李 強，梁 秋

（1.四川三河職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，四川 瀘州 646000；2.四川省汶川中學(xué)，四川 汶川 624000）

基于Laplace-Adomian-Pade方法的超混沌系統(tǒng)分析

李 強1，梁 秋2

（1.四川三河職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，四川 瀘州 646000；2.四川省汶川中學(xué)，四川 汶川 624000）

利用Laplace-Adomian-Pade方法，對一個新構(gòu)造的超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值求解，求得了系統(tǒng)的高精度近似級數(shù)解.結(jié)合M atlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，得到了系統(tǒng)的時間序列軌跡圖和混沌吸引子相圖.最后對序列圖和相圖進(jìn)行了分析，當(dāng)初始值[x（t0）,y（t0）,z（t0）,w（t0）]=[1,1,1,1]，參數(shù)[a,b,c]=[-10,-4,-5]時，系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).研究結(jié)果表明，該法是分析超混沌系統(tǒng)的一種行之有效方法.

Laplace-Adomian-Pade方法；動力系統(tǒng)；混沌

自1975年李天巖和York首次提出混沌的數(shù)學(xué)定義以來，混沌理論及其應(yīng)用已成為非線性科學(xué)領(lǐng)域中的一個熱門課題．一些學(xué)者在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了許多諸如Chen系統(tǒng)[1]、T系統(tǒng)[2]、Bao系統(tǒng)[3]等變形系統(tǒng)，并對它們的復(fù)雜動力學(xué)行為、控制和同步方法進(jìn)行了深入研究.這不僅加深了對混沌本質(zhì)的認(rèn)識，同時也促進(jìn)了混沌理論的發(fā)展.基于混沌理論在保密通訊、圖像加密、信號處理等領(lǐng)域的應(yīng)用優(yōu)勢[4]，本文對一個新構(gòu)造的四維超混沌系統(tǒng)進(jìn)行了研究，利用Tsai和Chen提出的Laplace-Adomian-Pade方法[5]（LAPM）對系統(tǒng)進(jìn)行了求解，求得了系統(tǒng)的高精度近似級數(shù)解.結(jié)合Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，得到了系統(tǒng)的時間序列軌跡圖和混沌吸引子相圖.分析結(jié)果說明LAPM是分析混沌系統(tǒng)的一種有效方法.

1 Laplace-Adomian-Pade方法

Tsai和Chen在研究非線性Riccati方程時，提出了Laplace-Adomian-Pade方法（LAPM）用于求解非線性微分方程的初值問題，其基本思想是

對于給定的非線性微分方程

非線性項N[u(t)]用Adomian級數(shù)[6]替換并作Laplace逆變換得

2 超混沌系統(tǒng)的數(shù)值仿真分析

此時系統(tǒng)解的迭代形式為

當(dāng)初值[x（t0）,y（t0）,z（t0）,w（t0）]=[1,1,1,1]，系統(tǒng)參數(shù)[a,b,c]=[-10,-4,-5]，系統(tǒng)的 3 階近似解為

利用Pade逼近，則系統(tǒng)的3階高精度級數(shù)解為

最后對系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，得系統(tǒng)的時間序列軌跡圖如圖1-4所示，混沌吸引子相圖如圖5-8所示：

圖1 系統(tǒng)x的時間序列圖

圖2 系統(tǒng)y的時間序列圖

圖3 系統(tǒng)z的時間序列圖

圖4 系統(tǒng)w的時間序列圖

圖5 系統(tǒng)x-y-z相圖

圖6 系統(tǒng)x-y-w相圖

圖7 系統(tǒng)x-z-w 相圖

圖8 系統(tǒng)y-z-w相圖

由圖1-4可知，當(dāng)初始條件發(fā)生微小變化時系統(tǒng)表現(xiàn)出無序的混亂現(xiàn)象.圖5-8中系統(tǒng)的混沌吸引子具有分形的結(jié)構(gòu)和自相似性，說明此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，為混沌系統(tǒng).

3 結(jié)論

應(yīng)用LAPM方法研究了一個新構(gòu)造的四維超混沌系統(tǒng)，求得了系統(tǒng)的高精度近似解.利用Matlab軟件對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真，得到了系統(tǒng)的混沌吸引子相圖，分析了該系統(tǒng)的混沌行為，說明了該法的有效性，這為超混沌系統(tǒng)的理論研究和應(yīng)用提供了理論支撐和參考.

[1]Chen Guanrong,Tetsushi UETA.Yet Another Chaotic Attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos,1999,9(7):1465-1466.

[2]TIGANGH.Analysis of a Dynamical System Derived from the Lorenz System[J].Sci Bull Poli-tehnica University of Timisoara,2005, 50(64):61-70.

[3]Bao Bocheng,Liu Zhang,Xu Jianping.New Chaotic System and Its Hyperchaos Generation[J].Journal of Systems Engineering and Electrics, 2009,20(6):1179-1187.

[4]姚洪興，張學(xué)兵，耿霞．Rucklidge系統(tǒng)的同步及其在保密通訊中的應(yīng)用[J]．江蘇大學(xué)學(xué)報，2006，72(2)：185-187．

[5]Tsai,Paiyee,Chen Chaokuang.An approximate analytic solution of the nonlinear Riccati differential equation[J].Journal of the Franklin Institute,2010,347(10):1850-1862.

[6]G Adomian,”Solving frontier problems of physics the decomposition method”,Springer,Ger-many,1994.

[7]劉春鳳，張滑．DTM-Adomian-pade求解非線性分?jǐn)?shù)階微分方程[J]．西北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2016，46(3)：329-334．

[8]章秀君，吳志強，方正．超混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法研究[J].計算機工程與應(yīng)用，2014，50(2)：92-98．

Analysis of Superchaotic Systems Based on Laplace-Adomian-Pade

LI Qiang1,LIANG Qiu2
(1.Department of Basic Courses, Sichuan Sanhe College of Professionals, Luzhou Sichuan, 646000; 2.Wenchuan Middle School, Wenchuan Sichuan,624000)

We did the numerical solution to a new constructed superchaotic systems and obtained the system’s approximate series solution of high precision by Laplace-Adomian-Pade. Then, combined with Matlab,the numerical simulation was done to get the system’s time series trajectory map and chaotic attractor diagram.Finally,we analyzed the sequence map and diagram.When the initial value is[x（t0）,y（t0）,z（t0）,w（t0）]=[1,1,1,1],and the system parameter is[a,b,c]=[-10,-4,-5],it has become chaotic systems.The research result is that it is an effective method to analyze superchaotic systems

Laplace-Adomian-Pade;Power System;Chaos

張隆輝

O 145.5

A

1672-2094（2017）05-0162-05

2017-05-16

四川三河職業(yè)學(xué)院校級科研項目（編號：15XB0223）

李 強（1992-），男，四川達(dá)州人，四川三河職業(yè)學(xué)院專任數(shù)學(xué)教師.研究方向：分?jǐn)?shù)階微分方程及其應(yīng)用.