)方程及不等式思想.

二、解法探究

本題解法很多，不同的解法體現(xiàn)不同的思維層次和思考角度，要求考生要有一種勇于探索、敢于實踐的精神.

思路二在△F1PF2中由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn.

思路三在△F1PF2中,由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|①,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|②.

注此結(jié)論也可由如下兩種方法得到.

(1)利用橢圓和雙曲線的焦點三角形面積公式

(2)利用待定系數(shù)法

三、試題探源

本題源于人教A版教材選修2-1的62頁B組第1題.試題模型來源于課本，體現(xiàn)了高考試題“立足教材，高于教材”的命題原則. 2013年高考浙江理科第9題也是以共焦點的橢圓和雙曲線為載體的一道題，相比之下本題增加了思維量和計算量，體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?，推陳出新”的理念.

試題解法的探究僅僅是試題研究的一個開端.對解法的探索是在踐行我們所學的知識技能和思想方法，同時也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對試題本質(zhì)的探源，使我們更深刻的認識問題，將新舊解題經(jīng)歷跨時空貫通起來，這又是一個新的開始.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.人教A版數(shù)學選修2-1.普通高中數(shù)學課程標準試驗教科書[M].北京：人民教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0004-02

2017-07-01

劉彥永，北京師范大學碩士，中學一級教師，數(shù)學奧林匹克競賽教練員.

楊惠民]