陳志銀

(江蘇省如皋市石莊高級中學 226500)

巧施策略，妙求復數(shù)

陳志銀

(江蘇省如皋市石莊高級中學 226500)

復數(shù)集是實數(shù)集的擴充，學生在研究復數(shù)集時，不能把實數(shù)集上的某些法則和性質(zhì)照搬到復數(shù)集中來，若涉及到復數(shù)方程，復數(shù)求最值等問題，這時學生就需要根據(jù)不同題型，運用恰當?shù)乃季S策略去解決問題.因此，教師們在教學的過程中，就要給予學生合理的解題策略與解題方法，不斷地在教學過程中滲透，幫助學生理清思路，建立信心，打開學生的思維之門.

高中數(shù)學；復數(shù)問題；解題策略

在復數(shù)類題型中，出題者經(jīng)常結(jié)合方程、集合等知識，以小題為主，側(cè)重考查基本知識和基本技能.學生必須要清楚地知道求解復數(shù)問題的思維策略，這樣遇到問題的時候才能靈活應對.所以，教師在實際的教學過程中要明確教學的大方向，側(cè)重于對學生解題策略以及思維方式的培養(yǎng)，提升課堂的效率.

一、化虛為實，巧解復數(shù)

在求解復數(shù)問題時，有時會遇到運算十分麻煩的題型.這時教師要做出正確的引導，讓學生利用復數(shù)的代數(shù)形式將復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，簡化解題難度.這主要是運用了復數(shù)的相等和模的概念，把復數(shù)問題“實數(shù)化”.作為教師要將這種“化虛為實”的解題策略落實到每一位學生的思維中去，通過解題去運用，將策略轉(zhuǎn)換為自己的思路，充實學生的思維模式.

二、整體處理，巧解復數(shù)

整體處理的思維策略是高中數(shù)學解題策略中的又一種重要的思維方法，尤其是在解答復數(shù)問題的時候應用得比較廣泛，因此，學生要學會從整體的角度出發(fā)去分析和求解，將整體思想貫穿到整個復數(shù)內(nèi)容中去.

例2 如果虛數(shù)z滿足z3=8，那么z3+z2+2z+2的值是多少？

解析學生拿到這道題如果不經(jīng)深入的思考，直接設z=a+bi(b≠0)代入求解的話，學生就會遇到很復雜的過程，往往不容易求解出來.但是如果學生深入思考，巧妙運用整體的思維策略，就會提高解題的效率，降低解題的難度.根據(jù)題意，因為z3=8，所以z3-8=0，即(z-2)(z2+2z+4)=0.又因為z是虛數(shù)，因此z≠2，那么有z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2，于是z3+z2+2z+2=8-2=6.

點撥在本道題中，根據(jù)z3=8，利用立方差公式進行展開(z-2)(z2+2z+4)=0，由z是虛數(shù)，因此z-2≠0，由此可得z2+2z+4=0.接下來將待求式變形可得z3+(z2+2z+4)-2，代入求值即可.教師在教學復數(shù)的過程中要有意向地去教學，給學生灌輸整體的思想，提高學生的解題效率.

三、巧用函數(shù)與方程，化解復數(shù)題

函數(shù)與方程思想的實質(zhì)是提取問題的數(shù)學特征，并且用聯(lián)系變化的觀點來看待數(shù)學，達到函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)換，建立相應的函數(shù)關(guān)系，正確地求解問題.教師在教學的過程中，就要不斷地培養(yǎng)學生的函數(shù)與方程的思想，在遇到復數(shù)問題時，能夠準確地建立函數(shù)與方程的模型，提升學生的思維轉(zhuǎn)換能力，復數(shù)難題也就迎刃而解.

例3 已知z∈C，且|z-2-2i|=1，i為虛數(shù)單位，試求|z+2-2i|的最小值是多少.

點撥本道題利用了函數(shù)與方程的思想，先是通過設出z=x+yi(x,y∈R)，列出方程，再結(jié)合函數(shù)的知識點去求解.此外，本題從幾何意義的角度也可速解：z對應的點在以(2，2)為圓心，1為半徑的圓上，|z+2-2i|表示z對應的點到點(-2，2)的距離，于是求出|z+2-2i|的最小值是為3.可見，函數(shù)與方程思想的重要性，教師在教學的過程中，要強化學生的認知，不斷地拓展練習，運用函數(shù)與方程思想去解題，做好引導者的身份，學生也要在做題中不斷總結(jié)與反思，做到真正將函數(shù)與方程的思想靈活運用.

四、運用分類討論思想，巧解復數(shù)

分類討論思想就是當所給的對象不能進行統(tǒng)一的研究時，按照一定的標準對于研究對象進行分類，然后分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各個結(jié)論得出題目的結(jié)論.需要注意的說，在分類的過程中要做到不重復、不遺漏.在研究復數(shù)問題時，要充分掌握一個復數(shù)為實數(shù)、虛數(shù)以及純虛數(shù)的充要條件.

解析根據(jù)題意，知道方程x2-2x+k=0的判別式Δ=4-4k.當α，β為實數(shù)時，Δ≥0且|α-β|2=(α-β)2即k=-1；當α，β為虛數(shù)時，Δ<0且α與β共軛，于是|α-β|2=-(α-β)2，解之得k=3.于是，綜合以上所述，可以得出實數(shù)k的值為-1或者3.

點撥本道題是在復數(shù)范圍內(nèi)考查學生分類討論的思想，利用分類討論的思想去解題，對于方程的兩個根α，β進行分類，分類研究α，β為實數(shù)的情況與α，β為虛數(shù)時的情況，最后根據(jù)分類的兩種情況進行總結(jié)，得出要求的實數(shù)k的值.教師在教學的過程中，要不斷加強對學生分類討論思想的灌輸，加強學生思維的縝密性，給予學生合適解題策略，幫助學生巧妙地解決復數(shù)問題.

總之，在解決復數(shù)問題時，教師要在教學中不斷地去探索，把正確的解題策略及時地灌輸給學生，在教師的“教”與學生的“學”之間架設好橋梁；學生也要不斷地練習，找尋到問題的關(guān)鍵所在，并且合理地運用解題策略，才能解決根本問題，這樣不僅可以使自己得以突破，而且在思維能力上還會得以延伸.

[1]董是.復數(shù)的解題技巧[J].高中數(shù)理化，2017(03).

[2]寧俊玲.復數(shù)高考常考題型透析與應對策略[J].高中數(shù)理化，2015(03).

G632

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1008-0333(2017)31-0017-02

2017-07-01

陳志銀(1979.6-)，女，江蘇省南通人，本科，中學一級教師，從事高效教學方法研究.

楊惠民]