【摘 要】三角形是平面幾何中最基本的圖形，很多的平面幾何問題都會轉(zhuǎn)化到三角形問題來解決，而內(nèi)角平分線是三角形中一個(gè)重要的線段，其性質(zhì)定理是平面幾何中重要而又基本的定理，在解題中有著廣泛的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】三角形 內(nèi)角平分線 性質(zhì)定理 角平分線定理 證明 對應(yīng)邊成比例

在教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)教材的練習(xí)題上有一道關(guān)于三角形內(nèi)角平分線的題目很有意思，于是就查詢了一下資料，發(fā)現(xiàn)原來這是一個(gè)定理，并且在教材的后續(xù)習(xí)題和同步練習(xí)冊上出現(xiàn)了兩道可以用這個(gè)定理來解決的題目，雖然這兩道題也可以用其他的方法來求解，但相比較而言，用這個(gè)定理就顯得簡單的太多。本篇文章主要目的通過課本試題的深入研究，初步了解試題的本質(zhì)，拓展學(xué)生的知識面，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。同時(shí)加深對教材理解，了解教材編寫者的教學(xué)目的。

一、教材試題呈現(xiàn)

1.學(xué)生解題反饋

這個(gè)定理的證明方法多達(dá)十幾種，這里我就列舉出三種比較普遍的證明方法，這三種證明方法的思路值得我們借鑒于其他類似的線段比例式的證明上。對于初三學(xué)生來說應(yīng)該是比較容易想到的方法。通過兩屆學(xué)生的比較，班級中一部分學(xué)生能想到前兩種方法，而第三種方法對于學(xué)生來說反而不容易想到，只有極個(gè)別特別優(yōu)秀的學(xué)生在教師點(diǎn)撥下才能想到。通過這個(gè)例題兩屆學(xué)生近200名初三學(xué)生的檢測，說明學(xué)生在學(xué)習(xí)相似證明時(shí)對于三角形相似有一定構(gòu)造能力并能初步掌握輔助線的做法，但是卻忽略了角平分線最基本的性質(zhì)應(yīng)用。同時(shí)對于等面積法的運(yùn)用還是不習(xí)慣，不熟練，說明教師的教學(xué)中重視的輔助線做法的訓(xùn)練，卻忽略知識點(diǎn)的融合及聯(lián)想能力的培養(yǎng)。從而在解題中思維不能夠發(fā)散，知識點(diǎn)較單一，不利于中考綜合性習(xí)題的考查。

2.角形內(nèi)角平分線逆定理的證明

如果三角形一邊上的某個(gè)點(diǎn)與這條邊所成的兩條線段與這條邊的對角的兩邊對應(yīng)成比例，那么該點(diǎn)與對角頂點(diǎn)的連線是三角形的一條角平分線。

已知：如圖4，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，且有

求證：AD是∠BAC的平分線

證明：過點(diǎn)C作CH//AD交BA的延長線于D點(diǎn)

，

即AD是∠BAC的平分線

通過證明我們知道三角形內(nèi)角平分線定理的逆定理也是成立的，其證明的方法還有多種，在此就不一一寫出了。

同樣我在班級讓此題留作課后習(xí)題，學(xué)生也大都以構(gòu)圖轉(zhuǎn)化為主要證明思路。靈活通過邊的轉(zhuǎn)移來解決問題。

3.定理知識應(yīng)用

下面我們來看兩道教材練習(xí)題。這兩道習(xí)題看看學(xué)生又是怎么處理的吶！

（1）.（同步練習(xí)冊第79頁第11題）

如圖5，已知：AD為△ABC的角平分線，DE//AB交AC于點(diǎn)E，

如果，則

解法1、 ，

解法2、

∽

由于學(xué)生大部分不會運(yùn)用該定理解題，只有一部分成績中等以上的學(xué)生能解題，由于大部分學(xué)生基礎(chǔ)較差，學(xué)過的習(xí)題并不能學(xué)以致用，一部分學(xué)生不放心把定理又重新證明了一邊，的確在大型考試中，書本上沒有出現(xiàn)的定理是一定要證明。但是卻也反應(yīng)大部分學(xué)生學(xué)習(xí)較呆板，靈活度不夠，對于新知識的遷移運(yùn)用能力較弱。這也為以后的教學(xué)提供了方向，加強(qiáng)學(xué)生新知識的吸收消化能力。

二、教材試題對教學(xué)啟示

同時(shí)更大的感受是我們農(nóng)村教師專業(yè)研究的問題。也許對于一些專業(yè)比較強(qiáng)的老師會認(rèn)為這是很平常的一個(gè)定理，但是好多教師對于教材只做初步了解，不清楚教材中試題的出處及安排原因，通過這個(gè)課后習(xí)題的啟發(fā)，我認(rèn)真看了一下我們手中貌似熟悉的教材，許多地方都能感受到教材編寫者的用心良苦，許多地方教材編寫者都加入了一些對以后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有用的預(yù)設(shè)，例如八年級教材中的一元二次方程根的求法，對于九年級學(xué)生來說在相似形中的黃金比例有很大聯(lián)系，甚至在高等數(shù)學(xué)斐波那契數(shù)列的特征方程的求解也有聯(lián)系。如果我們能認(rèn)真去挖掘教材，鉆研教材，我相信一定會有很多意想不到的收獲，對于我們農(nóng)村教師自身專業(yè)水平的提升更是一種無形幫助！