趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

平面內直線與二次曲線分有向線段所成的比

趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術學院應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

給出了平面內直線與二次曲線分有向線段所成的比的公式，得到了平面內梅涅勞斯定理的必要條件的兩個推廣．

直線；二次曲線；有向線段；梅涅勞斯定理

我們知道，在直角坐標平面中求兩直線的交點，通常是要解兩直線的方程構成的方程組，但是，如果已知兩點P1,P2的坐標及直線l的方程，要求l與直線P1P2交點P，則用如下定理1先求出點P分有向線段P1P2所成的比λ，再用定比分點坐標公式通常要方便得多．

定義1設點P1,P2不在直線l上，l與直線P1P2交于點P，則點P分有向線段P1P2所成的比λ叫做直線l分有向線段P1P2所成的比.若λ＞0，則稱l內分有向線段P1P2，若λ＜0，則稱l外分有向線段

P1P2．

按定義，直線l分有向線段P1P2所成的比λ=下面在直角坐標平面內研究直線分有向線段

所成的比．

定理1設直角坐標平面xoy內點P（1x1,y1），P2（x2,y2），直線 l:Ax+By+C=0 交直線 P1P2于點 P（異于P2），l分有向線段 P1P2所成的比為 λ，則

例1求兩點P1（-5,2），P2（1,3）所在直線與直線17x+52y+7=0的交點．

定義2設點P1,P2不在二次曲線l上，l與直線P1P2交于點Q1,Q2，則點Q1,Q2分有向線段P1P2所成的比λ1,λ2叫做直線l分有向線段P1P2所成的比．若 Q1,Q2重合，即 l與直線 P1P2相切，此時 λ1=λ2．

定理2直角坐標平面xoy內兩點P1（x1,y1），P2（x2,y2） 不在二次曲線 l:f（x,y）=0 上，l分有向線段P1P2所成的比為 λ1,λ2，則

證明：設l:f（x,y）=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，l與直線P1P2交于點Q1,Q2，則點Q1,Q2分有向線段P1P2所成的比λ1,λ2，現以Q表l與直線P1P2的任意交點，點Q分有向線段P1P2所成的比為λ，則QQ的坐標代入f（x,y）=0并整理成關于λ的一元二次方程f（x2,y2）λ2+g（x1,y1,x2,y2）λ+f（x1,y1）=0，則λ1,λ2是此方程的兩根，故λ1λ2=

推論 直角坐標平面 xoy內兩點 P1（x1,y1），P2（x2,y2）不在二次曲線l:f（x,y）=0上，l與直線P1P2交于點Q1,Q2，若f（x1,y2）=f（x2,y2），則P1Q1=Q2P2．

[1]葉立軍.初等數學研究[M].上海：華東師范大學出版社，2008：201．

O 182.1；O 123.1

A

1672-2094（2017）05-0167-02

2017-08-27

趙鳳鳴（1982-），女，四川閬中人，四川職業(yè)技術學院講師，碩士。研究方向：近世代數，初等數論．

張隆輝