林海衛(wèi) 葉 林

(浙江省溫嶺市技工學校 317500)

向量之三角形的“四心”

林海衛(wèi) 葉 林

(浙江省溫嶺市技工學校 317500)

向量是既有大小，又有方向的量，具有雙重性，是不能比較大小.平面向量的代數(shù)性質(zhì)和幾何特點非常明顯，是連接幾何和代數(shù)的工具，是數(shù)形結(jié)合的典范.平面向量的題目變化多端，可單獨成題考查，也可結(jié)合不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識考查.在學習時，我們要重概念，重基礎(chǔ)，充分利用它的數(shù)形特征，體現(xiàn)向量的“工具性”.

向量；三角形；四心

三角形的“四心”與平面向量有著千絲萬縷的關(guān)系，對這兩者進行一定的探究，旨在探索題型規(guī)律，以提高學生的數(shù)學思維能力.以三角形的“四心”為出發(fā)點，利用向量的相關(guān)知識，巧妙地解決了三角形“四心”所具備的一些特定的性質(zhì).

一、向量之三角形的重心

三角形的重心是三條中線的交點(它到三角形頂點距離與該點到對邊中點距離之比為2∶1).

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等邊三角形 D．鈍角三角形

二、向量之三角形的垂心

三角形的垂心是三條高線的交點(它與頂點的連線垂直于對邊).

A. 內(nèi)心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

在△ABC中，由正弦定理可得：|AB|sinB=|AC|sinC，記|AB|sinB=|AC|sinC=k，則

三、向量之三角形的外心

三角心的外心是三條邊的垂直平分線的交點(外心就是三角形外接圓的圓心，它到三角形的三個頂點的距離相等).

即cosBsinC+cosCsinB=m，從而m=sin(B+C)=sinA=sinθ.

四、向量之三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)心是三個內(nèi)角的平分線的交點(內(nèi)心就是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等).

A. 內(nèi)心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心

同理：IB是∠ABC的平分線，IC是∠ACB的平分線.故點I是△ABC的內(nèi)心.

通過以上題型，筆者發(fā)現(xiàn)高中數(shù)學中以“向量為載體”對三角形的“四心”進行考查，是一道靚麗的風景線，需引起我們重視.

[1]連春興.借“向量”之石，攻“幾何”之玉[J].數(shù)學通報，2009(4)：14—16.

[2]彭燕偉. 高中數(shù)學新課標實驗教材向量內(nèi)容的比較研究[D].蘭州：西北師范大學,2010.

G632

A

1008-0333(2017)31-0028-02

2017-07-01

林海衛(wèi)(1983.10-)，男,浙江省臺州人，本科,講師,從事數(shù)學學科教學與研究.

葉林(1984.8-)， 女，浙江省臺州人， 研究生， 講師，從事數(shù)學教學與研究.

楊惠民]