賈彥龍

(甘肅省合水縣第一中學 745400)

對一道不等式試題的研究

賈彥龍

(甘肅省合水縣第一中學 745400)

本文對不等式恒成立問題，進行了多角度、多層次的分析與研究，滲透了數(shù)學中重要的兩種思想方法——分類討論的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法.

不等式;恒成立;分類討論

近年來全國各地高考數(shù)學試題，考查不等式恒成立的有關(guān)試題非常普遍，這類問題既含參數(shù)又含變量，往往與函數(shù)、數(shù)列、方程、幾何有機結(jié)合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點.

考題通常有兩種設(shè)計方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數(shù)的取值范圍.解決這類問題的方法關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化化歸，通過等價轉(zhuǎn)化可以把問題順利解決.

例設(shè)f(x)=|a-3x|,g(x)=x-1.(1)若a=1時,f(x)+|g(x)|>4,求x的取值范圍；(2)f(x)>g(x)對任意x∈[0,2]恒成立,求a的取值范圍.

h(x)min=h(0)=1-a>0.∴a<1，∴a<0.

解法3f(x)>g(x)對任意x∈[0,2]恒成立

h(x)min=h(1)=3-a>0. ∴a<3.

h(x)min=h(2)=a-7>0. ∴a>7.

綜上，a<3,或a>7.

解法4f(x)>g(x)對任意x∈[0,2]恒成立

總之，不等式恒成立問題，是教學中的難點，也是高考考查的重點內(nèi)容之一.本文通過具體例題，對恒成立問題進行了多角度、多層次的分析與研究，體現(xiàn)了分類討論的思想方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法對解答數(shù)學問題的指導作用，對分析和研究高考同類試題有一定的啟發(fā).

[1]孟凡棟.恒成立型不等式中參數(shù)范圍的幾種求法[J].數(shù)學教學通訊,2004(01).

G632

A

1008-0333(2017)31-0019-01

2017-07-01

賈彥龍(1970-)，男，漢，本科，甘肅省慶陽人，中學數(shù)學一級教師，重點研究高考數(shù)學解題的策略與思想方法.

楊惠民]