張志銀 劉丹丹

(1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院基礎(chǔ)部 河南 鄭州 451191；

2.中原工學(xué)院理學(xué)院 河南 鄭州 451191)

Z分?jǐn)?shù)分布理論在教育評(píng)價(jià)體系中的應(yīng)用

張志銀1劉丹丹2

(1.鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院基礎(chǔ)部 河南 鄭州 451191；

2.中原工學(xué)院理學(xué)院 河南 鄭州 451191)

本文簡(jiǎn)單介紹了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))分布理論，并著重論述了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))分布理論在教育評(píng)價(jià)體系中的應(yīng)用，以使教育評(píng)價(jià)更為客觀、公平、公正，這對(duì)于提高教育評(píng)價(jià)水平和管理水平有著重要的意義.

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)；正態(tài)分布；教育評(píng)價(jià)；應(yīng)用

1 引言

目前,我國(guó)在教育評(píng)價(jià)方面取得了很大的成績(jī),教育評(píng)價(jià)理論逐步深化,教育評(píng)價(jià)實(shí)踐活動(dòng)也廣泛開展.但同時(shí)也存在著評(píng)價(jià)模式呆板單一、評(píng)價(jià)技術(shù)手段水平不高等問題.在教育評(píng)價(jià)中有許多資料和指標(biāo)是屬于定性方面的,如工人的工作業(yè)績(jī),學(xué)生的思想品德,教師的教學(xué)水平等,往往以好、中、差或優(yōu)、良、中或合格、不合格等來(lái)劃分.假如教師的教學(xué)水平用三個(gè)指標(biāo)(教學(xué)能力、教學(xué)態(tài)度、教學(xué)方法)反映,每個(gè)指標(biāo)又分為三等(優(yōu)、良、中),教師張三的三個(gè)指標(biāo)等級(jí)分別為優(yōu)、良、中,教師李四的三個(gè)指標(biāo)等級(jí)分別為中、優(yōu)、良.試問這兩位教師誰(shuí)的教學(xué)水平更高呢？要回答這個(gè)問題，我們面臨這樣一個(gè)困難：對(duì)這兩位老師評(píng)價(jià)的指標(biāo)屬于定性描述或等級(jí)化，若僅僅停留在定性描述或等級(jí)化，則無(wú)法將兩個(gè)或多個(gè)具有若干定性指標(biāo)基本相同的個(gè)體進(jìn)行比較.有時(shí)候即使對(duì)于有些定量的資料和指標(biāo),如果不進(jìn)行技術(shù)處理,也很難將兩個(gè)或多個(gè)具有相同定量指標(biāo)的個(gè)體進(jìn)行比較.那么，如何將定性指標(biāo)加以量化或?qū)Χ恐笜?biāo)進(jìn)行處理，并盡量地做到評(píng)價(jià)的合理、公平、公正，是值得深入研究的問題.一方面可以用概率統(tǒng)計(jì)中正態(tài)分布知識(shí)將這些定性描述具體數(shù)量化；另一方面，我們努力找到找到一種處理定量數(shù)據(jù)的方法.為了方面討論問題，下面我給出正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)及標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))的相關(guān)理論。

2 正態(tài)分布概述

正態(tài)分布是一種連續(xù)性隨機(jī)變量的概率分布，在其次數(shù)分配中，中間的次數(shù)多，由中間往兩邊的次數(shù)逐漸減少，兩邊的次數(shù)多少相等，呈一種“兩頭小、中間大”的分布形態(tài).其標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線如圖1:

圖1

從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線可知，它具有以下特點(diǎn)：

(1)曲線在X=0(即平均數(shù))處為最高點(diǎn)；

(2)曲線以X=0處為中心，雙側(cè)對(duì)稱；

(3)曲線從最高點(diǎn)向左右緩慢下降，并無(wú)限延伸，最后接近基線，但永不與基線相交；

(4)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，基線上從X=-3到X=3幾乎有6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離，并且多數(shù)數(shù)據(jù)都集中在平均數(shù)附近，具體地說(shuō)有：

P(-1

P(-2

P(-3

即是說(shuō)，在平均數(shù)上下一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差單位范圍內(nèi)，包含曲線下總體面積的68.26%，在±2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，包含總體的面積為95.46%，在±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)，包含總體的面積的99.73%.因此，在±3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍以外，僅有0.27%的面積，在統(tǒng)計(jì)中可以忽略不計(jì).但是，需注意的是，橫軸上的距離相等，因在曲線中所處的位置不同，所包括的面積是不相同的.越離平均數(shù)較遠(yuǎn)的地方,在其標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)所包括的面積越少.

3 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))概述

在考試中，學(xué)生所得分?jǐn)?shù)稱為原始分?jǐn)?shù).但有時(shí)原始分?jǐn)?shù)也說(shuō)明不了學(xué)生的學(xué)習(xí)好壞.比如,某學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中得了90分(試題比較容易)，在另一次數(shù)學(xué)考試中得了75分(試題比較難)，那么試問該學(xué)生是進(jìn)步了還是退步了呢?為了解決這個(gè)問題，下面引入了標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))的概念.

S為原始分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差

Z為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

由概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)可知

(1)

(2)

上述(1)(2)說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z這個(gè)統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即Z～N(0,1).

4 標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))分布理論在教育評(píng)價(jià)體系中的應(yīng)用

下面就介紹在幾類教育實(shí)踐中用到標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(Z分?jǐn)?shù))分布理論的例子.

4.1 定性指標(biāo)的比較

對(duì)于那些定性的品質(zhì)資料或質(zhì)量指標(biāo),我們又該怎么辦呢?首先,我們要做的工作是需要將它們量化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z.具體做法如下：

(1)算出個(gè)體的品質(zhì)資料或質(zhì)量指標(biāo)所得等級(jí)在群體中所占的比例,此比例可視為各等級(jí)的概率.(給出的各等級(jí)的人數(shù)應(yīng)服從或基本服從正態(tài)分布).假設(shè)

P(優(yōu))=a，P(良)=b，P(中)=c，P(合格)=d，P(不合格)=e

這里a+b+c+d+e=1.

(2)作一標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的草圖,并大致將正態(tài)曲線下圖形的面積從右向左按a,b,c,d,e的次序劃分.如圖2:

圖2 原始分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線圖

(3)由于同等級(jí)內(nèi)也有差異,因此我們把各等級(jí)均視為集中在中位點(diǎn)上,找出各等級(jí)中位點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z來(lái)代表各等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z.

由圖2可知

然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可查出Z不合格,Z合格,Z中,Z良,Z優(yōu).

4.2 等級(jí)評(píng)定

在學(xué)生成績(jī)或能力符合正態(tài)分布時(shí),可將正態(tài)分布基線上X=-3至X=+3之間六個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的距離分成相等的幾份,然后求出各段Z值間的面積,再乘以總?cè)藬?shù),即為各等級(jí)評(píng)定人數(shù).

例如某校初中一年級(jí)有學(xué)生500人,其數(shù)學(xué)成績(jī)符合正態(tài)分布,把學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)定為優(yōu)、良、中、差四個(gè)等級(jí),問各等級(jí)內(nèi)應(yīng)有多少學(xué)生.其確定方法為,將X=-3至X=+3分成四等份,每等份X值為1.5,即如圖4：

圖4

查正態(tài)分布表可知,X=3的面積比例P=49.87%,X=1.5的面積比例為P=43.32%，則優(yōu)等人數(shù)面積比例為P=49.87%-43.32%=6.55%.那么,優(yōu)等人數(shù)500×6.55%=32.8人，即該年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)等生約有33人.

查正態(tài)分布表得知，X=1.5的面積比為43.32%,則成績(jī)良等者約有500×43.32%≈217人.由于屬正態(tài)分布,成績(jī)屬中等者與成績(jī)良等者相同也約有217人,成績(jī)屬差等者與成績(jī)優(yōu)等者相同,也約有33人.

利用正態(tài)分布不僅可以根據(jù)等級(jí)求人數(shù),而且可以估計(jì)分?jǐn)?shù)區(qū)間的人數(shù).例如,某初中一年級(jí)380名學(xué)生,數(shù)學(xué)考試成績(jī)平均分為85分,標(biāo)準(zhǔn)差為6,問70-80分之間有多少人？這仍屬求某一段分?jǐn)?shù)區(qū)間的概率問題.首先把原分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為Z分?jǐn)?shù).

然后求-0.83個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差與-2.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間所包含的面積.查表P1=0.2967，P2=0.4938則70-80分之間所含的面積比例為P=0.4938-0.2967=0.1917.故70-80分之間的學(xué)生約有380×0.1971≈75人.

4.3 品質(zhì)評(píng)定

品質(zhì)評(píng)定數(shù)量化主要用于不同的評(píng)價(jià)者對(duì)評(píng)價(jià)對(duì)象的等級(jí)評(píng)分,以求得評(píng)價(jià)對(duì)象的平均成績(jī)情況.其方法就是把評(píng)價(jià)者所評(píng)定的各等級(jí)人數(shù)的百分比作為正態(tài)曲線下的面積,再以平分每塊面積的Z值(即中位數(shù))作為各等級(jí)數(shù)量化的分?jǐn)?shù),最后計(jì)算每個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象等級(jí)的數(shù)量化分?jǐn)?shù).

例如,某校年度考核評(píng)優(yōu)時(shí),學(xué)校三位領(lǐng)導(dǎo)對(duì)全校40名教師按A、B、C三個(gè)等級(jí)進(jìn)行了評(píng)定,結(jié)果為如表1:

表1

現(xiàn)要從教學(xué)實(shí)績(jī)一樣的甲、乙、丙三位教師中評(píng)出兩位優(yōu)秀,三位領(lǐng)導(dǎo)的評(píng)價(jià)結(jié)果如表2:

表2

試問,應(yīng)選評(píng)哪兩位?由于不同評(píng)價(jià)者評(píng)的等級(jí)不同,要選評(píng)哪兩位,這類問題就需要把等級(jí)數(shù)量化.即把評(píng)定的等級(jí)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z.

首先,計(jì)算各等級(jí)的比率.即用各等級(jí)人數(shù)除以總?cè)藬?shù),并將此數(shù)值看作該等級(jí)在正態(tài)曲線下所占的面積值.

最后,計(jì)算等級(jí)分?jǐn)?shù).即用不同評(píng)價(jià)者所評(píng)的等級(jí)所對(duì)應(yīng)的值相加并求其平均數(shù),則為各評(píng)價(jià)對(duì)象的等級(jí)分?jǐn)?shù).

那么,甲、乙、丙三位教師的等級(jí)數(shù)量化分?jǐn)?shù)分別為:

甲教師:[(-1.36)+0.71+(-0.45)]÷3=-0.367

乙教師:[(-0.19)+(-1.44)+0.75]÷3=-0.293

丙教師:[0.98+(-0.42)+(-1.65)]÷3=-0.545

從等級(jí)數(shù)量化分?jǐn)?shù)比較,-0.293>-0.367>-0.545,所以,學(xué)校評(píng)優(yōu)應(yīng)評(píng)乙、甲兩位教師.

這樣,就把定性的評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為定量化的評(píng)價(jià),更為客觀、科學(xué)、公平、公正.總之,正態(tài)分布應(yīng)用在教育評(píng)價(jià)實(shí)踐中,可以克服許多弊端,使教育評(píng)價(jià)更加客觀、公平、公正,使教學(xué)管理工作更加科學(xué)化.數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,特別是概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與我們的生活實(shí)際密切相關(guān)，但這需要我們數(shù)學(xué)工作者不斷地努力探索。

[1] 馬忠林.數(shù)學(xué)教育評(píng)價(jià)[M].南寧:廣西教育出版社,1999.

[2] 盛聚，謝式千,潘承毅等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京:高等教育出版社,2001.

[3] 劉書田.概率統(tǒng)計(jì)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

[4] 侯風(fēng)波.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[5] 王漢瀾.教育統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京:教育科學(xué)出版社,1986.

[6] 楊鳳英.淺析運(yùn)用學(xué)生成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)教師的利弊與注意事項(xiàng)[J].教學(xué)與管理,1997,(12).

[7] 孫益領(lǐng).教職工成績(jī)?cè)u(píng)估辦法的改革嘗試[J].教學(xué)與管理,1997,(10).

張志銀(1983-)，男，漢族，河南鹿邑人，講師，碩士，鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院基礎(chǔ)部，研究方向：從事大學(xué)公共數(shù)學(xué)教學(xué)等方面的研究；劉丹丹(1984-)，女，漢族，河南鹿邑人，講師，博士，中原工學(xué)院理學(xué)院，研究方向：從事大學(xué)物理教學(xué)及原子與分子物理等方面的研究。

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1672-5832(2017)12-0106-02