姜向前 孟慶鑫 張 宇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)物理系 黑龍江 哈爾濱 150001)

分離變量法教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化及本征值問(wèn)題引入方式研究

姜向前 孟慶鑫 張 宇

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)物理系 黑龍江 哈爾濱 150001)

現(xiàn)有數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)體系中，分離變量法在前，本征值問(wèn)題在后.而分離變量過(guò)程中，又涉及到本征值問(wèn)題.這樣的安排導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)分離變量法過(guò)程中，不能很好地理解本征值問(wèn)題是分離變量法的基礎(chǔ)，不利于學(xué)生嚴(yán)密邏輯思維能力的培養(yǎng)．針對(duì)這個(gè)問(wèn)題我們開(kāi)展了分離變量法教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化的研究，提出一種更有利于學(xué)生嚴(yán)密邏輯思維能力培養(yǎng)的分離變量法教學(xué)方案．將本征值問(wèn)題提前，將其置于定解問(wèn)題之后、分離變量法之前．進(jìn)而，為避免直接引入Sturm-Liouville方程而導(dǎo)致的突兀性問(wèn)題，給出了分離變量法教學(xué)順序調(diào)整后的Sturm-Liouville方程的引出方案．

分離變量法 本征值問(wèn)題 教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化

數(shù)學(xué)物理方法是物理系的主干課程之一，是一門(mén)利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述并解決自然科學(xué)及工程技術(shù)中所遇到的一些問(wèn)題、建立定解問(wèn)題、求解定解問(wèn)題的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課．課程的教學(xué)目的是通過(guò)課程的學(xué)習(xí)進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜物理問(wèn)題的能力，為理論物理課程的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)．但現(xiàn)有的教材內(nèi)容體系存在一些問(wèn)題，不利于學(xué)生嚴(yán)密思維能力的培養(yǎng)．我們知道，求解定解問(wèn)題的一個(gè)基本方法是分離變量法，而決定能否進(jìn)行分離變量的基礎(chǔ)是本征值問(wèn)題．現(xiàn)有幾乎所有教材都是將本征值問(wèn)題置于分離變量法之后．分離變量過(guò)程中涉及本征值問(wèn)題，但由于本征值問(wèn)題教學(xué)內(nèi)容在后，導(dǎo)致學(xué)生并不能體會(huì)到本征值問(wèn)題存在與否才是決定能否進(jìn)行分離變量的關(guān)鍵．

關(guān)于本征值問(wèn)題大部分教材都是按照梁昆淼先生的數(shù)學(xué)物理方法的內(nèi)容體系講解的．首先是建立定解問(wèn)題，然后是利用分離變量法求解定解問(wèn)題，分離變量法之后引入本征值問(wèn)題[1]．華中師范大學(xué)汪德新教授的數(shù)學(xué)物理方法與梁昆淼先生的教材順序一致將本征值問(wèn)題放到了分離變量法之后[2]．北京大學(xué)吳崇試教授的數(shù)學(xué)物理方法將本征值問(wèn)題放在了分離變量法總結(jié)這一部分即柱函數(shù)之后[3]，相對(duì)于梁昆淼先生的教材更加靠后．武漢大學(xué)姚端正教授對(duì)數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了較大調(diào)整，將本征值問(wèn)題放到了全書(shū)的最后一章[4]．南京大學(xué)的邵惠民教授的數(shù)學(xué)物理方法將本征值問(wèn)題提到分離變量法之前，甚至在Fourier與Laplace變換之前．雖然本征值問(wèn)題提前到分離變量法之前，但引出方式與其他教材仍相同，都是直接給出Sturm-Liouville方程，進(jìn)而給出本征值問(wèn)題的定義[5]．為了避免學(xué)生在學(xué)習(xí)分離變量法過(guò)程中一直帶有什么是本征值問(wèn)題的疑問(wèn)，我們嘗試對(duì)分離變量法的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化．將本征值問(wèn)題提至分離變量法之前，并嘗試解決Sturm-Liouville方程直接引入的突兀性問(wèn)題．

將S-L本征值問(wèn)題提到分離變量法之前，對(duì)本征值問(wèn)題的概念、性質(zhì)及其應(yīng)用進(jìn)行透徹的闡明，使學(xué)生在進(jìn)入分離變量法之前對(duì)本征值問(wèn)題已有深入的了解，并使學(xué)生能夠?qū)Ρ菊骱瘮?shù)法展開(kāi)的理解更加清晰、流暢．為了解決教學(xué)順序調(diào)整后過(guò)于復(fù)雜的Sturm-Liouville方程直接引入不利于學(xué)生接受的問(wèn)題，采取由一般的線性齊次偏微分方程導(dǎo)出Sturm-Liouville方程的方式[6]．

對(duì)于一般的二階線性齊次偏微分方程

Ltu+Lxu=0

(1)

其中Lt與Lx是二階線性偏微分算子

(2)

(3)

其中ai(t)和bi(x)(i=0,1,2)是已知函數(shù)．設(shè)u(x,t)=T(t)X(x)，將其代入方程(1)得

X(x)LtT(t)+T(t)LxX(x)=0

(4)

方程兩邊同除T(t)X(x)得

(5)

LxX(x)+λX(x)=0

(6)

LtT(t)-λT(t)=0

(7)

令X(x)=y(x)，由方程(3)和方程(6)得

b0(x)y″(x)+b1(x)y′(x)+

b2(x)y(x)+λy(x)=0

(8)

選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)ρ(x)使得

[ρ(x)b0(x)]′=ρ(x)b1(x)

(9)

整理得

(10)

由方程(10)可得

(11)

將方程(8)兩邊同乘ρ(x)得

ρ(x)b0(x)y″(x)+[ρ(x)b0(x)]′y′(x)+

b2(x)ρ(x)y(x)+λρ(x)y(x)=0

(12)

令

k(x)=ρ(x)b0(x) -q(x)=ρ(x)b2(x)

則方程(12)可寫(xiě)為

(13)

方程(13)稱(chēng)為Sturm-Liouville方程，其中λ是與變量x無(wú)關(guān)的常數(shù)，而k(x),q(x)和ρ(x)通常都假定是實(shí)變函數(shù)．為了保證解的存在又設(shè)q(x)和ρ(x)在有限區(qū)間[a,b]上是連續(xù)的，而k(x)在(a,b)上滿足連續(xù)可微．至此，我們完成了由一般二階線性齊次偏微分方程引出Sturm-Liouville方程，避免了直接給出Sturm-Liouville方程的突兀性問(wèn)題．Sturm-Liouville方程附以第一、二或三類(lèi)齊次邊界條件或自然邊界條件則構(gòu)成Sturm-Liouville本征值問(wèn)題．進(jìn)而，給出本征值問(wèn)題的共同性質(zhì)即所有本征值是非負(fù)的，對(duì)應(yīng)與不同本征值的本征函數(shù)是正交的，而且所有的本征函數(shù)構(gòu)成一個(gè)完備正交系．

本文針對(duì)數(shù)學(xué)物理方法中分離變量法的教學(xué)內(nèi)容邏輯性進(jìn)行了研究，提出了一種更有利于學(xué)生嚴(yán)密邏輯思維能力培養(yǎng)的教學(xué)方案．鑒于分離變量過(guò)程貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)物理方程始終，而本征值問(wèn)題又是分離變量能否進(jìn)行的關(guān)鍵，因此將本征值問(wèn)題提至分離變量法之前，解決了原教學(xué)體系中學(xué)生不能很好體會(huì)到本征值問(wèn)題是分離變量法的關(guān)鍵的問(wèn)題．通過(guò)將本征值問(wèn)題提前使分離變量法的內(nèi)容邏輯性更強(qiáng)，更易學(xué)生接受和掌握．針對(duì)本征值問(wèn)題提前而帶來(lái)的復(fù)雜數(shù)學(xué)公式直接給出的突兀性問(wèn)題，由一般的二階線性齊次偏微分方程出發(fā)給出了本征值問(wèn)題的引出方案．通過(guò)本征值問(wèn)題與分離變量法教學(xué)順序的調(diào)整，將使學(xué)生在進(jìn)入分離變量法學(xué)習(xí)之前已對(duì)本征值問(wèn)題有深入的了解，使學(xué)生對(duì)后續(xù)內(nèi)容不同坐標(biāo)系下的分離變量、本征函數(shù)法展開(kāi)有更深入的理解．

1 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法.北京：高等教育出版社,2009

2 汪德新. 數(shù)學(xué)物理方法.北京：科學(xué)出版社,2006

3 吳崇試. 數(shù)學(xué)物理方法.北京：北京大學(xué)出版社,2005

4 姚端正. 數(shù)學(xué)物理方法.北京：科學(xué)出版社,2010

5 邵惠民. 數(shù)學(xué)物理方法.北京：科學(xué)出版社,2010

6 嚴(yán)鎮(zhèn)軍. 數(shù)學(xué)物理方法.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2006

TheOptimizingofTeachingContentfortheSeparationVariablesMethodandResearchontheIntroductionModeoftheEigenvalueIssue

Jiang Xiangqian Meng Qingxin Zhang Yu

(Department of Physics, Harbin Institute of Technology, Harbin,Heilongjiang 150001)

The method of separation of variables in the first eigenvalue problem last in present teaching system of mathematical physical methods, which leads to the students are not well understand that the foundation of the method of separation of variables is eigenvalue problem,and is not conducive to develop the strict logical thinking ability. We carry out the study of optimization of teaching contents,and present a more favorable solution to develop student’s logical thinking ability. We introduce the eigenvalue problem before the method separation of variables, and present the introducing scheme of Sturm-Liouville equation to avoiding the abrupt appearance of Sturm-Liouville equation.

method of separation of variables;eigenvalue problem;teaching contend optimizing

2017-05-04)